前回はこちら:
前回の内容を少しおさらいすると、ワイエルシュトラスのペー関数 $\wp(z)$ は基本周期 $\o_1,\o_2$ をもつ楕円関数で\begin{equation}\wp(z):=\frac{1}{z^2}+\sum_{m,n}'\left[\frac{1}{(z-\O_{m,n})^2}-\frac{1}{\O_{m,n}^{~2}}\right]\tag{1}\end{equation}(ただし$\O_{m,n}:=m\o_1+n\o_2$)と定義され $z\equiv 0$ すなわち原点および原点と合同な点 $m\o_1+n\o_2$ で2位の極をもつのでした(格子点)。
またワイエルシュトラスのゼータ関数 $\zeta(z)$ は\begin{equation}\frac{d\zeta(z)}{dz}=-\wp(z)\;,\;\; \lim_{z\to0 }\left(\zeta(z)-\frac{1}{z}\right)=0\tag{2}\end{equation}あるいは\begin{equation}\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{m,n}'\left(\frac{1}{z-\O_{m,n}}+\frac{1}{\O_{m,n}}+\frac{z}{\O_{m,n}^{~2}}\right)\tag{3}\end{equation}で定義され、$z\equiv 0$ に1位の極をもつ擬周期関数であることを示しました。
今回は擬周期性をもつ整関数で $z\equiv 0$ を零点にもつものをつくります。
(3)より\begin{equation}\zeta(z)-\frac{1}{z}=\sum_{m,n}'\left(\frac{1}{z-\O_{m,n}}+\frac{1}{\O_{m,n}}+\frac{z}{\O_{m,n}^{~2}}\right)\tag{4}\end{equation}前回、(4)の右辺が一様収束であることを確認したので項別積分ができます。\begin{equation}\int_0^z\left(\zeta(z)-\frac{1}{z}\right)dz=\sum_{m,n}'\left[\log\left(1-\frac{z}{\O_{m,n}}\right)+\frac{z}{\O_{m,n}}+\frac{z^2}{2\O_{m,n}^{~2}}\right]\tag{5}\end{equation}ここで\begin{equation}\frac{d}{dz}\log\sigma(z)=\zeta(z)\;,\quad\lim_{z\to 0}\frac{\sigma(z)}{z}=1\tag{6}\end{equation}でシグマ関数 $\sigma(z)$ を定義します。(6)の第1式よりただちに$$\frac{d}{dz}\left(\log\frac{\sigma(z)}{z}\right)=\zeta(z)-\frac{1}{z}$$積分して\begin{equation}\int_0^z\left(\zeta(z)-\frac{1}{z}\right)dz=\log\frac{\sigma(z)}{z}\tag{6a}\end{equation}(5)と合わせると$$\sigma(z)=z\prod_{m,n}'\left[\left(1-\frac{z}{\O_{m,n}}\right)\exp\left(\frac{z}{\O_{m,n}}+\frac{z^2}{2\O_{m,n}^{~2}}\right)\right]$$これを定義式としても構いません。
ワイエルシュトラスのシグマ関数を$$\frac{d}{dz}\log\sigma(z)=\zeta(z)\;,\quad\lim_{z\to 0}\frac{\sigma(z)}{z}=1$$あるいは$$\sigma(z)=z\prod_{m,n}'\left[\left(1-\frac{z}{\O_{m,n}}\right)\exp\left(\frac{z}{\O_{m,n}}+\frac{z^2}{2\O_{m,n}^{~2}}\right)\right]$$で定義する
シグマ関数は無限積で定義されています。$\prod'$ は全整数にわたって $m,n$ の積をとるが、$m,n$ がともにゼロのときを除くということで $\sum'$ と同じです。
定義から $\zeta$ は $\sigma$ の対数微分ですので $\sigma'=\sigma\zeta$ です。
関数項の無限積で定義されるシグマ関数の収束性を確認します。こちらの定理6.5より $\sum \log f_n(z)$ が一様収束すれば $\prod f_n(z)$ も一様収束しますので、定義1の無限積の対数をとったものを考えます。
$m,n$ が十分大きければ $|z/\O_{m,n}|\le 1/2$ とできます(※)。$\log$ をメルカトル級数に展開することにより\begin{align}\left|\log\left(1-\frac{z}{\O_{m,n}}\right)+\frac{z}{\O_{m,n}}+\frac{z^2}{2\O_{m,n}^{~2}}\right| &= \left|\sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k}\left(\frac{z}{\O_{m,n}}\right)^k\right|\\ &\le\sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k}\left|\frac{z}{\O_{m,n}}\right|^k\\&\le \frac{1}{3}\sum_{k=3}^\infty\left|\frac{z}{\O_{m,n}}\right|^k\\&=\frac{1}{3}\frac{\left|\frac{z}{\O_{m,n}}\right|^3}{1-\left|\frac{z}{\O_{m,n}}\right|}\\&\le \frac{2}{3}\left|\frac{z}{\O_{m,n}}\right|^3\end{align}こちらで $\sum'\left|\frac{z}{\O_{m,n}}\right|^3$ が一様収束することを確認しましたので$$\sum_{m,n}'\left|\log\left(1-\frac{z}{\O_{m,n}}\right)+\frac{z}{\O_{m,n}}+\frac{z^2}{2\O_{m,n}^{~2}}\right|$$は一様収束します(※※)。つまり$$\sum_{m,n}'\left\{\log\left(1-\frac{z}{\O_{m,n}}\right)+\frac{z}{\O_{m,n}}+\frac{z^2}{2\O_{m,n}^{~2}}\right\}$$は絶対一様収束です。
以上から
$$\prod_{m,n}'\left[\left(1-\frac{z}{\O_{m,n}}\right)\exp\left(\frac{z}{\O_{m,n}}+\frac{z^2}{2\O_{m,n}^{~2}}\right)\right]$$は絶対一様収束する。
この無限積は二重無限積です。無限積の理論シリーズはこちら、特に二重無限積についてはこちらを参照。
※ $\CC$ 全体でいっぺんに論じるのではなく、任意の正実数 $R$ で決まる有界閉集合 $|z|\le R$ に対して $m,n$ を十分に大きくとれば $|z/\O_{m,n}|\le 1/2$ とでき、この円板内で収束性を議論できます。
※※通常の $\CC$ 上一様収束とは若干異なり、$\CC$ の任意の有界閉集合で一様収束する。これを広義一様収束といいますが、ここではまとめて「一様収束」とよんでいます。定理2も正確には「広義絶対一様収束」です。広義一様収束も一様収束と同様に、収束先の関数の解析性や項別微分可能性等を保障します。
シグマ関数の定義式(再掲)\begin{equation}\sigma(z)=z\prod_{m,n}'\left[\left(1-\frac{z}{\O_{m,n}}\right)\exp\left(\frac{z}{\O_{m,n}}+\frac{z^2}{2\O_{m,n}^{~2}}\right)\right]\tag{7}\end{equation}は極をもたず、$z\equiv 0$ すなわち $z=\O_{m,n}$ に1位の零点をもちます。
これで思い起こされるのはこちらで解説したワイエルシュトラスの因数分解定理です。(7)式はワイエルシュトラスの因数分解定理に登場する乗積表示そのままです。この定理からもまたシグマ関数は $z=\O_{m,n}$ に1位の零点をもつ整関数であることが瞬時に示されます。
$\sigma(z)$ は $z=\O_{m,n}$ に1位の零点をもつ整関数(全平面で解析的)である。
シグマ関数はそもそも楕円関数でないゼータ関数からつくられていること、整関数は(定数関数でない)楕円関数たりえないことから、シグマ関数は楕円関数ではありません。しかしペー関数の格子点 $\O_{m,n}$ をすべて零点としてもつことから、周期性に近い何らかの性質をもつことが予想されます。
定理3をうけて $z=0$ まわりの展開を考えます。定義より明らかに$$\sigma(z)=z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4+\cdots$$次々と微分していくと係数 $a_k$ が求まるわけです。奇関数性より偶数の項はゼロです。\begin{align}\sigma' &=\sigma\zeta\\\sigma''&=\sigma(\zeta^2-\wp)\\\sigma''' &=\sigma(\zeta^3-3\zeta\wp-\wp')\\\sigma^{(4)} &=\sigma(\zeta^4-6\zeta^2\wp-4\zeta\wp'+3\wp^2-\wp'')\\\sigma^{(5)} &=\sigma(\zeta^5-10\zeta^3\wp+15\zeta\wp^2-10\zeta^2\wp'+10\wp\wp'-5\zeta\wp''-\wp''')\end{align}これらに $z\to 0$ を代入して $a_k$ を求めますが、各式の右辺のカッコ内の $z^{-1}$ の項だけ計算すればよいです($\sigma=z(1+O(z))$ なので)。計算の際は以下を使うといいでしょう。\begin{align}\zeta(z) &=\frac{1}{z}-\frac{g_2}{60}z^3+O(z^5)\tag{a}\\\wp(z) &=\frac{1}{z^2}+\frac{g_2}{20}z^2+O(z^4)\tag{b}\\\zeta(z)^2 &=\frac{1}{z^2}-\frac{g_2}{30}z^2+O(z^4)\tag{c}\\\wp'(z)&=-\frac{2}{z^3}+\frac{g_2}{10}z+O(z^3)\tag{d}\\\wp(z)^2 &=\frac{1}{z^4}+\frac{g_2}{10}+O(z^2)\tag{e}\\\zeta(z)^3 &=\frac{1}{z^3}-\frac{g_2}{20}z+O(z^3)\tag{f}\\\wp''(z) &=\frac{6}{z^4}+\frac{g_2}{10}+O(z^2)\tag{g}\end{align}がんばって計算すると
$$\sigma(z)=z-\frac{g_2}{240}z^5+O(z^7)$$
(7)で $z$ に $-z$ を代入します。$m,n$ を $-m,-n$ に取り換えても全体の積としては変わりませんので\begin{equation}\sigma(-z)=-\sigma(z)\tag{8}\end{equation}
$\sigma(z)$ は 奇関数である。
ワイエルシュトラスのゼータ関数の擬周期性\begin{equation}\zeta(z+\o_1)=\zeta(z)+\eta_1\tag{9}\end{equation}および定義1より\begin{align}\frac{d}{dz}\log\sigma(z+\o_1) &= \frac{d}{dz}\log\sigma(z)+\eta_1\\&=\frac{d}{dz}\left(\log\sigma(z)+\eta_1z\right)\\&=\frac{d}{dz}\log\left(e^{\eta_1z}\sigma(z)\right)\end{align}積分して定数 $C$ とおき$$\sigma(z+\o_1)=Ce^{\eta_1z}\sigma(z)$$$z=-\o_1/2$ として、奇関数性も用いると $C=-e^{\eta_1\o_1/2}$ と求まりますので\begin{equation}\begin{cases}\sigma(z+\o_1) &=-e^{\eta_1(z+\frac{\o_1}{2})}\sigma(z)\\\sigma(z+\o_2) &=-e^{\eta_2(z+\frac{\o_2}{2})}\sigma(z)\end{cases}\tag{10}\end{equation}ただし $\eta_i=2\zeta(\frac{\o_i}{2})$ です。これがシグマ関数の擬周期性です。
(10)は確かに擬周期性といってよさそうなものの、ゼータ関数の擬周期性(9)と比較すると掛けられる部分に $z$ が含まれていてやや複雑です。
より一般に $m,n\in\NN$ に対して$$\sigma(z+m\o_1+n\o_2)=-e^{\eta_1(z+m\o_1+n\o_2-\frac{\o_1}{2})}\sigma(z+(m-1)\o_1+n\o_2)$$繰り返すと$$=(-1)^m\exp\left[m\eta_1\left(z+\frac{m}{2}\o_1+\o_2\right)\right]\cdot\sigma(z+n\o_2)$$$n\o_2$ についても同様に次々計算して$$=(-1)^{m+n}\exp\left[m\eta_1\left(z+\frac{m}{2}\o_1+\o_2\right)\right]\exp\left[n\eta_2\left(z+\frac{n}{2}\o_2\right)\right]\cdot\sigma(z)$$したがって\begin{align}&\sigma(z+m\o_1+n\o_2)\\&=(-1)^{m+n}\exp\left[(m\eta_1+n\eta_2)z+m^2\eta_1\frac{\o_1}{2}+n^2\eta_2\frac{\o_2}{2}+mn\eta_1\o_2\right]\sigma(z)\tag{11}\end{align}$\exp$ 内で $(m\eta_1+n\eta_2)$ をつくることを意識すると$$=(-1)^{m+n}\exp\left[(m\eta_1+n\eta_2)z+(m\eta_1+n\eta_2)\frac{m\o_1+n\o_2}{2}+\frac{mn}{2}(\eta_1\o_2-\eta_2\o_1)\right]\sigma(z)$$ルジャンドルの関係式より $\eta_1\o_2-\eta_2\o_1=2\pi i$ なので\begin{equation}\sigma(z+m\o_1+n\o_2)=(-1)^{mn+m+n}\exp\left[(m\eta_1+n\eta_2)\left(z+\frac{m\o_1+n\o_2}{2}\right)\right]\sigma(z)\tag{12}\end{equation}
$\o_1$ を $-\o_1$ とおいて、(12)を導いたのと同様に再度計算します。その際にはゼータの奇関数性より$\eta_i$ は $-\eta_i$ に変える必要があることに注意します。この計算は見方を変えれば $m$ を $-m$ に変えた場合に対応します。$n$ についても同様なので結局 $m,n\in\ZZ$ で(11)や(12)は成立します。
(12)を用いれば $\o_3:=-\o_1-\o_2$ においても(10)と同等の式を得ます。まとめると
\begin{align}&\sigma(z+m\o_1+n\o_2)\\&=(-1)^{mn+m+n}\exp\left[(m\eta_1+n\eta_2)\left(z+\frac{m\o_1+n\o_2}{2}\right)\right]\sigma(z)\end{align}であり、特に$$\begin{cases}\sigma(z+\o_1) &=-e^{\eta_1(z+\frac{\o_1}{2})}\sigma(z)\\\sigma(z+\o_2) &=-e^{\eta_2(z+\frac{\o_2}{2})}\sigma(z)\\\sigma(z+\o_3) &=-e^{\eta_3(z+\frac{\o_3}{2})}\sigma(z)\end{cases}$$
$$\sigma\left(\lambda z\left|\begin{matrix}\lambda\o_1\\\lambda\o_2\end{matrix}\right.\right)=\lambda\sigma\left(z\left|\begin{matrix}\o_1\\\o_2\end{matrix}\right.\right)$$$$\sigma(\lambda z;\lambda^{-4}g_2,\lambda^{-6}g_3)=\lambda\sigma(z;g_2,g_3)$$
第1式は定義1にある無限積の定義よりすぐに導かれます。第2式はゼータ関数の同次性$$\zeta(\lambda z;\lambda^{-4}g_2,\lambda^{-6}g_3)=\lambda^{-1}\zeta(z;g_2,g_3)$$の積分によります。というのは$$\int_0^z\left(\zeta(\lambda z;\lambda^{-4}g_2,\lambda^{-6}g_3)-\frac{1}{\lambda z}\right)dz=\frac{1}{\lambda}\int_0^z\left(\zeta(z;g_2,g_3)-\frac{1}{z}\right)dz$$の左辺を変数変換して$$\int_0^{\lambda z}\left(\zeta(z;\lambda^{-4}g_2,\lambda^{-6}g_3)-\frac{1}{z}\right)dz=\int_0^z\left(\zeta(z)-\frac{1}{z}\right)dz$$(6a)より$$\log\frac{\sigma(\lambda z;\lambda^{-4}g_2,\lambda^{-6}g_3)}{\lambda z}=\log\frac{\sigma(z;g_2,g_3)}{z}$$となります。
$$\sigma\left(z+\frac{\o_1}{2}\right)\sigma\left(z+\frac{\o_2}{2}\right)\sigma\left(z+\frac{\o_3}{2}\right)=-\sigma\left(z-\frac{\o_1}{2}\right)\sigma\left(z-\frac{\o_2}{2}\right)\sigma\left(z-\frac{\o_3}{2}\right)$$
をこれまでの話から導くことができます。
第5版です。いわずと知れた名著。楕円関数にかなりのページを割いています。

次回は
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