【H6】ベクトルの極座標成分

位置，速度，加速度，力といったベクトルを極座標成分に分解して表す．基底ベクトルが時間に依存するというデメリットがあるが，ケースによっては圧倒的に便利である．

物体の位置 $\bm{r}=(x,y)$ のとき，その方向を動径方向という．動径方向の単位ベクトルを $\bm{e}_r$ と定義する．それを90度反時計回りに回転させたとき，その方向を角度方向といい，単位ベクトルを $\bm{e}_\t$ と定義する．

図より $\bm{r}=r(\cos\t,\sin\t)$ および $\bm{r}=r\bm{e}_r$ だから，$$\bm{e}_r =(\cos\t,\sin\t)$$であることが分かる．$\t$ 方向は$$ \bm{e}_\t =\left(\cos(\t+\frac{\pi}{2}),\sin(\t+\frac{\pi}{2})\right)=(-\sin\t,\cos\t)$$以上から2つの単位ベクトルは\begin{equation}\bm{e}_r =(\cos\t,\sin\t) \tag{1}\end{equation}\begin{equation}\bm{e}_\t =(-\sin\t,\cos\t) \tag{2}\end{equation} と表せる．

質量 $M$ の太陽が原点にあり，質量 $m$ の惑星が位置 $\bm{r}$ にある．このとき惑星にかかる万有引力の動径成分 $F_r$ ，角度成分 $F_\t$ を求めよ．また万有引力 $\bm{F}$ を $\bm{e}_r$ , $\bm{e}_\t$ を基底として表せ．万有引力定数を $G$ とする．

問題１の条件もとで $\bm{r}=(x,y)$ とするとき，$\bm{F}$ を $\bm{e}_x$ , $\bm{e}_y$ を基底として表せ．

式(1)(2)を再掲する．物体の位置 $\bm{r}$ に対し，\begin{equation}\bm{e}_r =(\cos\t,\sin\t) \tag{1}\end{equation}\begin{equation}\bm{e}_\t =(-\sin\t,\cos\t) \tag{2}\end{equation}一般に物体は移動するから $r,\t$ は時間の関数である．そのため $\bm{e}_r$ , $\bm{e}_\t$ も時間の関数である．微分すると\begin{eqnarray*}\dot{\bm{e}_r}&=&\frac{d}{dt}\binom{\cos\t}{\sin\t}=\dot{\t}\binom{-\sin\t}{\cos\t}\\&=&\dot{\t}\bm{e}_\t\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*}\dot{\bm{e}_\t}&=&\frac{d}{dt}\binom{-\sin\t}{\cos\t}=\dot{\t}\binom{-\cos\t}{-\sin\t}\\&=&-\dot{\t}\bm{e}_r\end{eqnarray*}となる．まとめると\begin{equation}\dot{\bm{e}_r}=\dot{\t}\bm{e}_\t\tag{3}\end{equation} \begin{equation}\dot{\bm{e}_\t}=-\dot{\t}\bm{e}_r\tag{4}\end{equation}

位置ベクトルは$$\bm{r}=r\bm{e}_r$$これの時間微分が速度だから\begin{eqnarray*}\bm{v}&=&\dot{r}\bm{e}_r+r\dot{\bm{e}_r}\\&=&\dot{r}\bm{e}_r+r\dot{\t}\bm{e}_\t\quad(\because(3))\end{eqnarray*}よって速度の動径成分・角度成分による表式$$\bm{v}=v_r\bm{e}_r+v_\t\bm{e}_\t$$と比べて\begin{equation}\begin{cases}v_r&=&\dot{r}\\v_\t &=& r\dot{\t}\end{cases}\tag{5}\end{equation}

加速度は速度の微分だから\begin{eqnarray*}\bm{a}&=& \frac{d}{dt}\left(\dot{r}\bm{e}_r+r\dot{\t}\bm{e}_\t\right)\\&=&\ddot{r}\bm{e}_r+\dot{r}\dot{\bm{e}_r}+\dot{r}\dot{\t}\bm{e}_\t+ r\ddot{\t}\bm{e}_\t+ r\dot{\t}\dot{\bm{e}_\t}\\&=& \ddot{r}\bm{e}_r+\dot{r}\dot{\t}\bm{e}_\t+\dot{r}\dot{\t}\bm{e}_\t+ r\ddot{\t}\bm{e}_\t-r\dot{\t}^2\bm{e}_r\quad(\because(3)(4))\\&=& (\ddot{r}- r\dot{\t}^2)\bm{e}_r+(2\dot{r}\dot{\t}+r\ddot{\t})\bm{e}_\t \end{eqnarray*}よって加速度の動径成分・角度成分による表式$$\bm{a}=a_r\bm{e}_r+a_\t\bm{e}_\t$$と比べて\begin{equation}\begin{cases}a_r&=& \ddot{r}- r\dot{\t}^2 \\a_\t &=& 2\dot{r}\dot{\t}+r\ddot{\t} \end{cases}\tag{6}\end{equation}

$\bm{v}=\dot{r}\bm{e}_r+r\dot{\t}\bm{e}_\t$ を2乗し，速さ $v$ を求めよ．

角速度 $\omega$ の等速円運動における $\bm{v}$ と $\bm{a}$ の極座標成分を求めよ．

$xy$ 平面上の位置 $\bm{r}$ にある質量 $m$ の質点が，原点へ向かう方向に大きさ $kr$ の力を受けるとする（フックの法則もどき）．ただし $r=|\bm{r}|$． このとき動径成分と角度成分の運動方程式を記せ．

また，このとき $r^2\dot{\t}$ は時間によらず一定であることを示せ．