「ゼータ関数の基礎」シリーズ第3回です。前回はフルヴィッツゼータ関数 $\zeta(s,a)$ の複素積分表示（ハンケル積分路）を導出しました。今回はそれを使って具体的なゼータ関数の値を求めていきましょう。途中でベルヌーイ多項式（ベルヌーイ数）、留数定理を用います。
シリーズ初回はこちらです：
$0<a\le1$ におけるフルヴィッツゼータ関数 $\zeta(s,a)$ を考える。
$m\in\ZZ^+$ （非負整数）に対し$$\zeta(-m,a)=-\frac{B_{m+1}(a)}{m+1}$$ここで $B_m(a)$ はベルヌーイ多項式（Bernoulli polynomial）。
すなわち $\zeta(0,a)$ , $\zeta(-1,a)$ , $\zeta(-2,a)\cdots$ の値が分かるよってことです。ベルヌーイ多項式を使っていますが、記事の最後でいくつか値を書き下します。ベルヌーイ多項式やベルヌーイ数については、導出の最中に簡単に説明します。
リーマンゼータ関数 $\zeta(s)$ は $\zeta(s,1)$ のことですから、上記の定理はリーマンゼータ関数を含んでいます。
話の流れ上、前回の結論を押さえておく必要があります。前回の記事はこちら：
その記事の結論として
$s\notin\NN$ として\begin{equation}\zeta(s,a)=-\frac{\G(1-s)}{2\pi i}\int_C\frac{(-z)^{s-1}e^{-az}}{1-e^{-z}}dz\tag{1}\end{equation}
を得たのでした。なお導出の際は $\mathfrak{R}s>1$ かつ $s\notin\NN$ を仮定しましたが、(1)の表示は $s=1,2,3\cdots$ を除く全平面で成立します（解析接続）。なお経路 $C$ はハンケル積分路で、 $z$ 平面において実軸正の部分に切断が入っています。
積分路を整理しよう
$s$ が整数のときは(1)式において $z$ 平面に切断は生じません。ゆえに2つの直線の積分路 $C_1$ , $C_3$ は相殺され、円弧 $C_2$ のみが残ります。
もちろん非整数の $s$ のときと同様に、直線 $C_1$ で $-z=re^{-i\pi}$ , $C_2$ で $-z=re^{i\pi}$ とおいてもいいですが、$s\in\ZZ$ ではやはりキャンセルします。
切断がないのでこの $C_2$ は閉じた小円と考えてOKです。 したがって$$\int_C\frac{(-z)^{s-1}e^{-az}}{1-e^{-z}}dz=\int_{C_2}\frac{(-z)^{s-1}e^{-az}}{1-e^{-z}}dz$$
よって $s=-m$ , $m\in\ZZ^+$ とすれば
\begin{equation}\zeta(-m,a)=\frac{m!(-1)^m}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{z^{-m-2}ze^{-az}}{1-e^{-z}}dz\tag{2}\end{equation}ただし $C_2$ は原点を正方向に回る小さな円弧。
円1周だけになったので、原点回りの留数積分をすればいいですね。
ベルヌーイ多項式
ここでベルヌーイ多項式を導入します。ベルヌーイ多項式 $B_n(a)$ は$$\frac{te^{at}}{e^t-1}=\sum_{n=0}^\infty B_n(a)\frac{t^n}{n!}$$として定義されます。左辺の母関数になっているというわけです。これに $t=-z$ を適用すると$$\frac{-ze^{-az}}{e^{-z}-1}=\sum_{n=0}^\infty B_n(a)\frac{(-z)^n}{n!}$$$$\therefore\quad\frac{ze^{-az}}{1-e^{-z}}=\sum_{n=0}^\infty B_n(a)\frac{(-z)^n}{n!}$$
よって(2)は\begin{eqnarray*}\zeta(-m,a)&=&\frac{m!(-1)^m}{2\pi i}\int_{C_2}z^{-m-2}\sum_{n=0}^\infty B_n(a)\frac{(-z)^n}{n!}dz\\&=&\frac{m!(-1)^m}{2\pi i}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nB_n(a)}{n!}\int_{C_2}z^{n-m-2}dz\end{eqnarray*}
留数定理
得られた式の積分は $n=m+1$ のときのみ $0$ 以外の値をとります。\begin{eqnarray*}\zeta(-m,a)&=&\frac{m!(-1)^m}{2\pi i}\frac{(-1)^{m+1}B_{m+1}(a)}{(m+1)!}\int_{C_2}\frac{dz}{z}\\&=&-\frac{1}{2\pi i}\frac{B_{m+1}(a)}{m+1}\int_{C_2}\frac{dz}{z}\\&=&-\frac{1}{2\pi i}\frac{B_{m+1}(a)}{m+1}\cdot 2\pi i\\&=&-\frac{B_{m+1}(a)}{m+1}\end{eqnarray*}まともに積分してもよかったですが、留数定理で一発でした。
以上より次の結論を得ます。
\begin{equation}\zeta(-m,a)=-\frac{B_{m+1}(a)}{m+1}\tag{3}\end{equation}
ベルヌーイ多項式について調べれば $\zeta(0,a)$ , $\zeta(-1,a)$ , $\zeta(-2,a)\cdots$ の値が次々と分かります。
ベルヌーイ多項式は\begin{eqnarray*}B_1(a)&=&a-\frac{1}{2}\\B_2(a)&=&a^2-a+\frac{1}{6}\\B_3(a)&=&a^3-\frac{3}{2}a^2+\frac{1}{2}a\\B_4(a)&=&a^4-2a^3+a^2-\frac{1}{30}\\&\vdots&\end{eqnarray*}です。これにより$$\zeta(0,a)=\frac{1}{2}-a\;,\;\zeta(-1,a)=-\frac{1}{2}\left(a^2-a+\frac{1}{6}\right)$$などと求まります。
特に $a=1$ ではリーマンゼータ関数 $\zeta(s)$ と一致するので$$\zeta(0)=-\frac{1}{2}\;,\;\zeta(-1)=-\frac{1}{12}\;,\;\zeta(-2)=0\cdots$$を得ます。
なお $B_n=B_n(1)$ をベルヌ―イ数とよび、$k\in\NN$ に対し $B_{2k+1}=0$ であることが知られています。$$\therefore\quad\zeta(-2m)=0$$
次回はエルミートによるゼータ関数のフーリエ級数表示について解説します。
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