1個の粒子が1次元無限井戸型ポテンシャル$$V(x)=\begin{cases}0\quad & (0<x<a)\\+\infty &(\mathrm{else})\end{cases}$$に閉じこめらているとします。定常状態のシュレディンガー方程式の解は $n\in\NN$ で\begin{equation}\psi_n(x)=\begin{cases}\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\dfrac{n\pi}{a}x&\quad(0<x<a)\\\quad 0 &\quad(\mathrm{else})\end{cases}\tag{1}\end{equation}であり（規格化済）、対応するエネルギー固有値は\begin{equation}E_n=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}n^2\tag{2}\end{equation}です。これの導出はあちこちに書かれているので省略します。
この粒子のとりうる状態が $\psi_1,\psi_2,\cdots$ であり、実際はこれらの状態が重なりあっています。すなわち\begin{equation}\Psi(x)=\sum_{n=1}^\infty c_n\psi_n(x)\tag{3}\end{equation}ただし $\Psi$ は規格化されている必要がありますので\begin{equation}\int_{-\infty}^\infty\Psi(x)^*\Psi(x)dx=1\tag{4}\end{equation}です。今は(1)より実数の波動関数なので共役の記号を省いても大丈夫。(4)に(3)を代入すると\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty |c_n|^2=1\tag{5}\end{equation}また\begin{equation}c_n=\int_0^a\psi_n(x)\Psi(x)dx\tag{6}\end{equation}で係数 $c_n$ が求まります。
以下、重ね合わせの状態 $\Psi$ が与えられた状態で $c_n$ を計算する易しい例を挙げていきます。
まず $\Psi(x)$ が $0<x<a$ で一定の場合を考えます。すなわち\begin{equation}\Psi(x)=\frac{1}{\sqrt{a}}\tag{7}\end{equation}のときです。どうして $1/\sqrt{a}$ なのかというと、規格化されて必然的にそうなっています。分かっていない場合はとりあえず $\Psi=A$ とかおいておいて(4)を満たすように $A$ を決めればよいです。
(1)(6)によって初等的な積分で\begin{equation}c_n=\begin{cases}\dfrac{2\sqrt{2}}{n\pi}\quad &(\mathrm{odd})\\0&(\mathrm{even})\end{cases}\tag{8}\end{equation}と求まります。したがって\begin{equation}|c_n|^2=\begin{cases}\dfrac{8}{n^2\pi^2}\quad &(\mathrm{odd})\\0&(\mathrm{even})\end{cases}\tag{9}\end{equation}ゼータ関数の知識が必要ですが、(9)はちゃんと(5)を満たしていることが分かります。
(9)を $n=1$ から順に数値で並べると$$81.057\%\;,\;0\%\;,\;9.006\%\;,\;0\%\;,\;3.242\%\;,\;0\%\;,\cdots$$となります。$\Psi$ はエネルギー固有値 $E_n$ をもつ定常状態 $\psi_n$ がこのような確率で分布しているものです。
\begin{equation}\Psi(x)=\begin{cases}\sqrt{\dfrac{3}{a^3}}x &\quad(0<x<a)\\\quad 0 &\quad(\mathrm{else})\end{cases}\tag{10}\end{equation}とします。規格化されています。先ほどと同様にして\begin{equation}c_n=\frac{\sqrt{6}(-1)^{n-1}}{n\pi}\tag{11}\end{equation}\begin{equation}\therefore\quad |c_n|^2=\frac{6}{n^2\pi^2}\tag{12}\end{equation}状態 $\psi_n$ が分布する確率は(12)を数値で並べて$$60.7927\%\;,\;15.1982\%\;,\;6.7547\%\;,\;3.7995\%\cdots$$
\begin{equation}\Psi(x)=\begin{cases}\sqrt{\dfrac{30}{a^5}}x(a-x) &\quad(0<x<a)\\\quad 0 &\quad(\mathrm{else})\end{cases}\tag{13}\end{equation}とします。規格化されています。先ほどと同様にして\begin{equation}c_n=\begin{cases}\dfrac{8\sqrt{15}}{n^3\pi^3}\quad &(\mathrm{odd})\\0&(\mathrm{even})\end{cases}\tag{14}\end{equation}\begin{equation}\therefore\quad |c_n|^2=\frac{960}{n^6\pi^6}\quad(\mathrm{odd})\tag{15}\end{equation}状態 $\psi_n$ が分布する確率は(15)を数値で並べて$$99.8555\%\;,\;0\%\;,\;0.13698\%\;,\;0\%\;,\;0.00639\%\;,\;0\%\;,\cdots$$となります。
シュレディンガー方程式を解いてそのあとはどうなるの？って話の例をしました。時間があれば物理量の計算等についても取り上げたいです。
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