もくじ
前回の記事ではフルヴィッツゼータ関数 $\zeta(s,a)$ を複素解析を用いてフーリエ級数展開しました。その結果は以下のようなものです。
$0<a\le1$ とする。$\mathfrak{R}s<0$ に対して\begin{equation}\zeta(s,a)=\frac{2\G(1-s)}{(2\pi)^{1-s}}\left[\sin\frac{\pi s}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos2\pi na}{n^{1-s}}+\cos\frac{\pi s}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin2\pi na}{n^{1-s}}\right]\tag{1}\end{equation}
前回の記事：
今日はここからスタートして、リーマンゼータ関数 $\zeta(s)$ の関数等式や特殊値 $\zeta(2m)$ 、リーマンのクシー関数 $\xi(s)$ の解説をしていきます。
予備知識として本シリーズの既習事項およびガンマ関数の簡単な知識が必要ですが、公式等はその都度示していくので、一応本記事だけで読めると思います。
今日のテーマ
1.リーマンの関数等式\begin{equation}2^{1-s}\G(s)\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}=\pi^s\zeta(1-s)\tag{2}\end{equation}（$s=0,-1,-2,\cdots$ では $s$ の極限をとる。すると全平面で成立）
2.ゼータ関数の特殊値\begin{equation}\zeta(2m)=2^{2m-1}\pi^{2m}\frac{B_{2m}}{(2m)!}\quad(m\in\NN)\tag{3}\end{equation}
3.リーマンのクシー関数の定義は以下であり、$\xi(s)=\xi(1-s)$ を満たす。\begin{equation}\xi(s)\equiv \frac{s(s-1)}{2}\pi^{-\frac{s}{2}}\G\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)\tag{4}\end{equation}
4. $\zeta(s)$ の $s=-2m$ の零点の位数は $1$ である。
盛りだくさんなようですが、(1)を苦労して導出したおかげで、１つ１つは容易いです。
フルヴィッツからリーマンへ
フルヴィッツゼータ関数において $a=1$ とするとリーマンゼータ関数と一致し $\zeta(s,1)=\zeta(s)$ です。これを(1)式に用いれば\begin{eqnarray*}\zeta(s)&=&\frac{2\G(1-s)}{(2\pi)^{1-s}}\sin\frac{\pi s}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos2\pi n}{n^{1-s}}\\&=&\frac{2\G(1-s)}{(2\pi)^{1-s}}\sin\frac{\pi s}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1-s}}\end{eqnarray*}右辺の総和部分は明らかにリーマンゼータ関数です。$$\therefore\quad\zeta(s)=\frac{2\G(1-s)}{(2\pi)^{1-s}}\sin\frac{\pi s}{2}\zeta(1-s)$$$a=1$ と絞るとこんな簡単になるのですね。
ガンマ関数の相反公式を利用
ガンマ関数には「相反公式」という有名な公式があります。$$\G(s)\G(1-s)=\frac{\pi}{\sin\pi s}$$これを利用すれば$$\G(s)\zeta(s)=\frac{2\pi}{(2\pi)^{1-s}}\frac{1}{\sin\pi s}\sin\frac{\pi s}{2}\zeta(1-s)$$$\sin\pi s=2\sin\frac{\pi s}{2}\cos\frac{\pi s}{2}$ を使うことで今日のテーマの１つが得られます。
\begin{equation}2^{1-s}\G(s)\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}=\pi^s\zeta(1-s)\tag{5}\end{equation}
相反公式の導出については：
s=0,1でも定義できる
(1)からスタートしているので、もともと $\mathfrak{R}s<0$ を仮定していました(実は $s=0$ でもOKですが)。しかし(5)を見るともっと定義域を広げられそうです。
ガンマ関数 $\G(s)$ は $s=0,-1,-2\cdots$ を除いて値をとります。ゼータ関数 $\zeta(s)$ は $s=1$ を除いて値をとります。よって(5)は $s\neq 1,0,-1,-2\cdots$ で定義可能です。
さらに進めましょう。ガンマ関数とゼータ関数の定義できない特異点が1位の極であることは過去記事で分かっているので（後述）、うまく変形して、極限としてなら等式が成立しそうな予感がします。
$s=0$ をそのまま(5)に代入することはできませんが、その極限を考えます。$$\displaystyle\lim_{s\to0}2^{1-s}\G(s)\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}\overset{?}{=}\displaystyle\lim_{s\to0}\pi^s\zeta(1-s)$$問題となるパーツを集めて極限をとってみましょう。\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim_{s\to0}\frac{\G(s)\zeta(s)}{\zeta(1-s)}&=&-\frac{1}{2}\displaystyle\lim_{s\to0}\frac{\G(s)}{\zeta(1-s)}\\&=&-\frac{1}{2}\displaystyle\lim_{t\to1}\frac{\G(1-t)}{\zeta(t)}\quad(t=1-s)\\&=&\frac{1}{2}\end{eqnarray*}ここで $\zeta(0)=-\frac{1}{2}$ および $\frac{\G(1-t)}{\zeta(t)}\to -1$ を用いました（下の注記参照）。また$$\displaystyle\lim_{s\to0}\frac{\pi^s}{2^{1-s}\cos\frac{\pi s}{2}}=\frac{1}{2}$$なので合わせて$$\displaystyle\lim_{s\to0}\frac{\G(s)\zeta(s)}{\zeta(1-s)}=\displaystyle\lim_{s\to0}\frac{\pi^s}{2^{1-s}\cos\frac{\pi s}{2}}$$$$\therefore\quad\displaystyle\lim_{s\to0}2^{1-s}\G(s)\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}=\displaystyle\lim_{s\to0}\pi^s\zeta(1-s)$$よって $s\to0$ の極限をとれば(5)は成立します。
ガンマ関数とゼータ関数の特異点が1位の極であることや、$\zeta(0)$ の値の導出、$\frac{\G(1-t)}{\zeta(t)}\to -1$ については過去記事で示しています：
この調子で $s=1$ でも試します。\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim_{s\to1}\frac{\G(s)\zeta(s)}{\zeta(1-s)}\cos\frac{\pi s}{2}&=&\displaystyle\lim_{s\to1}\frac{\G(s)\zeta(s)}{\zeta(1-s)}\frac{\sin\pi s}{2\sin\frac{\pi s}{2}}\\&=&\displaystyle\lim_{s\to1}\frac{\pi\zeta(s)}{2\zeta(1-s)\G(1-s)\sin\frac{\pi s}{2}}\\&=&\frac{\pi}{2\zeta(0)}\displaystyle\lim_{s\to1}\frac{\zeta(s)}{\G(1-s)}\\&=&-\frac{\pi}{2\zeta(0)}\\&=&\pi\end{eqnarray*}また$$\displaystyle\lim_{s\to1}\frac{\pi^s}{2^{1-s}}=\pi$$なのでこれと一致し$$\therefore\quad\displaystyle\lim_{s\to1}2^{1-s}\G(s)\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}=\displaystyle\lim_{s\to1}\pi^s\zeta(1-s)$$よって $s\to1$ の極限をとれば(5)は成立します。
以上から、$s=0,1$ に関してはその極限をとると定めることで(5)は成り立つというわけです。
s=-1,-2…でも定義できる
残りは負整数の場合です。
$m\in\NN$ とします。(5)を変形して$$2^{1-s}\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}=\pi^s\frac{\zeta(1-s)}{\G(s)}$$$s=-m$ のとき左辺は$$LHS=2^{1+m}\zeta(-m)\cos\frac{m\pi}{2}$$面白いことに、$m$ が偶数のときは $\zeta(-m)=0$ で（後述）、$m$ が奇数のときは $\cos\frac{m\pi}{2}=0$ となるので $LHS=0$ です。右辺は $\G(-m)$ が発散することから極限値として $RHS=0$ を得ます。
よって $s$ が負整数のときはその極限をとると定めることで(5)は成り立つのです。
$\zeta(-2n)=0$ であることはこちらで導出しています：
全平面で定義できる
ここまでを総合すると、リーマンの関数等式
\begin{equation}2^{1-s}\G(s)\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}=\pi^s\zeta(1-s)\tag{5}\end{equation}
は全平面で定義可能です。
そうと分かれば変数変換もしやすいです。$s$ を $1-s$ とすることで$$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\G(1-s)\zeta(1-s)\sin\frac{\pi s}{2}$$Wikipediaの「リーマンゼータ関数」の頁ではこちらになっています。これを関数等式として採用することが多いのかもしれません。
関数等式(5)は $\zeta(s)$ と $\zeta(1-s)$ を結び付けているのがキモで、これによって $s>0$ での値と$s<0$ での値が関連付けられています。
本シリーズではすでに非正整数でのゼータ関数に関して次の値を得ています。
\begin{equation}\zeta(-n,a)=-\frac{B_{n+1}(a)}{n+1}\quad(n=0,1,2\cdots)\tag{6}\end{equation}
$B_n(x)$ はベルヌーイ多項式です。これにより一部の自然数でのゼータの値を知ることができます。
$n=2m-1$ , $a=1$ とおけば$$\zeta(1-2m)=-\frac{B_{2m}}{2m}$$$B_{2m}$ はベルヌーイ数です。
(5)で $s=2m$ とすると\begin{eqnarray*}\frac{2\cdot(2m-1)!}{2^{2m}}(-1)^m\zeta(2m)&=&\pi^{2m}\zeta(1-2m)\\&=&-\pi^{2m}\frac{B_{2m}}{2m}\end{eqnarray*}
$$\therefore\quad\zeta(2m)=2^{2m-1}\pi^{2m}\frac{B_{2m}}{(2m)!}\quad(m\in\NN)$$
もちろん有名な $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ もちゃんと成立するので確かめてみてください。
Whittaker-Watsonではただの練習問題の１つに過ぎませんが、$\xi(s)$ はゼータ関数論でよく見かける関数です。
古いですが有名な書物で、どんどん改訂版が出ています。前半は解析学一般、後半は特殊関数という内容で、網羅的に勉強できます。演習問題に解答がないのが昔ながらのものって感じ。2022/11/6現在、最新版は5th Editionで私も所有していますが、廉価な3rdとかでも十分かと。
A Course of Modern Analysis: fifth Edition
A Course of Modern Analysis: Third Edition
ガンマ関数の倍数公式の利用
$$\G\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-\frac{s}{2}}\zeta(s)$$は $s\to1-s$ の置換で不変である。
【証明】\begin{eqnarray*}\G\left(\frac{1-s}{2}\right)&&\pi^{-\frac{1-s}{2}}\zeta(1-s)\\&&=\G\left(\frac{1-s}{2}\right)\pi^{\frac{s-1}{2}}\cdot \frac{2^{1-s}}{\pi^s}\G(s)\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}\\&&=\G\left(\frac{1-s}{2}\right)\pi^{-\frac{s+1}{2}}2^{1-s}\G(s)\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}\end{eqnarray*}
倍数公式$$\G\left(\frac{s}{2}\right)\G\left(\frac{s+1}{2}\right)=2^{1-s}\sqrt{\pi}\G(s)$$で $\G(s)$ を消去します。\begin{eqnarray*}\G\left(\frac{1-s}{2}\right)&&\pi^{-\frac{1-s}{2}}\zeta(1-s)\\&&=\G\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-1-\frac{s}{2}}\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}\G\left(\frac{1-s}{2}\right)\G\left(\frac{s+1}{2}\right)\\&&=\G\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-1-\frac{s}{2}}\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}\G\left(1-\frac{s+1}{2}\right)\G\left(\frac{s+1}{2}\right)\\&&=\G\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-1-\frac{s}{2}}\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}\frac{\pi}{\sin\frac{\pi(1+s)}{2}}\\&&=\G\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-\frac{s}{2}}\zeta(s)\cos\frac{\pi s}{2}\frac{1}{\cos\frac{\pi s}{2}}\\&&=\G\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-\frac{s}{2}}\zeta(s)\end{eqnarray*}【証明終】
クシー関数
これで非対称な形である関数等式(5)の対称型バージョンを得ます。$$\G\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-\frac{s}{2}}\zeta(s)=\G\left(\frac{1-s}{2}\right)\pi^{-\frac{1-s}{2}}\zeta(1-s)$$これの左辺をそのまま $\xi(s)$ とおくか（『ビジュアル リーマン予想入門』）、係数をかけて $\xi(s)$ とするかバリエーションはあるようですが、ここでは $\frac{s(s-1)}{2}$ をかけます。$$\frac{s(s-1)}{2}\G\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-\frac{s}{2}}\zeta(s)=\frac{s(s-1)}{2}\G\left(\frac{1-s}{2}\right)\pi^{-\frac{1-s}{2}}\zeta(1-s)$$ここでリーマンのクシー関数 $$\xi(s)\equiv\frac{s(s-1)}{2}\G\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-\frac{s}{2}}\zeta(s)$$を定義すると$$\xi(s)=\xi(1-s)$$と単純な関数等式を得ます。
自然数 $m$ に対し $\zeta(-2m)=0$ であることは先ほど言及しました。$\zeta(s)$ は $s=-2m$ にいわゆる「自明な零点」をもちます。カンタンに分かる零点ということです。これの位数を求めましょう。
$$\zeta(s)=2^{s-1}\pi^s\frac{\zeta(1-s)}{\G(s)\cos\frac{\pi s}{2}}$$が $s=-2m$ でゼロとなるのは $\frac{1}{\G(s)}$ のせいです。$$\zeta(-2m)=\frac{(-1)^m\zeta(2m+1)}{2^{2m+1}\pi^{2m}}\displaystyle\lim_{s\to-2m}\frac{1}{\G(s)}$$ゼータの位数を求めるということは、ここで現れたガンマの逆数の位数を求めることと同じです。すでに $\G(-m)$ は1位の極をもつことは説明しました。よってその逆数の零点の位数は1です。これでOK！
しかしまともに計算してもいいでしょう。\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim_{s\to-2m}\frac{1}{(s+2m)\G(s)}&=&\displaystyle\lim_{s\to-2m}\frac{s}{(s+2m)\G(s+1)}\\&=&\displaystyle\lim_{s\to-2m}\frac{s(s+1)}{(s+2m)\G(s+2)}\\&\vdots&\displaystyle\lim_{s\to-2m}\frac{s(s+1)\cdots(s+2m-1)}{(s+2m)\G(s+2m)}\\&=&\displaystyle\lim_{s\to-2m}\frac{s(s+1)\cdots(s+2m-1)}{\G(s+2m+1)}\\&=&(2m)!\neq0\end{eqnarray*}よって位数は1です。
次回はエルミートの公式をやります：
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