【H3】落体運動の法則はただ１つ

下方向が正、時刻0での位置を原点とする。

重力は下向きなので正であり $F=mg$ と書ける。よって運動方程式より $a(t)=g$ なる式が立つ。すなわち求める微分方程式は$$\frac{d^2y}{dt^2}=g$$時間で積分して$$v(t)=\frac{dy}{dt}=gt+c_1$$初期条件 $v(0)=0$ を代入すると $c_1=0$ になるので$$\frac{dy}{dt}=gt$$もう1度積分して$$y(t)=\frac{1}{2}gt^2+c_2$$初期条件 $y(0)=0$ を代入すると $c_2=0$ だから求める解は$$y(t)=\frac{1}{2}gt^2$$

下方向が正、時刻0での位置を原点にとる。初速度は $v_0$ である。

重力は下向きなので正であり $F=mg$ である。よって運動方程式より $a(t)=g$ なる式が立つ。すなわち求める微分方程式は$$\frac{d^2y}{dt^2}=g$$時間で積分して$$v(t)=\frac{dy}{dt}=gt+c_1$$初期条件 $v(0)=v_0$ を代入すると $c_1=v_0$ になるので$$v(t)=\frac{dy}{dt}=v_0+gt$$もう1度積分して$$y(t)=v_0t+\frac{1}{2}gt^2+c_2$$初期条件 $y(0)=0$ を代入すると $c_2=0$ だから求める解は$$y(t)=v_0t+\frac{1}{2}gt^2$$

重力は下向きなので負であり $F=-mg$ である。よって運動方程式より $a(t)=-g$ なる式が立つ。すなわち求める微分方程式は$$\frac{d^2y}{dt^2}=-g$$時間で積分して$$v(t)=\frac{dy}{dt}=-gt+c_1$$初期条件 $v(0)=v_0$ を代入すると $c_1=v_0$ になるので$$v(t)=\frac{dy}{dt}=v_0-gt$$もう1度積分して$$y(t)=v_0t-\frac{1}{2}gt^2+c_2$$初期条件 $y(0)=0$ を代入すると $c_2=0$ だから求める解は$$y(t)=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$

$v(t)$ , $y(t)$ のグラフは次のようになる。

ベクトルを太字で表す。重力は下向きのベクトルであり $\boldsymbol{F}=(0,-mg)$ と書ける。運動方程式は $ \boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}(t)$ だから $x,y$ それぞれの成分で表示すると$$\begin{cases}a_x(t)&=&0\\a_y(t)&=&-g\end{cases}$$よって求める微分方程式は$$\begin{cases}\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}&=&0\\ \displaystyle\frac{d^2y}{dt^2} &=&-g\end{cases}$$これらの解き方はさんざんやってきたとおりだが、初期条件をしっかり確認しておく。$$\begin{cases}x(0)&=&0\\y(0)&=&0\\v_x(0)&=&v_0\cos\theta_0\\v_y(0)&=&v_0\sin\theta_0\end{cases}$$

あとは積分を繰り返すだけ。$$x(t)=v_0t\cos\theta_0$$$$y(t)=v_0t\sin\theta_0-\frac{1}{2}gt^2$$

空気抵抗はいろいろなモデルがあるが、ここでは 落下速度に比例した力 $kv$ を逆向きに受けると仮定しよう。はじめの速度は$0$だから空気抵抗は0からスタートしてだんだん大きくなるので $mg>kv$ である。このとき運動方程式は $ma=mg-kv$ すなわち $$\frac{dv}{dt}=g-\frac{k}{m}v$$変形すると$$dt=\frac{dv}{g-\frac{k}{m}v}$$積分して初期条件 $v(0)=0$ を取り入れれば$$t=-\frac{m}{k}\log(1-\frac{kv}{mg})$$$$\therefore \quad v(t)=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{k}{m}t})$$時刻 $t$ を大きくしていけば速度 $v$ は$mg/k$ へ収束していく（終端速度）。

さらに積分して初期条件 $y(0)=0$ を取り入れれば$$y(t)=\frac{mg}{k}\left[t-\frac{m}{k}(1-e^{-\frac{k}{m}t})\right]$$となり、時刻 $t$ における座標が求まった。