超幾何関数・一般化された超幾何関数の、以下の特殊値を導出する。
Gaussの超幾何定理より\begin{eqnarray}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,\nu+1\\2,\lambda+1\end{matrix};1\right] &=& \frac{\lambda}{\nu}\sum_{n=1}^\infty \frac{(\nu)_n}{n(\lambda)_n} \\ &=& \frac{\lambda}{\nu}\Bigl(\psi(\lambda)-\psi(\lambda-\nu)\Bigr)\tag{A}\end{eqnarray}Kummerの定理より\begin{eqnarray}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,1+a\\2,2+a\end{matrix};-1\right] &=& -\frac{1+a}{a}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(a)_n}{n(1+a)_n} \\ &=& \frac{1+a}{a}\left(\psi(1+a)-\psi\left(1+\frac{a}{2}\right)\right)\tag{B}\end{eqnarray}Watsonの定理より\begin{eqnarray}&&{}_4F_3\left[\begin{matrix}1,1,1+a,1+b\\2,\frac{a+3}{2},1+2b\end{matrix};1\right] = \frac{1+a}{a}\sum_{n=1}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{n(\frac{1+a}{2})_n(2b)_n} \\ &=& \frac{1+a}{2a}\left[\psi\left(\frac{1+a}{2}\right)-\psi\left(\frac{1}{2}\right)+\psi\left(b+\frac{1}{2}\right)-\psi\left(b+\frac{1-a}{2}\right)\right]\tag{C}\end{eqnarray}この極限をとること（あるいはGaussの第2定理）により\begin{eqnarray}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,1+a\\2,\frac{a+3}{2}\end{matrix};\frac{1}{2}\right] &=& \frac{1+a}{a}\sum_{n=1}^\infty \frac{(a)_n}{n(\frac{1+a}{2})_n 2^n} \\ &=& \frac{1+a}{2a}\left[\psi\left(\frac{1+a}{2}\right)-\psi\left(\frac{1}{2}\right)\right]\tag{D}\end{eqnarray}
おまけの定理$$\sum_{n=0}^\infty\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}(2H_{2n}-H_n)x^{n}=-\frac{\ln(1-x)}{\sqrt{1-x}}$$
一般化された超幾何関数の、ディガンマ関数によって表現される特殊値公式を導出します。上式たちはどれも同じ方法により導くことができます。
参考文献は B.N.Al-Saqabi, S.L.Kalla, H.M.Srivastava(1991), "A Certain Family of Infinite Series Associated with Digamma Functions" です。
ガウスの超幾何関数 $F(a,b;c;z)$ において、「微分する」といえば普通は $z$ による微分を指すでしょう。しかし $z$ は固定してパラメータ $a,b,c$ を微分することで面白い等式を発見することができます。過去にも同様の操作で級数公式を導出していますので参考にしてください。
2F1と超幾何定理の微分
手始めに最も基本的な超幾何関数でやってみましょう。ガウスの超幾何定理より\begin{equation}{}_2F_1\left[\begin{matrix}c,\nu\\\lambda\end{matrix};1\right] =\frac{\G(\lambda)\G(\lambda-\nu-c)}{\G(\lambda-c)\G(\lambda-\nu)}\tag{1}\end{equation}両辺を $c$ で微分します。ディガンマ関数の定義より $\G'=\G\psi$ であり、左辺を級数表示して現れるポッホハマー記号に対しては例えば$$(c)_n=\frac{\G(c+n)}{\G(c)}$$のように書き直して微分します。 すると\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty\frac{(c)_n(\nu)_n}{(\lambda)_nn!}[\psi(c+n)-\psi(c)] =\frac{\G(\lambda)\G(\lambda-\nu-c)}{\G(\lambda-c)\G(\lambda-\nu)}\left(\psi(\lambda-c)-\psi(\lambda-\nu-c)\right)\tag{2}\end{equation}見て分かる通り、ポッホハマー記号とガンマ関数は、微分してもそのまま残っていて、ディガンマ関数が付け加わっています。この法則性が分かると、まともに計算する必要はなくなります。また超幾何関数は $n=0$ からの級数ですが、微分すると初項が消えるので $n=1$ でスタートとなります。
0への極限
さて(2)で $c=0$ としましょう。左辺の $\psi(0)$ は発散するので $(c)_n$ から $c$ を取り出して$$\frac{(c)_n(\nu)_n}{(\lambda)_nn!}[\psi(c+n)-\psi(c)]=\frac{(c+1)_{n-1}(\nu)_n}{(\lambda)_nn!}[c\psi(c+n)-c\psi(c)]$$としておきます。すると$$c\psi(c)=c\left[\psi(c+1)-\frac{1}{c}\right]=c\psi(c+1)-1\xrightarrow[c\to 0]{}-1$$したがって\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty\frac{(1)_{n-1}(\nu)_n}{(\lambda)_nn!}=\frac{\G(\lambda)\G(\lambda-\nu)}{\G(\lambda)\G(\lambda-\nu)}\left(\psi(\lambda)-\psi(\lambda-\nu)\right)\tag{3}\end{equation}整理すると\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac{(\nu)_n}{n(\lambda)_n}=\Bigl(\psi(\lambda)-\psi(\lambda-\nu)\Bigr)\tag{4}\end{equation}(4)の左辺は3F2に書き直せます。したがって
$\mathfrak{R}(\lambda-\nu)>0$,\begin{eqnarray}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,\nu+1\\2,\lambda+1\end{matrix};1\right] =\begin{cases}\dfrac{\lambda}{\nu}\Bigl(\psi(\lambda)-\psi(\lambda-\nu)\Bigr)\quad&(\nu\neq 0)\\[1em]\lambda\psi'(\lambda)\quad&(\nu=0)\end{cases}\tag{5}\end{eqnarray}
$\nu=0$ の場合は微分の定義より$$\frac{\psi(\lambda)-\psi(\lambda-\nu)}{-\nu}\xrightarrow[\nu\to0]{}\psi'(\lambda)$$となるので(5)の2行目が導かれます。
(4)より $\nu\neq 0$ ならば明らかに\begin{equation}\lim_{\lambda\to+\infty}\Bigl(\psi(\lambda)-\psi(\lambda-\nu)\Bigr)=0\tag{6}\end{equation}
フルヴィッツゼータ関数
また(5)で $\nu=0$ とすれば次の系を得ます。
$\mathfrak{R}\lambda>0$,\begin{eqnarray}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,1\\2,\lambda+1\end{matrix};1\right] =\lambda\zeta(2,\lambda)\tag{7}\end{eqnarray}
以後、特殊値公式をどんどん作っていきますが、やり方はすべて定理１と同じですので端折りながら説明します。
定理１導出の流れを見ると、(1)が起点になり、それを微分してパラメータをゼロにするという感じです。ではその「起点」を何にするか。過去に導出した有名な定理でやっていきます。
Kummerの定理\begin{equation}{}_2F_1\left[\begin{matrix}a,c\\1+a-c\end{matrix};-1\right] =2^{-a}\frac{\sqrt{\pi} \G(1+a-c)}{\G(1+\frac{a}{2}-c)\G(\frac{a+1}{2})}\tag{8}\end{equation}は過去記事の(12)式で $z=-1$ として得られます。(8)の両辺を $c$ で微分すると\begin{eqnarray}&&\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(a)_n(c)_n}{(1+a-c)_nn!}[\psi(c+n)-\psi(c)+\psi(1+a-c+n)-\psi(1+a-c)]\\ &=&2^{-a}\frac{\sqrt{\pi} \G(1+a-c)}{\G(1+\frac{a}{2}-c)\G(\frac{a+1}{2})}\left(\psi\left(1+\frac{a}{2}-c\right)-\psi(1+a-c)\right)\tag{9}\end{eqnarray}$c\to0$ とすると、(3)を得た時と同じ要領で\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(a)_n}{n(1+a)_n} =\psi\left(1+\frac{a}{2}\right)-\psi(1+a)\tag{10}\end{equation}(10)の左辺は3F2に書き直せます。すると
\begin{eqnarray}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,1+a\\2,2+a\end{matrix};-1\right] &=& \frac{1+a}{a}\left(\psi(1+a)-\psi\left(1+\frac{a}{2}\right)\right)\tag{11}\end{eqnarray}
起点となった(8)の左辺はwell-poisedです。また(11)の左辺はSaalschützian(balanced)かつnearly-poisedです。(11)では $a$ を $a-1$ としてもいいでしょう。\begin{eqnarray}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,a\\2,1+a\end{matrix};-1\right] &=& \frac{a}{a-1}\left(\psi(a)-\psi\left(\frac{a+1}{2}\right)\right)\tag{11'}\end{eqnarray}
次に起点となるのはWatsonの定理です。\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\\frac{a+c+1}{2},2b\end{matrix};1\right]=\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+c+1}{2})\G(b+\frac{1}{2})\G(\frac{1-a-c}{2}+b)}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{c+1}{2})\G(\frac{1-a}{2}+b)\G(\frac{1-c}{2}+b)}\tag{12}\end{equation}両辺を $c$ で微分すると\begin{eqnarray}&&\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_n(b)_n(c)_n}{(\frac{a+c+1}{2})_n(2b)_nn!}\left[\psi(c+n)-\psi(c)-\frac{1}{2}\psi\left(\frac{a+c+1}{2}+n\right)+\frac{1}{2}\psi\left(\frac{a+c+1}{2}\right)\right]\\ &=&\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+c+1}{2})\G(b+\frac{1}{2})\G(\frac{1-a-c}{2}+b)}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{c+1}{2})\G(\frac{1-a}{2}+b)\G(\frac{1-c}{2}+b)}\\&&\quad\times\left[\frac{1}{2}\psi\left(\frac{a+c+1}{2}\right)-\frac{1}{2}\psi\left(\frac{1-a-c}{2}+b\right)-\frac{1}{2}\psi\left(\frac{c+1}{2}\right)+\frac{1}{2}\psi\left(\frac{1-c}{2}+b\right)\right]\tag{13}\end{eqnarray}$c\to 0$ として\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{n(\frac{1+a}{2})_n(2b)_n}=\psi\left(\frac{1+a}{2}\right)-\psi\left(\frac{1}{2}\right)+\psi\left(b+\frac{1}{2}\right)-\psi\left(b+\frac{1-a}{2}\right)\tag{14}\end{equation}(14)の左辺は4F3に書き直せて
$\mathfrak{R}(2b-a)>-1$,\begin{eqnarray}&&{}_4F_3\left[\begin{matrix}1,1,1+a,1+b\\2,\frac{a+3}{2},1+2b\end{matrix};1\right]\\&=&\frac{1+a}{2a}\left[\psi\left(\frac{1+a}{2}\right)-\psi\left(\frac{1}{2}\right)+\psi\left(b+\frac{1}{2}\right)-\psi\left(b+\frac{1-a}{2}\right)\right]\tag{15}\end{eqnarray}
過去記事で証明した次の補題を用います。
$\sum_{i=0}^k a_i=\sum_{i=0}^k b_i$ とするとき$$\lim_{z\to\infty}\frac{\G(z+a_1)\G(z+a_2)\cdots\G(z+a_k)}{\G(z+b_1)\G(z+b_2)\cdots\G(z+b_k)}=1$$
(14)(15)で $b\to\infty$ を考えます。(14)左辺はルジャンドルの倍数公式と補題５により\begin{equation}\frac{(b)_n}{(2b)_n}=\frac{\G(b+\frac{1}{2})\G(b+n)}{2^n\G(b+\frac{n}{2})\G(b+\frac{n+1}{2})}\xrightarrow[]{b\to\infty}\frac{1}{2^n}\tag{16}\end{equation}同様に(15)左辺においても$$\frac{(1+b)_n}{(1+2b)_n}\xrightarrow[]{b\to\infty}\frac{1}{2^n}$$(14)(15)の右辺では(6)より$$\psi\left(b+\frac{1}{2}\right)-\psi\left(b+\frac{1-a}{2}\right)\xrightarrow[]{b\to\infty}0$$よって\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac{2(a)_n}{n(\frac{1+a}{2})_n 2^n} =\psi\left(\frac{1+a}{2}\right)-\psi\left(\frac{1}{2}\right)\tag{17}\end{equation}および
\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,1+a\\2,\frac{a+3}{2}\end{matrix};\frac{1}{2}\right] = \frac{1+a}{2a}\left[\psi\left(\frac{1+a}{2}\right)-\psi\left(\frac{1}{2}\right)\right]\tag{18}\end{equation}
が成立します。なお定理６はGaussの第2定理\begin{equation}{}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1}{2}\right]=\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})}\tag{19}\end{equation}を微分することによっても得られます。そもそも(19)はWatsonの定理(12)において極限をとったものですから。
定理６で $a\to0$ の極限をとると $\psi'(x)=\zeta(2,x)$ より
\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,1\\2,\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{1}{2}\right] = \frac{\pi^2}{8}\tag{20}\end{equation}
$\sum\frac{(a)_n}{n!}x^n$ を $a$ で微分することで次を得ます。
$$\sum_{n=0}^\infty\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}(2H_{2n}-H_n)x^{n}=-\frac{\ln(1-x)}{\sqrt{1-x}}$$
この調子で次回も公式を作っていきます！
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