初等整数問題①～下1桁の考察

Ellina Grigorieva, "Methods of Solving Number Theory Problems"という本にあった問題を少しだけ深掘りします。もともとの問題はこの $f(n)$ の下1桁が 5 になることはあるか？というものでした。

以下、合同式を使うことがありますが、すべて mod 10 とします。

まずは試してみる

自然数の下一桁というのは10で割った余りです。実際に試してみて規則性を探しましょう。

$2^n$ を10で割った余りは2,4,8,6を繰り返すようです（４つごとの周期）。$n^2$ を10で割った余りは1,4,9,6,5,6,9,4,1,0を繰り返すようです（１０個ごとの周期）。したがって $f(n)$ の下1桁は20個ごとの周期を繰り返すのでしょう。

nを場合分けする

もう少しちゃんと議論するならば、$2^n$ の下一桁は４つの繰り返しなので $n$ を4で割った余りごとに場合分けしてみるとよさそうです。実際に\begin{align}2^{4k}&=16^{k}=(10+6)^k\equiv 6^k\\&\equiv 6\\2^{4k+1}&=2\cdot 2^{4k}\equiv 2\cdot 6\\&\equiv 2\\2^{4k+2}&=2\cdot 2^{4k+1}\equiv 2\cdot 2\\&\equiv 4\\2^{4k+3}&=2\cdot 2^{4k+2}\equiv 2\cdot 4\\&\equiv 8\end{align}となっています。

一方 $n^2$ についてです。$n$ の下1桁を2乗した数の下1桁を考えたらいいので、$n$ の下1桁ぜんぶを試してみたらいいです。よって $n$ を10で割った余りで場合分けします。\begin{align}(10k)^2&\equiv 0\\(10k\pm 1)^2&\equiv1\\(10k\pm 2)^2&\equiv 4\\(10k\pm 3)^2&\equiv 9\\(10k\pm 4)^2&\equiv 6\\(10k+5)^2&\equiv 5\end{align}上の表を裏付ける結果になりました。

最終的に下の表が完成します。$n=21$ 以降の $f(n)$ の下1桁はこれを繰り返します。

応援のおねがい

Please support me!

まめしば

記事を気に入って下さった方、「応援してあげてもいいよ」という方がいらっしゃったら15円から可能なので支援していただければ幸いです。情報発信を継続していくため、サーバー維持費などに充てさせていただきます。

ご支援いただいた方は、こちらで確認できます。

◎ Amazonギフトの場合、
Amazonギフト券- Eメールタイプ – Amazonベーシック
より、金額は空白欄に適当に(15円から)書きこんで下さい。受取人は「mamekebiamazonあっとgmail.com」です（あっとは@に置き換えてください）。贈り主は「匿名」等でOKです。全額がクリエイターに届きます。

◎ OFUSEは登録不要で、100円から寄付できます。金額の90%がクリエイターに届きます。

OFUSEで応援を送る

◎ codocは登録不要で、100円から寄付できます。金額の85%がクリエイターに届きます。