楕円積分がみたす微分方程式とルジャンドルの関係式・singular value
Integrals and Miscellaneous 20
完全楕円積分と算術幾何平均・上昇/下降変換
楕円積分の導入とその計算方法２(ルジャンドル・ヤコビの標準形)
楕円積分の導入とその計算方法１
二重のlogを含む積分２(複素解析・偏角に注意！)
Integrals and Miscellaneous 19
Frullani積分とRamanujanによる一般化
Ramanujan's Master Theoremの留数定理による導出
Integrals and Miscellaneous 18
logを含む難しい積分12(超幾何関数の微分の応用)
Integrals and Miscellaneous 17
logを含む難しい積分11(調和数とEuler sumの利用)
logを含む難しい積分10(調和数・アーベルの級数変形法)
Integrals and Miscellaneous 16
logを含む難しい積分９
Integrals and Miscellaneous 15
ポリログを含む積分2（重積分・級数展開）
ポリログを含む積分1（重積分・級数展開）
Integrals and Miscellaneous 14
複２次式の平方根を含む積分（楕円積分の応用）
Integrals and Miscellaneous 13
双曲線関数を含む難しい積分１
二重のlogを含む積分１(ゼータ関数の微分)
logを含む難しい積分８
Integrals and Miscellaneous 12
複素積分演習（真性特異点）
複素積分演習（logの分岐点と切断）
logを含む難しい積分７（arcsinhの利用）
Integrals and Miscellaneous 11
logを含む難しい積分６（4F3・楕円積分・二重対数関数）
logを含む難しい積分５（超幾何級数3F2）
logを含む難しい積分４（複素積分演習）
logを含む難しい積分３（超幾何級数）
logを含む難しい積分２（級数展開）
logを含む難しい積分（調和数の4倍添え字を応用）
Integrals and Miscellaneous 10
複素積分演習（対数と２つの分岐点）
log(sinh x)の対数正弦積分（調和数・ポリログ）
log(sin x)の2乗の対数正弦積分（調和数・ポリログ）
Integrals and Miscellaneous 9
x^s・arctan x の定積分
x^s・arcsin x の定積分
三角関数の平方根とx^2の積の積分
arctan(x)のn乗の積分(フーリエ展開とディリクレベータ関数)
Anger関数とWeber関数①(sinやcosの中にsinがある積分)
Integrals and Miscellaneous 8
Integrals and Miscellaneous 7
複素積分演習 cosx と e^-xの混合（4分円の周回積分）
4次の多重対数関数を応用する積分
フックス型とHeunの微分方程式
4個の確定特異点をもつフックス型微分方程式
リーマンのP方程式と24個の特殊解
リーマンのP方程式とメビウス変換・超幾何関数
フックス型微分方程式とメビウス変換
リーマンのP微分方程式の指数と解の関係
フックス型微分方程式と確定特異点2 (RiemannのP方程式)
フックス型微分方程式と確定特異点１（基本と例題）
Anger関数とWeber関数②(ベッセル微分方程式の非斉次解)
三角井戸型ポテンシャルとエアリー関数
【D20】球ベッセルの微分方程式
【D19】変形ベッセル微分方程式
【D18】ベッセルの微分方程式と級数解
【D17】超幾何微分方程式への変換例
偶奇統一！第1種ルジャンドル関数
【D16】Whittakerの微分方程式
【D15】合流型超幾何微分方程式とフロベニウス法
【D14】超幾何微分方程式とフロベニウス法・超幾何関数
【D13】ルジャンドルの陪微分方程式
【D12】ルジャンドルの微分方程式
【D11】級数法・フロベニウス法
【D10】高階線型微分方程式の指針と例題
【D9】非斉次2階線型微分方程式その２
【D8】非斉次2階線型微分方程式その１
【D7】オイラー・コーシーの方程式
【D6】$y$または$x$を含まない２階方程式（階数低減法）
【D5】斉次2階線型微分方程式
【D4】Chrystalの微分方程式と包絡線
【D3】クレローの方程式と包絡線（解法と例題）
【D2】ベルヌーイの微分方程式
【D1】１階線型微分方程式の解法
球座標系のヘルムホルツ方程式と球ベッセル関数
球座標のラプラス方程式とルジャンドル陪微分方程式
【物理数学】円筒座標のラプラス方程式とベッセル関数
【物理数学】N次元グリーン関数の解法(2)
【物理数学】N次元グリーン関数の解法(1)
シュトルツ・チェザロの定理（数列の極限）
数列の上極限と下極限
【ε論法】極限の計算：limをεδに
【ε論法】ε-δ論法によって微分する・例題７つ
【ε論法】カントール集合と悪魔の階段の連続性
【ε論法】トマエ関数は有理数の点では不連続
【ε論法】連続関数の和も積も合成も連続関数
【ε論法】一様コーシーな関数列と一様収束性
【ε論法】関数列が一様収束でないことの証明
【ε論法】関数列の各点収束と一様収束
【ε論法】一様連続でないことの証明
【ε論法】関数の一様連続性の証明
【ε論法】関数の連続性とδのテクニック
【ε論法】コーシー列でないことの証明
【ε論法】数列がコーシー列であることの証明および収束性
【ε論法】数列の収束と極限・例題 ～εとNを使って～
管状近傍とホテリングの定理・曲面の近傍とワイルの定理
曲面の面積とガウス写像の面積（ガウス曲率のもつ意味）
ダルブーフレームと測地的曲率・捩率・法曲率
曲率に関する「驚異の定理」と可展面
ガウスの公式とワインガルテンの公式
曲面の曲がり具合② ～主曲率とガウス曲率～
曲面の曲がり具合 ～法曲率～
曲面の第１基本形式と第２基本形式
空間内の曲面：パラメータ表示、接平面、法ベクトル、ガウス写像、面積
空間曲線２－接線・法線、接触平面・接触球
空間曲線１－弧長パラメータと動標構、曲率・捩率、フレネ・セレの公式
弧長パラメータと動標構、曲率、フレネ・セレの公式【平面曲線】
弧長パラメータ表示の導出と例題、そして難点
ヤコビの楕円関数２（定義域の拡張・半角公式・倍角公式・展開）
ヤコビの楕円関数（定義・導関数・加法定理）
楕円積分がみたす微分方程式とルジャンドルの関係式・singular value
完全楕円積分と算術幾何平均・上昇/下降変換
楕円積分の導入とその計算方法２(ルジャンドル・ヤコビの標準形)
楕円積分の導入とその計算方法１
【13】素数が無限積と級数をつなぐ（完全乗法的関数）
【12】無限積とガンマ関数
ハイパー階乗・K関数とGlaisher-Kinkelin定数②
ハイパー階乗・K関数とGlaisher-Kinkelin定数①
調和数と超幾何級数3
Integrals and Miscellaneous 18
logを含む難しい積分12(超幾何関数の微分の応用)
調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part16
logを含む難しい積分11(調和数とEuler sumの利用)
超幾何関数のパラメータによる微分とディガンマ関数、一般化超幾何関数の特殊値３
超幾何関数のパラメータによる微分とディガンマ関数、一般化超幾何関数の特殊値２
超幾何関数のパラメータによる微分とディガンマ関数、一般化超幾何関数の特殊値１
調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part14
Integrals and Miscellaneous 16
調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part13
logを含む難しい積分９
Whippleの7F6変換公式とDougallの7F6-和公式・6F5・5F4・4F3への応用（一般化超幾何関数）
Well-poisedな一般化超幾何関数の変換公式とDougallの5F4-和公式
Whippleの和定理（一般化超幾何級数3F2）
Watsonの定理（一般化超幾何級数3F2）
Dixonの定理の導出（一般化超幾何級数3F2）
Dixonの定理の導出2・オリジナル論文より（未完）
Integrals and Miscellaneous 15
ポリログを含む積分2（重積分・級数展開）
ポリログを含む積分1（重積分・級数展開）
Clausenの公式（一般化超幾何級数3F2を2F1に変える強力な式）
z=1/4における超幾何関数2F1の特殊値（代数的手法）
リーマンP方程式から超幾何関数の二次変換を導出
Integrals and Miscellaneous 14
複２次式の平方根を含む積分（楕円積分の応用）
超幾何関数2F1の特殊値と楕円積分2
超幾何関数2F1の特殊値と楕円積分1
超幾何関数のある変換公式の証明
z=1/9における超幾何関数2F1の特殊値６選（後編）
z=1/9における超幾何関数2F1の特殊値６選（前編）
超幾何関数に関するガウスの隣接関係式
双曲線関数を含む難しい積分１
二重のlogを含む積分１(ゼータ関数の微分)
超幾何関数2F1の変換公式１（基本の10個）
調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part12
調和数と超幾何級数2
調和数と超幾何級数1
logを含む難しい積分７（arcsinhの利用）
logを含む難しい積分６（4F3・楕円積分・二重対数関数）
- タービダイトと砂岩泥岩互層を再現しよう高校地学の超簡単な実験シリーズ。おうちでもできます。 準備物：スプーン１つ、コップ等の容器１つ、泥、砂、透明な細長い容器 透明な細長い容器については、本記事ではメスシリンダーを使いました ...
- 流紋岩質溶結凝灰岩（室生火砕流）関西石ころ旅。京都府木津川市の木津川で採れた転石の紹介です。 全体的に黒い岩石です。上写真で、一定の方向に黒い模様が入っているのが分かるでしょうか。これは軽石が熱で溶けて引き延ばされなが ...
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- 音叉は不要！スマホでドップラー効果高校物理の超簡単な実験シリーズ。今回はドップラー効果を体感する実習を紹介します。ドップラー音叉は高級品で、買うなんてとんでもない…という方には、スマホで完結するのでオススメです。
- あなたの接地圧は？ 足形をとってみよう！高校物理の超簡単な実験シリーズ。あなたが立っているとき、地面にどれくらいの圧力をかけているのでしょう？
- 紙コップで体重を支える!? 圧力の導入実験高校物理の超簡単な実験シリーズ。大きな面積で支えると、重いものでもつぶれません。圧力のお話。
- 楕円積分がみたす微分方程式とルジャンドルの関係式・singular value第1種完全楕円積分と第2種完全楕円積分が満たすルジャンドルの関係式を導出します。その際、これらの楕円積分が満たす微分方程式を利用します。またsingular valueについても解説。
- 簡易真空容器を使った減圧実験（膨張・沸点降下）高校物理の超簡単な実験シリーズ。今回は簡易真空容器を使って減圧することによる面白い現象を観察します。
- 浮力の測定と密度・体積の計算高校物理の超簡単な実験シリーズ。今回は浮力の測定および物体の密度や体積の計算です。
- 簡単実験！最大静止摩擦力の測定高校物理の超簡単な実験シリーズ。今回は最大静止摩擦力の測定です。
- Integrals and Miscellaneous 20.
- 完全楕円積分と算術幾何平均・上昇/下降変換第1種および第2種完全楕円積分と算術幾何平均の関係からスタートし、それを用いて上昇変換と下降変換を導出します。導関数や級数展開についても紹介。
- 楕円積分の導入とその計算方法２(ルジャンドル・ヤコビの標準形)楕円積分はすべて、初等関数と第1,2,3種楕円積分の線型結合で書かれる（ルジャンドル・ヤコビの標準形）ことを示す。
- 楕円積分の導入とその計算方法１有理関数中に4次多項式の無理函数があるものは、一般的に初等関数の範囲では積分できません。一見、無数のパターンがあってどうにもならなそうなこの積分は、実は数パターンに分類できて、その先に面白い世界が広がっています。
- 【17】オイラーの五角数定理とワトソンの五重積（ヤコビ三重積から得られる公式たち）$$\prod_{n=1}^\infty(1-z^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^nz^{\frac{n(3n-1)}{2}}$$無限積の理論シリーズ第17回。ヤコビの三重積から得られるオイラーの五角数定理、ガウスの三角数定理、ワトソンの五重積などを解説。
- 【16】ヤコビの三重積$$\prod_{n=0}^\infty(1-q^{2n+2})(1+zq^{2n+1})\left(1+\frac{q^{2n+1}}{z}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}z^n$$無限積の理論シリーズ第16回。少し複雑な無限積の級数展開からはじめ、有名なヤコビの三重積へと至ります。
- 【15】自然数の分割と無限積の展開式２$$\prod_{n\in\mathcal{A}}\frac{1}{1+z^{n}}=1+\sum_{m=1}^\infty \{A_e(m;\mathcal{A})-A_o(m;\mathcal{A})\}z^m$$無限積の理論シリーズ第15回。4種類の無限積を級数展開して、無限積が分割の個数の母関数になることを解説。その応用として「オイラーの分割恒等式」を紹介。
- 【14】自然数の分割と無限積の展開式$$\prod_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=1+\sum_{m=1}^\infty p(m)z^m$$無限積の理論シリーズ第14回。今回も「無限積＝級数」なる等式を考えますが、無限積をより直接的に級数展開します。すると無限積は分割数の母関数となるという面白い事実が！
- 【13】素数が無限積と級数をつなぐ（完全乗法的関数）$$\sum_{n=1}^\infty f(n)=\prod_{n=1}^\infty\frac{1}{1-f(p_n)}$$無限積の理論シリーズ第13回。ゼータ関数の無限積表示を手掛かりに、完全乗法的関数を用いて一般化し、素数が無限積と級数をつなぐ役割を果たすことを見ていきます。
- 【12】無限積とガンマ関数$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{j=0}^n(z+j)}$$無限積の理論シリーズ第12回。今回はガンマ関数の無限積による定義を確認します。ワイエルシュトラスの因数分解定理の視点からも見られます。その定義が、知られたガンマ関数の性質と一致することも見ましょう。
- 【11】二重無限積$$\prod_{m=1}^\infty\prod_{n=1}^\infty z_{mn}$$無限積の理論シリーズ第11回。今回は二重無限積の収束と順序について、例を交えて解説します。
- ハイパー階乗・K関数とGlaisher-Kinkelin定数②$$A=\lim_{n\to\infty}\frac{H(n)\:e^{\frac{n^2}{4}}}{n^{\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}+\frac{1}{12}}}$$K関数の特殊値や対数K関数の積分について、Glaisher-Kinkelin定数のさまざまな表示について説明します。
- ハイパー階乗・K関数とGlaisher-Kinkelin定数①Kinkelinの論文に沿って、階乗よりもさらに巨大な数を表すハイパー階乗、およびそれを複素数まで拡張したK関数に関する等式を導出。そこで現れるGlaisher-Kinkelin定数も紹介。
- 【10】開円板上の正則関数とBlaschke積原点中心で任意の半径の開円板上に零点が与えられたとき、それを零点に持つ正則関数がBlaschke積によってつくれることを説明します。
- 調和数と超幾何級数3$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_n}{n!}H_nx^n=-\frac{\ln\frac{1-x}{x}}{(1-x)^a}+\frac{\psi(a)+\g}{(1-x)^a}+\frac{1}{a}\:{}_2F_1\left[\begin{matrix}1,a\\a+1\end{matrix};1-x\right]$$ガンマ関数を微分するとディガンマ関数が出てくることから、調和数H_nが出現する。
- 【９】整関数とワイエルシュトラスの因数分解定理②（完全版）無限積の理論シリーズ第９回。前回のワイエルシュトラスの因数分解定理（簡易版）の考え方に沿って、完全版を用意しましょう。前回が理解できていれば、ほぼ同じような感じです。
- 【８】整関数とワイエルシュトラスの因数分解定理①（基本乗積・種数）無限積の理論シリーズ第８回。今回は任意の整関数を「因数分解」すなわち無限積で表示する理論と具体的方法を紹介します。ワイエルシュトラスの因数分解定理によります。
- 【７】関数列の無限積における具体例（ヴィエトの公式・ゼータ関数）無限積の理論シリーズ第７回。今回は具体的な無限積の例として三角関数を見ていきます。それと絡めてヴィエトの公式、ゼータ関数の特殊値を求めます。
- 【６】複素関数の無限積・一様収束と正則性無限積の理論シリーズ第６回。前回で無限積に関する基本理論は一通り終わりました。今回は関数の無限積を考えます。といっても、収束性についてはこれまで見てきたものと大差なく、一様収束くらいを押さえればOK。
- 【５】条件収束する無限積の収束性２（積の順序・Pringsheim's Test・regularly convergent）条件収束する無限積において、積の順序を変えることができないことや、Cauchy's testを一般化したPringsheim's Testを紹介。regularly convergentについて解説。
- 二重のlogを含む積分２(複素解析・偏角に注意！)被積分関数が２つの複素対数を含むときの、留数定理の活用。
- 【４】条件収束する無限積の収束性（Cauchy's test）無限積の理論シリーズ第4回。条件収束はデリケートで扱いにくい。無限積の収束性を調べるために、対応する無限級数の収束性を調べるという手法が機能しない。そこどCauthy's testを導入する。
- 【３】無限積の絶対収束と複素数の扱い無限積の理論シリーズ第3回。複素数の無限積について、実数と同様にできることと、気を付けなければいけないことを解説。絶対収束という概念を絡め、無限積と無限級数の収束性におけるつながりについても説明。
- Integrals and Miscellaneous 19.
- 【２】無限積と級数の関係と収束性収束・発散に関するやや難しい条件と、級数との関係を解説します。無限積の収束性は、実は対応する無限級数の収束性と深く関係しています。
- 【１】無限積の定義と収束・発散無限積の理論シリーズ第１回。無限積（無限乗積）の定義と、収束・発散の定義および収束する必要十分条件とその系を紹介。豊富な具体例もあります。
- 絶対収束する二重級数・和の順序、コーシー積絶対収束という概念を導入し、正項でなくとも絶対収束であれば二重級数の順序に融通が利くことを解説。さらに収束はするが絶対収束はしない面白い数列や、コーシー積についても解説。
- 正項の二重級数と和の順序正項級数の特徴は、$a_{mn}\ge 0$ であるため、$\{S_{mn}\}$ が $m$ についても $n$ についても広義単調増加であるということです。これによって順序が自由になります。
- 二重数列と二重級数（収束性と足し合わせの順）二重級数シリーズ第1回。その定義や、項の並べ方による極限値の変化、コーシー列等について紹介します。
- Frullani積分とRamanujanによる一般化フルラニ積分とラマヌジャンによるその拡張について解説。Master theoremを応用します。
- Ramanujan's Master Theoremの留数定理による導出$$\int_0^\infty x^{s-1}\sum_{n=0}^\infty \phi(n)(-x)^n dx=\frac{\pi}{\sin\pi s}{\phi(-s)}$$ラマヌジャンによるメリン変換に関する公式を留数計算によって導出する。
- 管状近傍とホテリングの定理・曲面の近傍とワイルの定理微分幾何学の講座・第13回。管状近傍の表面積に関するホテリングの定理や、曲面の近傍の体積に関するワイルの定理を紹介。動標構を活用したり変数変換をします。
- Integrals and Miscellaneous 18.
- 曲面の面積とガウス写像の面積（ガウス曲率のもつ意味）微分幾何学の講座・第11回。曲面の面積とガウス写像の面積の比がガウス曲率 $K$ であることを解説します。
- ダルブーフレームと測地的曲率・捩率・法曲率微分幾何学の講座・第12回。空間曲線のお話。曲面の存在を前提として、それに乗った曲線を調べるためのダルブーフレームを導入します。そこから得られる「測地的曲率」「測地的捩率」等も見ていきましょう。
- 曲率に関する「驚異の定理」と可展面微分幾何学の講座・第10回。曲面のガウス曲率 $K$ は、第1基本量 $E,F,G$ のみで記述できる内在量であることを解説します。
- ガウスの公式とワインガルテンの公式曲線におけるフレネ・セレの公式の、曲面バージョンといえるガウスの公式とワインガルテンの公式を導出します。接続係数が登場。
- 曲面の曲がり具合② ～主曲率とガウス曲率～曲面の曲がり具合を表す尺度として「主曲率」や「平均曲率」「ガウス曲率」を紹介します。前回の法曲率をもとに計算します。
- 実数論の練習問題解析学の基本として実数の過去記事があります。 本来これらの記事に含む予定であった演習問題を本記事で取り上げます。 こちらを参照ください（外部サイト）。 https://www2.math ...
- 曲面の曲がり具合 ～法曲率～微分幾何学の講座・第７回。曲面の曲がり具合を表す尺度として「法曲率」紹介します。曲面上のある点における曲がり具合（法曲率）は、方向によって異なります。曲線に関する理論と、曲面の第1、第2基本量の知識を前提とします。
- 曲面の第１基本形式と第２基本形式曲面の第1基本量、第2基本量およびそれらを用いた基本形式を紹介します。第1基本量は接ベクトルを使って曲面の性質を表します。第2基本量は法ベクトルも用います。
- 空間内の曲面：パラメータ表示、接平面、法ベクトル、ガウス写像、面積微分幾何学の講座・第５回。以降は空間にある曲面に関する様々な事項を取り上げます。今回は曲面のパラメータ表示およびそれを利用した接平面や法ベクトル、曲面の面積の表現を扱います。今後に役立つ補足としてガウス写像を紹介。
- 空間曲線２－接線・法線、接触平面・接触球微分幾何学の講座・第4回。前回に引き続き、空間曲線に関する様々な事項を取り上げます。今回は接線、主法線、従法線、法平面、接触平面の式について考えます。
- 空間曲線１－弧長パラメータと動標構、曲率・捩率、フレネ・セレの公式空間曲線を弧長パラメータ表示したものから、曲率・捩率・動標構そしてフレネ・セレの公式へと進めていく。例題あり。
- logを含む難しい積分12(超幾何関数の微分の応用)$$\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{\sqrt{x-x^3}}dx=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{4\sqrt{2\pi}}\left(\ln2-\pi\right)$$超幾何関数およびそのパラメータによる微分を用いて計算する。
- Integrals and Miscellaneous 17
- 調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part16コーシー積や母関数を活用して３つのweight5の交代Euler-sumを求めよう。
- logを含む難しい積分11(調和数とEuler sumの利用)$$\int_0^x\frac{\ln^2u\ln^2(1-u)}{u}du$$Euler-sumと深い関係がある積分を導出。非常にテクニカルだが、ほぼ初等的で、さまざまな系を得る。
- 調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part15$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}H_n}{n^4} = \frac{59}{32}\zeta(5)-\frac{1}{2}\zeta(2)\zeta(3)$$weight5の基本的な交代Euler-sumを、なるべく初等的に導出する。二重級数をうまく利用しよう。
- 4F3の特殊値の計算例（一般化超幾何級数のEuler積分表示）$$\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\frac{(n+1)(2n+5)}{(2n+1)(2n+3)^2}=1$$部分積分により3F2にばらけさせ、Euler積分の計算に持ち込む。ほぼ初等的テクニックで計算できる。
- 超幾何関数のパラメータによる微分とディガンマ関数、一般化超幾何関数の特殊値３$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(\frac{1}{2})_n^3}{n!^3}H_{2n} = \frac{\pi}{2\G^4(\frac{3}{4})}(\pi-2\ln2)$$超幾何関数pFqをパラメータで微分し、ある値を代入すると調和数を含んだ複雑な級数公式を得る。さまざまな定理に応用して公式を導いていこう。
- 超幾何関数のパラメータによる微分とディガンマ関数、一般化超幾何関数の特殊値２$${}_8F_7\left[\begin{matrix}1,1,1+a,1+b,1+c,2+\frac{a}{2},2+2a-b-c+m,1-m\\2,1+\frac{a}{2},2+a-b,2+a-c,2+a,1+b+c-a-m,2+a+m\end{matrix};1\right]$$超幾何関数をパラメータで微分し、ゼロへの極限をとると、ディガンマ関数を含んだ特殊値公式を得る。
- 超幾何関数のパラメータによる微分とディガンマ関数、一般化超幾何関数の特殊値１$${}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,\nu+1\\2,\lambda+1\end{matrix};1\right] =\frac{\lambda}{\nu}\Bigl(\psi(\lambda)-\psi(\lambda-\nu)\Bigr)$$超幾何関数をパラメータで微分し、ゼロへの極限をとると特殊値公式を得る。
- logを含む難しい積分10(調和数・アーベルの級数変形法)$$\int_0^1 x^{n-1}\ln^3(1-x)dx=-\frac{H_n^3+3H_nH_n^{(2)}+2H_n^{(3)}}{n}$$対数のマクローリン展開、調和数の利用、アーベルの級数変形法の利用により計算する。Euler-sumの有限和バージョンを扱う。
- 調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part14weight5および6の基本的なEuler-sumを、なるべく初等的に導出する。ゼータ関数や調和数と絡んだ二重級数をうまく操作しよう。
- Integrals and Miscellaneous 16Previous posts: NEXT:
- 調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part13調和数の3乗を含むEuler-sumを計算する。2乗のときと同様の手法を用いる。対数や多重対数関数を含んだ積分を多用する。
- 弧長パラメータと動標構、曲率、フレネ・セレの公式【平面曲線】平面曲線における弧長パラメータ表示より、動標構と曲率を解説。フレネ・セレの公式を導出する。また曲線論の基本定理（曲率が決まれば曲線が１つ決まる）の証明も解説。
- logを含む難しい積分９$$\int_0^1\frac{x\ln(1\pm x)}{1+x^2}dx$$調和数および交代調和数の公式を使う方法と、重積分に直して対称性を利用して解く方法を解説。
- Whippleの7F6変換公式とDougallの7F6-和公式・6F5・5F4・4F3への応用（一般化超幾何関数）$${}_7F_6\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&b,&c,&d,&e,&-m\\ &\frac{a}{2},&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e,&1+a+m\end{matrix};1\right]$$well-poisedな7F6の、Whippleによる変換公式を示し、有名なDougallの7F6を紹介する。極限をとった系として多くの公式が導ける。
- Well-poisedな一般化超幾何関数の変換公式とDougallの5F4-和公式$${}_{s+4}F_{s+3}\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&a_1,&a_2,\cdots,&a_s,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&b_1,&b_2,\cdots,&b_s,&b_{s+1}\end{matrix};z\right]$$一般化超幾何関数の汎用的な変換公式を導出する。ここから多くの公式が導かれ、本記事では特にDougallの5F4-和公式を導出する。
- Whippleの和定理（一般化超幾何級数3F2）$${}_3F_2\left[\begin{matrix}a,1-a,c\\e,1+2c-e\end{matrix};1\right]=\frac{2^{1-2c}\pi\G(e)\G(1+2c-e)}{\G(\frac{a+e}{2})\G(\frac{1-a+e}{2})\G(\frac{1+a-e}{2}+c)\G(1+c-\frac{a+e}{2})}$$Watsonの定理を利用する。また極限をとってBaileyの定理へ帰着させる方法も紹介。
- Watsonの定理（一般化超幾何級数3F2）$${}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\\frac{a+b+1}{2},2c\end{matrix};1\right]=\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})\G(c+\frac{1}{2})\G(\frac{1-a-b}{2}+c)}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})\G(\frac{1-a}{2}+c)\G(\frac{1-b}{2}+c)}$$Watsonの定理を紹介。二重級数の順序交換をうまく利用する。また極限をとってGaussの公式へ帰着させる方法も紹介。
- Dixonの定理の導出（一般化超幾何級数3F2）$${}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\1+a-b,1+a-c\end{matrix};1\right]=\frac{\G(1+\frac{a}{2})\G(1+a-b)\G(1+a-c)\G(1+\frac{a}{2}-b-c)}{\G(1+a)\G(1+\frac{a}{2}-b)\G(1+\frac{a}{2}-c)\G(1+a-b-c)}$$ Baileyによる証明を紹介。隣接関係式と極限計算をうまく利用する。
- Dixonの定理の導出2・オリジナル論文より（未完）\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\1+a-b,1+a-c\end{matrix};1\right]=\frac{\G(1+\frac{a}{2})\G(1+a-b)\G(1+a-c)\G(1+\frac{a}{2}-b-c)}{\G(1+a)\G(1+\frac{a}{2}-b)\G(1+\frac{a}{2}-c)\G(1+a-b-c)}\end{equation}Dixonのオリジナル論文は複素解析の手法を用いており、難解であるため、解説としては未完。
- Integrals and Miscellaneous 15
- ポリログを含む積分2（重積分・級数展開）$$\int_0^1\frac{x\ln^nx\Li_{n+1}(x)}{1+x^2}dx$$ポリログの積分表示によって重積分へ帰着させ、対称性をうまくもちいて計算する。
- ポリログを含む積分1（重積分・級数展開）$$\int_0^1\frac{\ln^nx\Li_{n+1}(x)}{1+x}dx$$ポリログの積分表示によって重積分へ帰着させ、対称性をうまくもちいて計算する。
- Clausenの公式（一般化超幾何級数3F2を2F1に変える強力な式）$${}_3F_2\left[\begin{matrix}2a,2b,a+b\\2a+2b,a+b+\frac{1}{2}\end{matrix};z\right]={}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\a+b+\frac{1}{2}\end{matrix};z\right]^2$$両辺が同じ微分方程式の解であることを導くという手順である。
- フックス型とHeunの微分方程式$$u''+\left(\frac{\a}{z}+\frac{\b}{z-1}+\frac{\g}{z-a}\right)u'+\frac{\d\d'z+I}{z(z-1)(z-a)}u=0$$確定特異点を4個もつ任意の2階フックス型微分方程式は、Heunの微分方程式に帰着することを示す。
- 4個の確定特異点をもつフックス型微分方程式確定特異点が4個あるフックス型微分方程式の形を導出する。3個の場合との共通点が見出せる一方、アクセサリー・パラメータなる要素が初めて現れる。
- z=1/4における超幾何関数2F1の特殊値（代数的手法）$$F\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1-u\\2u+\frac{1}{2}\end{matrix};\frac{1}{4}\right]=\frac{2\sqrt{2}\G(u+\frac{3}{4})\G(u+\frac{1}{4})}{3\G^2(u+\frac{1}{2})}$$
- リーマンP方程式から超幾何関数の二次変換を導出$$F\left[\begin{matrix}a,a+\frac{1}{2}\\c\end{matrix};z^2\right]=(1+z)^{-2a}F\left[\begin{matrix}2a,c-\frac{1}{2}\\2c-1\end{matrix};\frac{2z}{1+z}\right]$$リーマンのP微分方程式の変換公式から、超幾何関数の2次変換公式を生み出す方法を解説する。
- リーマンのP方程式と24個の特殊解リーマンのP微分方程式と超幾何微分方程式について、Kummerの24解を導出する。24解を必要に応じて線型結合することで数多の変換公式を得る。
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- リーマンのP方程式とメビウス変換・超幾何関数2階フックス型微分方程式で確定特異点が３つであるリーマンのP方程式は、メビウス変換によって特異点が移動する以外は不変であることを示す。その結果、すべての方程式が超幾何微分方程式に帰着する。
- フックス型微分方程式とメビウス変換2階のフックス型微分方程式をメビウス変換しても不変であることを用いて、シンプルな方程式に帰着させる理論と応用。今回は確定特異点が２つ以下の場合を論じる。
- リーマンのP微分方程式の指数と解の関係フックス型であるリーマンのP方程式について、確定特異点と解の形の関係をフロベニウス法と絡めて考察する。特異点に属する「指数」とは何であろうか。無限遠が特異点である場合についても丁寧に解説。
- フックス型微分方程式と確定特異点2 (RiemannのP方程式)確定特異点を２つもつ一般的な2階フックス型微分方程式を導出する。それを足掛かりに確定特異点が３つの場合について考察し、リーマンのP方程式を導く。
- フックス型微分方程式と確定特異点１（基本と例題）フックス型の2階微分方程式と確定特異点との関係について考察する。いずれはガウスの超幾何関数にもちこむ。
- 複２次式の平方根を含む積分（楕円積分の応用）$$\int_0^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^4+21x^2+112}}=\frac{\G(\frac{1}{7})\G(\frac{2}{7})\G(\frac{4}{7})}{8\sqrt{7}\pi}$$分母が複2次式の平方根となる関数の積分は、第1種楕円積分で表される。ガンマ関数等で閉じた形で表せるものを特に見ていこう。
- 超幾何関数2F1の特殊値と楕円積分2$$F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix};\frac{80}{81}\right)=\frac{9}{5}$$Kummerの二次変換、楕円積分の理論を用いて超幾何関数2F1の値を求める方法を紹介する。