曲面の曲がり具合② ～主曲率とガウス曲率～

前回はこちら：

曲面の曲がり具合 ～法曲率～

復習：法曲率

曲面 $\bm{S}(u,v)$ 上の点P $=\bm{S}(u_0,v_0)$ の単位接ベクトル $\bm{X}(u_0,v_0)$ を定めます。また $u$ , $v$ 方向の接ベクトル $\bm{S}_u$ , $\bm{S}_v$ および単位法ベクトル $\bm{n}(u_0,v_0)$ が定まります。$\bm{X}(u_0,v_0)$ と $\bm{n}(u_0,v_0)$ が張る平面と曲面 $\bm{S}(u,v)$ の交線 $c(s)$ の（平面曲線としての）曲率 $\kappa_n(s)$ を、曲面の点Pにおける $\bm{X}$ 方向の法曲率とよびます。ただし $s$ は弧長パラメータです。

主曲率

前回に見たように、接ベクトル $\bm{X}$ の向きによって法曲率は異なります。$\bm{X}$ を動かしたときの法曲率の最大値 $\kappa_1$および最小値 $\kappa_2$ を主曲率といいます。また法曲率が $\kappa_1$ あるいは $\kappa_2$ となる $\bm{X}$ の方向を主方向とよびます。

法曲率の定義は(1)ですが、実際の計算には次の式を使うのでした。

ここで $\mathrm{I}$ , $\mathrm{II}$ は第1基本形式および第2基本形式です。\begin{equation}\mathrm{I}:=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\tag{3}\end{equation}\begin{equation}\mathrm{II}:=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2\tag{4}\end{equation}

接ベクトルの表式$$\bm{X}=\bm{S}_udu+\bm{S}_vdv$$より $\bm{X}$ の方向は $du$ と $dv$ の比で定まります。例えば $dv=0$ とおくと $\bm{X}$ は $\bm{S}_u$ の方向になります。法曲率の最大値と最小値を求めるには、$du=\a$ , $dv=\b$ とおくと\begin{equation}\kappa_n=\frac{L\a^2+2M\a\b+N\b^2}{E\a^2+2F\a\b+G\b^2}\tag{5}\end{equation}となり、この極値を調べるとよいです。

いま、$$f(\a,\b):=\frac{L\a^2+2M\a\b+N\b^2}{E\a^2+2F\a\b+G\b^2}\;,\quad(\a,\b)\neq(0,0)$$とします。微分すると\begin{eqnarray*}f_\a &=& \frac{\b\{(FL-EM)\a^2+(GL-EN)\a\b+(GM-FN)\b^2\}}{(E\a^2+2F\a\b+G\b^2)^2}\\f_\b&=& \frac{\a\{(FL-EM)\a^2+(GL-EN)\a\b+(GM-FN)\b^2\}}{(E\a^2+2F\a\b+G\b^2)^2}\end{eqnarray*}$(\a,\b)$ で極値をとるなら $f_\a=f_\b=0$ なので$$(FL-EM)\a^2+(GL-EN)\a\b+(GM-FN)\b^2=0$$$\g=\b/\a$ とおくと2次方程式になります。$$(FL-EM)+(GL-EN)\g+(GM-FN)\g^2=0$$\begin{equation}\therefore\quad\g=\frac{EN-GL\pm\sqrt{(GL-EN)^2-4(GM-FN)(FL-EM)}}{2(GM-FN)}\tag{6}\end{equation}(6)を(5)に代入することで２つの主曲率が得られます。しかし、計算するのは嫌ですね。

平均曲率・ガウス曲率

前節を見て分かる通り、主曲率の計算は面倒ですし、たぶんきれいな式にならないと思います。

そこで、2つの解(6)を用いて $H$ と $K$ を計算します。これはこれで大変ですのでMaximaにやらせました。すると\begin{eqnarray}H &=& \frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}\tag{8} \\ K &=& \frac{LN-M^2}{EG-F^2}\tag{9}\end{eqnarray}を得ます。

ところで第1基本行列 $\mathcal{G}$ と第2基本行列 $\mathcal{H}$ は\begin{equation}\mathcal{G}=\begin{pmatrix}E & F \\ F & G\end{pmatrix}\quad,\quad\mathcal{H}=\begin{pmatrix}L & M \\ M & N\end{pmatrix}\tag{10}\end{equation}と定義されるのでした。これらより作られる行列\begin{equation}\mathcal{H}\mathcal{G}^{-1}=\frac{1}{EG-F^2}\begin{pmatrix}GL-FM & EM-FL \\ GM-FN & EN-FM\end{pmatrix}\tag{11}\end{equation}を考えると、(8)(9)は\begin{eqnarray}H &=& \frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(\mathcal{HG}^{-1}\right)\tag{12} \\ K &=& \det\left(\mathcal{HG^{-1}}\right)\tag{13}\end{eqnarray}とも表せます。地道な計算で容易に示せます。

全曲率

曲面の領域 $A$ 上の各点で、ガウス曲率 $K$ を足し合わせたものを全曲率といいます。ただし「ガウス曲率＝全曲率」と呼称することも多いようで、一般にどのように区別しているのかはよく分かりません。

臍点・楕円点・双曲点・放物点

$\kappa_1=\kappa_2$ になるような点を曲面の臍点(umbilic)とよびます。要は「特別な2方向」がなく、全ての方向に対して曲面が同じように曲がっているのです。

また $K>0$ となる点を楕円点といい、曲面は凸になります。$K=0$ となる点を放物点といいます。$K<0$ となる点を双曲点とよび、曲面は鞍状になります。(9)から直ちに分かるように、$K$ の符号は $LM-N^2$ の符号 に一致します。

例題たち

前回記事より法曲率は $\kappa_n=1/a$ (定数)ですので、２つの主曲率も同じ値です。よって$$\kappa_1=\kappa_2=H=\frac{1}{a}\;,\; K=\frac{1}{a^2}$$問題の全曲率は$$K_{\mathrm{total}}=\frac{1}{a^2}\iint dA=\frac{1}{a^2}\cdot \frac{\pi a^2}{2}=\frac{\pi}{2}$$この球面三角形の内角の和が270°で、平面三角形のそれより $\pi/2$ 大きいことと関係しています。

過去記事より$$E=a^2+4u^2\;,\;F=4uv\;,\; G=b^2+4v^2$$$$L=N=\frac{2ab}{\sqrt{4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2}}\;,\;M=0$$(9)より$$K=\frac{4a^2b^2}{(a^2b^2+4b^2u^2+4a^2v^2)^2}$$

参考文献

・中内伸光『幾何学は微分しないと』（下記）

・小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』

『幾何学は微分しないと』を参照しました。オヤジギャグまじりの平易な文章で微分幾何学を分かりやすく解説しています。初学者向けな分、内容はやや薄いと思うので、ネットや他の書籍を併用すると学習効果が高まります。

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次：

2023年4月25日 ガウスの公式とワインガルテンの公式

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