リーマンにはじまる３つのゼータ関数および多重対数関数（ポリログ）とガンマ関数の関係式（積分表示）を導出する．それらの関係式に値を代入することで特殊な定積分と無限級数の等式をたくさん得ることができる．
前回の記事（読まなくても今回の記事は読めます）：
$$\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx$$$$\left(1-\frac{1}{2^{s-1}}\right)\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{e^x+1}dx$$$$\mathrm{Li}_s(z)=\frac{z}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{e^x-z}dx$$$$\zeta(s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{e^{-ax}x^{s-1}}{1-e^{-x}}dx$$$$\Phi(z,s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{e^{-ax}x^{s-1}}{1-ze^{-x}}dx$$
もくじ
・リーマンのゼータ関数(Riemann zeta function)\begin{equation}\zeta(s)\equiv \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\tag{1}\end{equation}
・多重対数関数(通称：ポリログ)\begin{equation}\mathrm{Li}_s(z)\equiv \sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n^s}\tag{2}\end{equation}
・フルヴィッツのゼータ関数(Hurwitz zeta function)\begin{equation}\zeta(s,a)\equiv\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+a)^s}\tag{3}\end{equation}
・レルヒの超越関数(Lerch transcendent)\begin{equation}\Phi(z,s,a)\equiv \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{(n+a)^s}\tag{4}\end{equation}
(1)を一般化したのが(2)(3)で，それらのコンビネーションが(4)ですね．(1)(2)の総和は $n=1$ からで他は $n=0$ からであることに注意しましょう．
\begin{equation}\Gamma(s)\equiv\int^\infty_0e^{-x}x^{s-1}dx\tag{5}\end{equation}
階乗の一般化としておなじみのやつです．これらの予備知識から上の関係式（積分表示）を導出しましょう．導出方法はすべて似通っています．
ガンマ関数の式(5)において $x=nt$ ($n\in\mathbb{N}$)と変換すると$$\Gamma(s)=n^s\int^\infty_0e^{-nt}t^{s-1}dt$$よって$$\frac{1}{n^s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0e^{-nt}t^{s-1}dt$$両辺とも $n$ について和をとると(1)よりリーマンゼータが現れます．\begin{eqnarray*}&&\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\sum_{n=1}^\infty\int^\infty_0 e^{-nt}t^{s-1}dt\\&\Leftrightarrow& \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\left(\sum_{n=1}^\infty e^{-nt}\right)t^{s-1}dt\\&\Leftrightarrow&\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{t^{s-1}}{e^t-1}dt\end{eqnarray*}以上から
\begin{equation}\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx\tag{6}\end{equation}
なる関係があることが分かりました．
途中、積分と総和の順序を入れ替えています．厳密には関数列の一様収束性を議論する必要がありますが省略します．
もう１つの等式を導出します．(5)において $x=nt$ ($n\in\mathbb{N}$)と変換すると$$\Gamma(s)=n^s\int^\infty_0e^{-nt}t^{s-1}dt$$よって$$\frac{1}{n^s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0e^{-nt}t^{s-1}dt$$両辺に $(-1)^n$ をかけると$$\frac{(-1)^n}{n^s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0(-e^{-t})^{n}t^{s-1}dt$$両辺とも $n$ について和をとります．\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^s}&=&\frac{1}{\Gamma(s)}\sum_{n=1}^\infty\int^\infty_0 (-e^{-t})^{n}t^{s-1}dt\\\Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^s}&=&\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\left(\sum_{n=1}^\infty (-e^{-t})^{n}\right)t^{s-1}dt\\\Leftrightarrow\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^s}&=&-\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{t^{s-1}}{e^t+1}dt\end{eqnarray*}ここで左辺を変形します．\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^s}&=& -\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}-\frac{1}{3^s}+\cdots\\ &=& -\sum_{n:\mathrm{odd}}\frac{1}{n^s}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^s}\\&=& -\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^s}\right)+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^s}\\&=& -\zeta(s)+2\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^s}\\&=& -\left(1-\frac{1}{2^{s-1}}\right)\zeta(s)\end{eqnarray*}以上から
\begin{equation}\left(1-\frac{1}{2^{s-1}}\right)\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{e^x+1}dx\tag{7}\end{equation}
なる関係があることが分かりました．
これによって以下のように難しい積分の値を簡単に得られます．\begin{eqnarray*}\int^\infty_0\frac{x}{e^x+1}dx &=& \Gamma(2) \left(1-\frac{1}{2}\right)\zeta(2)\\&=& \frac{\pi^2}{12}\end{eqnarray*}この積分はマトモに計算してみたい気もしますね．奇数のゼータは現在分かっていないので $s$ を偶数 $2n$ とすれば\begin{eqnarray*}\int^\infty_0\frac{x^{2n-1}}{e^x+1}dx &=& (2n-1)! \left(1-\frac{1}{2^{2n-1}}\right)\zeta(2n)\end{eqnarray*}という感じで値が求まることになります．
ガンマ関数の積分表示(5)において $x=nt$ ($n\in\mathbb{N}$)と変換すると$$\Gamma(s)=n^s\int^\infty_0e^{-nt}t^{s-1}dt$$よって$$\frac{1}{n^s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0e^{-nt}t^{s-1}dt$$両辺に $z^n$ をかけて$$\frac{z^n}{n^s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0(ze^{-t})^nt^{s-1}dt$$$n$ について和をとります．\begin{eqnarray*}\sum^\infty_{n=0}\frac{z^n}{n^s}&=&\frac{1}{\Gamma(s)}\sum^\infty_{n=0}\int^\infty_0(ze^{-t})^nt^{s-1}dt \\&=& \frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0t^{s-1}\sum^\infty_{n=0}(ze^{-t})^ndt \\&=& \frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0t^{s-1}\frac{z}{e^t-z}dt\\&=& \frac{z}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{t^{s-1}}{e^t-z}dt\end{eqnarray*}これと(2)から次の関係式を得ます．
\begin{equation}\mathrm{Li}_s(z)=\frac{z}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{e^x-z}dx\tag{8}\end{equation}
$\mathrm{Li}_s(\pm1)$ は $\zeta(s)$ すなわち(6)(7)式に帰着するのが分かります．
他の値を代入するとさまざまな定積分と級数の関係式が得られます．$|z|<1$ を満たす適当な値を入れることで$$\int^\infty_0\frac{x^2}{2e^x-1}dx=2\sum^\infty_{n=0}\frac{2^{-n}}{n^3}$$であったり\begin{eqnarray*}\int^\infty_0\frac{x^3}{e^{2x}+1/3}dx &=& \int^\infty_0\frac{(x/2)^3}{e^x+1/3}\frac{dx}{2}\\&=& -\frac{9}{8}\sum^\infty_{n=1}\frac{(-3)^{-n}}{n^4}\end{eqnarray*}のような感じで式が得られます．まぁ両辺ともまともには計算できそうもないですが．
ガンマ関数$$\Gamma(s)\equiv\int^\infty_0e^{-x}x^{s-1}dx$$において $x=(n+a)t$ ($n\in\mathbb{Z}^+$)と変換すると$$\Gamma(s)=(n+a)^s\int^\infty_0e^{-(n+a)t}t^{s-1}dt$$よって$$\frac{1}{(n+a)^s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0(e^{-t})^ne^{-at}t^{s-1}dt$$$n$ について非負整数で和をとります．\begin{eqnarray*}\sum^\infty_{n=0}\frac{1}{(n+a)^s}&=& \frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\sum^\infty_{n=0}(e^{-t})^ne^{-at}t^{s-1}dt\\ &=& \frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{e^{-at}t^{s-1}}{1-e^{-t}}dt\end{eqnarray*}これと(3)から次の関係式を得ます．
\begin{equation}\zeta(s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{e^{-ax}x^{s-1}}{1-e^{-x}}dx\tag{9}\end{equation}
定義(4)から分かるように，リーマンのゼータ関数とは違って $n$ はゼロからであることに注意します．
ガンマ関数の積分表示(5)において $x=(n+a)t$ ($n\in\mathbb{Z}^+$)と変換すると$$\Gamma(s)=(n+a)^s\int^\infty_0e^{-(n+a)t}t^{s-1}dt$$よって$$\frac{1}{(n+a)^s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0(e^{-t})^ne^{-at}t^{s-1}dt$$$z^n$ を両辺にかけて$$\frac{z^n}{(n+a)^s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0(ze^{-t})^ne^{-at}t^{s-1}dt$$$n$ に関して非負整数で和をとると\begin{eqnarray*}\sum^\infty_{n=0}\frac{z^n}{(n+a)^s}&=& \frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\sum^\infty_{n=0}(ze^{-t})^ne^{-at}t^{s-1}dt\\ &=& \frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{e^{-at}t^{s-1}}{1-ze^{-t}}dt\end{eqnarray*}これと(4)から次の関係式を得ます．
\begin{equation}\Phi(z,s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{e^{-ax}x^{s-1}}{1-ze^{-x}}dx\tag{10}\end{equation}
レルヒの超越関数はその定義から，リーマンのゼータ関数を一般化したものといえます．逆に言えばリーマンゼータはレルヒの超越関数の特殊なケースであり$$\Phi(1,s,1)=\zeta(s)$$と与えられます．
またフルヴィッツのゼータ関数$$\zeta(s,a)\equiv\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+a)^s}$$もレルヒの超越関数の $z=1$ バージョンであることはただちに分かります．$$\Phi(1,s,a)=\zeta(s,a)$$
さらに多重対数関数$$\mathrm{Li}_s(z)\equiv \sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n^s}$$もその定義から$$\Phi(z,s,1)=\mathrm{Li}_s(z)$$なる関係があると分かります．
リーマンゼータに始まり，次々と一般化されたのがレルヒの超越関数といえますね．まとめると\begin{eqnarray*}\Phi(z,s,a)&\equiv& \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{(n+a)^s}\\\Phi(1,s,a)&=&\zeta(s,a)\\\Phi(z,s,1)&=&\mathrm{Li}_s(z)\\\Phi(1,s,1)&=&\zeta(s)\end{eqnarray*}このレルヒの超越関数なるものがどういう場面で重要なのかとか，どう応用されるのかは知らないのですが，今後出会うことは果たしてあるのか．
レルヒの超越関数に具体的な数値を入れることで，さまざまな積分と級数の関係が得られます．
例えば\begin{eqnarray*}\Phi\left(1,2,\frac{1}{2}\right)&=& \int^\infty_0\frac{xe^{-x/2}}{1-e^{-x}}dx\\ &=&\int^\infty_0\frac{x}{e^{x/2}-e^{-x/2}}dx\\ &=&\frac{1}{2}\int^\infty_0\frac{x}{\sinh\frac{x}{2}}dx\\&=&2\int^\infty_0\frac{x}{\sinh x}dx\end{eqnarray*}よって次の関係式を得ます．$$\int^\infty_0\frac{x}{\sinh x}dx=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^2}$$なおこれは $z=1$ なのでフルヴィッツのゼータ関数の例でもあります．しかもこの値は計算できて\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^2}&=& 4\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}\\ &=& 4\sum_{n:\mathrm{odd}}^\infty\frac{1}{n^2}\\ &=& 4\left[\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^2}\right]\\ &=& 4\cdot\frac{3}{4}\zeta(2)\\&=& \frac{\pi^2}{2}\end{eqnarray*}$$\therefore\;\int^\infty_0\frac{x}{\sinh x}dx=\frac{\pi^2}{4}$$この積分が正攻法で計算できるのかは知りませんが，今のように特殊関数由来の関係式を用いることで計算できましたね．Wolframで答え合わせ済です．
もう１つの例は\begin{eqnarray*}\Phi\left(\frac{1}{2},3,2\right)&=& \frac{1}{\Gamma(3)}\int^\infty_0\frac{e^{-2x}x^{2}}{1-\frac{1}{2}e^{-x}}dx\\ &=& \int^\infty_0\frac{e^{-x}x^{2}}{2e^x-1}dx\end{eqnarray*}$$\therefore\int^\infty_0\frac{e^{-x}x^{2}}{2e^x-1}dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{-n}}{(n+2)^3}$$この式は一方で\begin{eqnarray*}\Phi\left(\frac{1}{2},3,2\right)&=&\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{-n}}{(n+2)^3}\\ &=& 4\sum_{n=2}^\infty\frac{2^{-n}}{n^3}\\ &=& 4\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{-n}}{n^3}-\frac{1}{2}\right)\\&=& 4\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{2}\right)-2\end{eqnarray*}と多重対数関数で表すことも可能です．$a$ が自然数の場合に限られます．$\Phi(z,s,1)$ は多重対数関数で級数の分母が $n^s$ ですが，一般の超越関数 $\Phi(z,s,a)$ は $n$ を $a$ だけシフトさせたものとなっています．その効果は被積分関数に $e^{-ax}$ として現れます．
以上のように3つのゼータおよびポリログを積分表示することで，無限級数と定積分の関係を得ることができました．(6)(8)(9)(10)と同じことですが，まとめておきます．
\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}&=&\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx\\ \sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n^s}&=&\frac{z}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{x^{s-1}}{e^x-z}dx\\\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+a)^s}&=&\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{e^{-ax}x^{s-1}}{1-e^{-x}}dx\\\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{(n+a)^s}&=&\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0\frac{e^{-ax}x^{s-1}}{1-ze^{-x}}dx\end{eqnarray*}
これを用いた練習問題をつくりました↓
$$\int^\infty_0\frac{x^2}{\sinh x}dx=\frac{7}{2}\zeta(3)$$を示せ．
\begin{eqnarray*}\int^\infty_0\frac{x^2}{\sinh x}dx&=& \int^\infty_0\frac{2x^2}{e^x-e^{-x}}dx\\&=& \int^\infty_0\frac{2x^2e^{-x}}{1-e^{-2x}}dx\\&=& \frac{1}{4}\int^\infty_0\frac{x^2e^{-x/2}}{1-e^{-x}}dx\\&=& \frac{1}{2\Gamma(3)}\int^\infty_0\frac{x^2e^{-x/2}}{1-e^{-x}}dx\\&=& \frac{1}{2}\Phi(1,3,\frac{1}{2})\\&=&\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+1/2)^3}\\&=& 4\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^3}\\&=& 4\left[\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^3}\right]\\&=&4\cdot \frac{7}{8}\zeta(3)\\&=&\frac{7}{2}\zeta(3)\end{eqnarray*}でOKです．
もっと一般化できますね．
\begin{eqnarray*}\int_0^\infty\frac{x^m}{\sinh x}dx &=& \int_0^\infty\frac{2x^m}{e^x-e^{-x}}dx \\&=& \int_0^\infty\frac{2x^me^{-x}}{1-e^{-2x}}dx \\&=& \int_0^\infty\frac{(x/2)^me^{-x/2}}{1-e^{-x}}dx \\&=& 2^{-m}\int_0^\infty\frac{x^me^{-\frac{x}{2}}}{1-e^{-x}}dx \\&=& 2^{-m}m!\frac{1}{\Gamma(m+1)}\int_0^\infty\frac{x^me^{-\frac{x}{2}}}{1-e^{-x}}dx \\&=& 2^{-m}m!\,\zeta(m+1,\frac{1}{2})\\ &=& 2^{-m}m! \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^{m+1}}\\ &=& 2\cdot m! \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^{m+1}}\\ &=& 2\cdot m! \sum_{n:\mathrm{odd}}\frac{1}{n^{m+1}}\\&=& 2\cdot m!\left[ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{m+1}}-\sum_{n:\mathrm{even}}\frac{1}{n^{m+1}}\right]\\ &=& 2\cdot m!\left[ \zeta(m+1)-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^{m+1}}\right]\\ &=& 2\cdot m!\left[ \zeta(m+1)-2^{-m-1}\zeta(m+1)\right]\\&=&m!(2-2^{-m})\zeta(m+1)\end{eqnarray*}\begin{equation*}\therefore\;\int_0^\infty\frac{x^m}{\sinh x}dx=m!(2-2^{-m})\zeta(m+1)\end{equation*}双曲線関数の積分からリーマンのゼータ関数が出てきた・・・驚きです．つまり\begin{equation}\int_0^\infty\frac{x}{\sinh x}dx=\frac{\pi^2}{4}\end{equation}\begin{equation}\int_0^\infty\frac{x^2}{\sinh x}dx=\frac{7}{2}\zeta(3)\end{equation}\begin{equation}\int_0^\infty\frac{x^3}{\sinh x}dx=\frac{\pi^4}{8}\end{equation}などと書くことができますね．
ディリクレのベータ関数は以下のように定義される．$$\b(s)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}$$これをフルヴィッツのゼータ関数 $\zeta(s,a)$ を用いて表せ．
\begin{eqnarray*}\b(s)&=&\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}\\&=&\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(4n+1)^s}-\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(4n+3)^s}\\&=&\frac{1}{4^s}\left[\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+\frac{1}{4})^s}-\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+\frac{3}{4})^s}\right]\\&=&\frac{1}{4^s}\left[\zeta\left(s,\frac{1}{4}\right)-\zeta\left(s,\frac{3}{4}\right)\right]\end{eqnarray*}
ゼータ関数については新たに「ゼータ関数の基礎」シリーズを書いています。おおむね複素解析を用いており初等的ではありません：
特殊関数：
第1種ベッセル関数の積分表示とその導出
【γ3】ベータ関数の定義・ガンマ関数との関係・三角関数での積分表示
【γ1】ガンマ関数の定義・特殊値・解析接続・留数（ガンマ関数の基礎1）
【γ5】ガンマの微分とディガンマ関数
【γ2】ガンマ関数の３つの乗積表示と相反公式（ガウス・オイラー・ワイエルシュトラス）
多重対数関数（ポリログ）の関係式一覧・証明付き
【D18】ベッセルの微分方程式と級数解
【γ7】Γ(1/3),Γ(1/4),Γ(1/6)の値
ゼータ関数値の求め方３選（フーリエ級数・パーセヴァルの等式・sin無限乗積）
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