最近、積分や級数の問題を解いているときにポリログがよくあらわれるので、私自身の参照用として書くことにしました。また当サイトにはポリログの記事がたくさんありますので、「多重対数関数」でサイト内検索してみてください。
多重対数関数は $\Li_s(z)$ と書かれます。$s$ は複素数ですが、とりあえず $s=2,3,4,\cdots$ としておきます。$s=2$ のときは特に「二重対数関数(dilogarithm)」あるいは"Spence's function"とよばれます。
その帰納的定義は
\begin{equation}\Li_2(z)=-\int_0^z\frac{\ln(1-t)}{t}dt\quad,\quad z\in\CC\tag{1}\end{equation}\begin{equation}\Li_{s+1}(z)=\int_0^z\frac{\Li_s(t)}{t}dt\tag{2}\end{equation}
級数表示はゼータ関数を一般化したものとなっており、
\begin{equation}\Li_s(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n^s}\tag{3}\end{equation}
と表されます。
もくじ
リストをまずあげておきます。後から付け加えたりしているので順番はあまり合理的でないかも。
$s=2,3,4,\cdots$,
\begin{equation}\Li_s(1)=\zeta(s)\quad,\quad\Li_s(-1)=\left(\frac{1}{2^{s-1}}-1\right)\zeta(s)\tag{4}\end{equation}
\begin{equation}\Li_2(x)+\Li_2(1-x)=\frac{\pi^2}{6}-\ln x\ln(1-x)\tag{5}\end{equation}\begin{equation}\Li_2\left(\frac{1}{x}\right)+\Li_2(x)=\frac{\pi^2}{3}-\frac{1}{2}\ln^2x-i\pi\ln x\quad(x\ge1)\tag{5a}\end{equation}\begin{equation}\Li_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi^2}{12}-\frac{\ln^22}{2}\tag{6}\end{equation}\begin{equation}\Li_2(2)=\frac{\pi^2}{4}-i\pi\ln2\tag{6a}\end{equation}
\begin{equation}\Li_2(x)-\Li_2\left(1-\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi^2}{6}+\frac{\ln^2 x}{2}-\ln x\ln(1-x)\tag{7}\end{equation}\begin{equation}\Li_2(1-x)+\Li_2\left(1-\frac{1}{x}\right)=-\frac{\ln^2x}{2}\tag{8}\end{equation}
\begin{eqnarray}\Li_3(x)+&&\Li_3(1-x)+\Li_3\left(1-\frac{1}{x}\right)\\&&=\zeta(3)+\frac{\pi^2}{6}\ln x-\frac{\ln^2x\ln(1-x)}{2}+\frac{\ln^3x}{6}\tag{9}\end{eqnarray}\begin{equation}\Li_3(x)-\Li_3\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi^2}{3}\ln x-\frac{1}{6}\ln^3x-i\frac{\pi}{2}\ln^2x\quad(x\ge 1)\tag{9A}\end{equation}\begin{equation}\Li_3\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{8}\zeta(3)-\frac{\pi^2}{12}\ln2+\frac{\ln^3 2}{6}\tag{10}\end{equation}\begin{equation}\Li_3(2)=\frac{7}{8}\zeta(3)+\frac{\pi^2}{4}\ln2-i\frac{\pi}{2}\ln^22\tag{10A}\end{equation}
\begin{equation}\Li_s(x^2)=2^{s-1}\Bigl(\Li_s(x)+\Li_s(-x)\Bigr)\tag{11}\end{equation}
黄金比 $\phi=\displaystyle\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ とする。
\begin{equation}\Li_2(\phi^{-2})=\frac{\pi^2}{15}-\ln^2\phi\tag{12}\end{equation}
\begin{equation}\Li_2(\phi^{-1})=\frac{\pi^2}{10}-\ln^2\phi\tag{12A}\end{equation}
\begin{equation}\Li_2(-\phi^{-1})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\ln^2\phi\tag{12B}\end{equation}
\begin{equation}\Li_3(\phi^{-2})=\frac{4}{5}\zeta(3)+\frac{2}{3}\ln^3\phi-\frac{2\pi^2}{15}\ln\phi\tag{13}\end{equation}
\begin{equation}\Li_s(\pm i)=\frac{1}{2^s}\left(\frac{1}{2^{s-1}}-1\right)\zeta(s)\pm i\beta(s)\tag{14}\end{equation}
\begin{equation}\Li_2(i)=-\frac{\pi^2}{48}+iG\;,\;\Li_3(i)=-\frac{3}{32}\zeta(3)+\frac{\pi^3i}{32}\tag{15}\end{equation}
\begin{equation}\Li_s(e^{\frac{2}{3}\pi i})+\Li_s(e^{-\frac{2}{3}\pi i})=\left(\frac{1}{3^{s-1}}-1\right)\zeta(s)\tag{16}\end{equation}
\begin{equation}\Li_s(e^{\frac{2}{3}\pi i})=\left(\frac{1}{3^{s-1}}-1\right)\frac{\zeta(s)}{2}+i\frac{\zeta(s,\frac{1}{3})-\zeta(s,\frac{2}{3})}{2\cdot 3^{s-\frac{1}{2}}}\tag{17}\end{equation}
\begin{equation}\Li_3(e^{\pm\frac{\pi}{3}i})=\frac{\zeta(3)}{3}\pm\frac{5\pi^3}{162}i\tag{18}\end{equation}
証明なし：\begin{equation}\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{\phi^3}\right)-\mathrm{Li}_2\left(-\frac{1}{\phi^3}\right)=\frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{2}\ln^2\phi\tag{99}\end{equation}
(4)の左側は(3)で $z=1$ とすればただちに得られます。このことから、$$\Li_2(1)=\frac{\pi^2}{6}\quad,\quad\Li_4(1)=\frac{\pi^4}{90}$$などの特殊値が分かります。(4)右側は(3)でとる和を偶奇に分けて考えることで$$\Li_s(-1)=\sum_{n:even}\frac{1}{n^s}-\sum_{n:odd}\frac{1}{n^s}=2\sum_{n:even}\frac{1}{n^s}-\zeta(s)$$ですので $n=2m$ とおいて総和をとれば(4)右を導けます。
相反公式と(5)(6)の証明
(5)を示します。\begin{eqnarray*}\Li_2(x)+\Li_2(1-x)&&=-\int_0^x\frac{\ln(1-t)}{t}dt-\int_0^{1-x}\frac{\ln(1-t)}{t}dt\\&&=-\int_0^1\frac{\ln(1-t)}{t}dt-\int_1^x\frac{\ln(1-t)}{t}dt-\int_0^{1-x}\frac{\ln(1-t)}{t}dt\\&&=\Li_2(1)-\int_1^x\frac{\ln(1-t)}{t}dt+\int_1^x\frac{\ln s}{1-s}ds\quad(s=1-t)\\&&=\frac{\pi^2}{6}-\int_1^x\frac{\ln(1-t)}{t}dt-\left[\ln(1-s)\ln s\right]_1^x+\int_1^x\frac{\ln (1-s)}{s}ds\\&&=\frac{\pi^2}{6}-\ln(1-x)\ln x-\left[\ln(1-s)\ln s\right]_{s=1}\end{eqnarray*}最後の極限については、同様の考え方を今後多用するのでしっかり押さえておきたいです。$s\to 1$ なので $s$ を改めて $1-s'$ とおけば$$\displaystyle\lim_{s\to 1}\ln(1-s)\ln s=\displaystyle\lim_{s'\to 0}\ln s'\ln (1-s')$$対数のテイラー展開$$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots$$により、$\ln(1-s')$ が1次のオーダーであることが分かります。よって $\ln s'$ をかけても $\ln(1-s')$ のほうが速く $0$ に収束するので$$\displaystyle\lim_{s\to 1}\ln(1-s)\ln s=0$$したがって$$\Li_2(x)+\Li_2(1-x)=\frac{\pi^2}{6}-\ln x\ln(1-x)$$
$x=1/2$ を代入すると(6)の特殊値を得ます。$$\Li_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi^2}{12}-\frac{\ln^22}{2}$$
複素数への拡張と(6a)の証明
実数のみを考えてきましたが、(1)にあるように $\Li_2(z)$ は一般の複素数で定義されます。これについてはどこかで詳細に考えたいですが、とりあえず(5)式の複素数バージョン$$\Li_2(z)+\Li_2(1-z)=\frac{\pi^2}{6}-\ln z\ln(1-z)$$によって解析接続が可能です。$z=e^{i\pi}$ を代入すると$$\Li_2(-1)+\Li_2(2)=\frac{\pi^2}{6}-i\pi\ln2$$(4)を用いて$$\therefore \Li_2(2)=\frac{\pi^2}{4}-i\pi\ln2$$
補足 5aの証明
L.Lewin(1981)では $|x|\ge 1$ に対して$$\Li_2(-1/x)=-\int_0^\frac{-1}{x}\frac{\ln(1-t)}{t}dt$$を微分して$$\frac{d}{dx}\Li_2(-1/x)=\frac{\ln(1+x)-\ln x}{x}$$$1$ から $x$ で積分して$$\Li_2(-1/x)+\Li_2(-x)=-\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\ln^2x$$$x$ を $xe^{i\pi}$ に置き換えて\begin{equation}\Li_2\left(\frac{1}{x}\right)+\Li_2(x)=\frac{\pi^2}{3}-\frac{1}{2}\ln^2x-i\pi\ln x\quad(x\ge1)\end{equation}ここで$x=2$ として $\Li_2(2)$ が求まります。
(7)を示します。定義式(1)より $\Li_2(x)$ の微分は明らかです。\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left[\Li_2(x)-\Li_2\left(1-\frac{1}{x}\right)\right]&&=-\frac{\ln(1-x)}{x}+\frac{\ln\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\frac{1}{x^2}\\&&=-\frac{\ln(1-x)}{x}+\frac{\ln x}{x(1-x)}\end{eqnarray*}右辺第2項は部分分数分解すれば$$\frac{d}{dx}\left[\Li_2(x)-\Li_2\left(1-\frac{1}{x}\right)\right]=-\frac{\ln(1-x)}{x}+\frac{\ln x}{x}+\frac{\ln x}{1-x}$$両辺を $1$ から $x$ まで積分します。左辺では(4)を用いて$$\Li_2(x)-\Li_2\left(1-\frac{1}{x}\right)-\frac{\pi^2}{6}=-\int_1^x\frac{\ln(1-t)}{t}dt+\int_1^x\frac{\ln t}{t}dt+\int_1^x\frac{\ln t}{1-t}dt$$右辺第1項は部分積分を、第2項は初等的な積分です。\begin{eqnarray*}\Li_2(x)-\Li_2\left(1-\frac{1}{x}\right)-\frac{\pi^2}{6}=&&-\ln x\ln(1-x)-\int_1^x\frac{\ln t}{1-t}dt\\&&+\frac{1}{2}\ln^2 x+\int_1^x\frac{\ln t}{1-t}dt\end{eqnarray*}これを整理すると(7)が得られます。$$\therefore\quad\Li_2(x)-\Li_2\left(1-\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi^2}{6}+\frac{\ln^2 x}{2}-\ln x\ln(1-x)$$
また(5)から(7)を引くことにより(8)が導かれます。$$\Li_2(1-x)+\Li_2\left(1-\frac{1}{x}\right)=-\frac{\ln^2x}{2}$$
(9)の左辺を微分します。\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}&&\left[\Li_3(x)+\Li_3(1-x)+\Li_3\left(1-\frac{1}{x}\right)\right]\\&&=\frac{1}{x}\left[\Li_2(x)-\Li_2\left(1-\frac{1}{x}\right)\right]-\frac{1}{1-x}\left[\Li_2(1-x)+\Li_2\left(1-\frac{1}{x}\right)\right]\end{eqnarray*}右辺に(7)(8)を用いると\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}&&\left[\Li_3(x)+\Li_3(1-x)+\Li_3\left(1-\frac{1}{x}\right)\right]\\&&=\frac{1}{x}\left[\frac{\pi^2}{6}+\frac{\ln^2 x}{2}-\ln x\ln(1-x)\right]+\frac{1}{1-x}\frac{\ln^2x}{2}\\&&=\frac{\pi^2}{6x}-\frac{\ln x\ln(1-x)}{x}+\frac{\ln^2x}{2x}+\frac{\ln^2x}{2(1-x)}\end{eqnarray*}両辺を $1$ から $x$ まで積分します。\begin{eqnarray*}\Li_3(x)&&+\Li_3(1-x)+\Li_3\left(1-\frac{1}{x}\right)-\zeta(3)\\&&=\frac{\pi^2}{6}\ln x-\int_1^x\frac{\ln t\ln(1-t)}{t}dt+\frac{\ln^3x}{6}+\int_1^x\frac{\ln^2t}{2(1-t)}dt\\&&=\frac{\pi^2}{6}\ln x+\frac{\ln^3x}{6}-\frac{1}{2}\ln^2x\ln(1-x)-\frac{1}{2}\int_1^x\frac{\ln^2t}{1-t}dt+\frac{1}{2}\int_1^x\frac{\ln^2t}{(1-t)}dt\\&&=\frac{\pi^2}{6}\ln x+\frac{\ln^3x}{6}-\frac{1}{2}\ln^2x\ln(1-x)\end{eqnarray*}これより(9)を得ます。\begin{eqnarray*}\Li_3(x)+&&\Li_3(1-x)+\Li_3\left(1-\frac{1}{x}\right)\\&&=\zeta(3)+\frac{\pi^2}{6}\ln x-\frac{\ln^2x\ln(1-x)}{2}+\frac{\ln^3x}{6}\end{eqnarray*}
これに $x=1/2$ を代入すると$$2\Li_3\left(\frac{1}{2}\right)+\Li_3(-1)=\zeta(3)-\frac{\pi^2}{6}\ln 2+\frac{\ln^3 2}{2}-\frac{\ln^3 2}{6}$$(4)より $\Li_3(-1)=-\frac{3}{4}\zeta(3)$ であるから$$\Li_3\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{8}\zeta(3)-\frac{\pi^2}{12}\ln2+\frac{\ln^3 2}{6}$$となります。これが(10)です。
Li_3の解析接続と(9A)(10A)
(5a)を $x$ で割ります。$$\frac{\Li_2\left(\frac{1}{x}\right)}{x}+\frac{\Li_2(x)}{x}=\frac{\pi^2}{3x}-\frac{1}{2x}\ln^2x-i\pi\frac{\ln x}{x}$$両辺を $1$ から $x$ まで積分します。左辺第1項は積分変数 $x\to1/x$ と置換しましょう。これにより$$\Li_3(x)-\Li_3\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi^2}{3}\ln x-\frac{1}{6}\ln^3x-i\frac{\pi}{2}\ln^2x\quad(x\ge 1)$$すなわち(9A)を得ます。
これに $x=2$ を代入することで $\Li_3(2)$ が求まります(10A)。
$$\Li_3(x)-\Li_3\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi^2}{3}\ln x-\frac{1}{6}\ln^3x-i\frac{\pi}{2}\ln^2x\quad(x\ge 1)$$を $x$ で割って $1$ から $x$ まで積分することで$$\Li_4(x)+\Li_4\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi^4}{45}+\frac{\pi^2}{6}\ln^2x-\frac{1}{24}\ln^4x-i\frac{\pi}{6}\ln^3x$$となります。同様の手法で次数をどんどんあげていくことができます。
$$\Li_s(x)+\Li_s(-x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^s}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nx^n}{n^s}$$右辺の２つの和では、ともに偶奇で分けることにより、$n$ が奇数の項は消えます。\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^s}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nx^n}{n^s}&&=2\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)^s}\\&&=\frac{1}{2^{s-1}}\sum_{n=1}^\infty\frac{(x^2)^n}{n^s}\\&&=\frac{1}{2^{s-1}}\Li_s(x^2)\end{eqnarray*}これより(11)が導かれました。$$\Li_s(x^2)=2^{s-1}\Bigl(\Li_s(x)+\Li_s(-x)\Bigr)$$
黄金比について、\begin{eqnarray*}\phi&=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\;,\;\phi^{-1}&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\\phi^2&=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\;,\;\phi^{-2}&=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\\phi^3&=\sqrt{5}+2\;,\;\phi^{-3}&=\sqrt{5}-2\end{eqnarray*}を押さえておきます。
(11)より\begin{equation}\Li_2(\phi^{-2})=2\Li_2(\phi^{-1})+2\Li_2(-\phi^{-1})\tag{12a}\end{equation}また(8)より\begin{eqnarray}&&\Li_2(1-\phi)+\Li_2(1-\phi^{-1})=-\frac{1}{2}\ln^2\phi\\&&\Rightarrow\Li_2(-\phi^{-1})+\Li_2(\phi^{-2})=-\frac{1}{2}\ln^2\phi\tag{12b}\end{eqnarray}最後の式変形は、単に $\phi$ を書き下して計算したものです。
(5)より\begin{eqnarray}&&\Li_2(\phi^{-1})+\Li_2(1-\phi^{-1})=\frac{\pi^2}{6}+\ln\phi\ln(1-\phi^{-1})\\&&\Rightarrow\Li_2(\phi^{-1})+\Li_2(\phi^{-2})=\frac{\pi^2}{6}-2\ln^2\tag{12c}\phi\end{eqnarray}
(12b)(12c)を(12a)の右辺に用います。$$\Li_2(\phi^{-2})=2\left(\frac{\pi^2}{6}-2\ln^2\phi-\Li_2(\phi^{-2})\right)+2\left(-\frac{1}{2}\ln^2\phi-\Li_2(\phi^{-2})\right)$$整理することで(12)を得ます。$$\Li_2(\phi^{-2})=\frac{\pi^2}{15}-\ln^2\phi$$これは次のようにも書けます。$$\Li_2\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{\pi^2}{15}-\ln^2\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$これを(12b)(12c)へ用いると冒頭の(12A)(12B)を得ます。
つづいて(13)を示します。やりかたは(12)と似ています。(11)より\begin{equation}\Li_3(\phi^{-2})=4\Li_3(\phi^{-1})+4\Li_3(-\phi^{-1})\tag{13a}\end{equation}
(9)で $x=\phi^{-1}$ として\begin{eqnarray*}\Li_3(\phi^{-1})+&&\Li_3(\phi^{-2})+\Li_3(-\phi^{-1})\\&&=\zeta(3)-\frac{\pi^2}{6}\ln\phi+\frac{5}{6}\ln^3\phi\end{eqnarray*}移項して4倍します。\begin{eqnarray*}4\Li_3(\phi^{-1})&&+4\Li_3(-\phi^{-1})\\&&=4\zeta(3)-\frac{2\pi^2}{3}\ln\phi+\frac{10}{3}\ln^3\phi-4\Li_3(\phi^{-2})\end{eqnarray*}これを(13a)に代入すると(13)を得ます。$$\Li_3(\phi^{-2})=\frac{4}{5}\zeta(3)+\frac{2}{3}\ln^3\phi-\frac{2\pi^2}{15}\ln\phi$$
級数表示(3)を用いると\begin{eqnarray*}\Li_s(i)&&=\sum_{n=1}^\infty\frac{i^n}{n^s}\\&&=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)^s}+i\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}\\&&=\frac{1}{2^s}\Li_s(-1)+i\beta(s)\\&&=\frac{1}{2^s}\left(\frac{1}{2^{s-1}}-1\right)\zeta(s)+ i\beta(s)\quad(\because(4))\end{eqnarray*}$-i$ のときも同様に計算すればよいです。なお $\beta(s)$ はディリクレのベータ関数です。
また級数表示(3)により\begin{eqnarray*}\Li_s(e^{\frac{2}{3}\pi i})+\Li_s(e^{-\frac{2}{3}\pi i})&&=2\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos\frac{2n\pi}{3}}{n^s}\\&&=2\left[\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(3n)^s}-\frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(3n+1)^s}+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(3n+2)^s}\right)\right]\\&&=2\left[\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(3n)^s}-\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(3n)^s}\right)\right]\\&&=\left(\frac{1}{3^{s-1}}-1\right)\zeta(s)\end{eqnarray*}と(16)が示されました。
(16)左辺は足し算していますが、個々に得たいなら\begin{eqnarray*}\Li_s(e^{\frac{2}{3}\pi i})&&=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(3n)^s}+\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{\frac{2}{3}\pi i}}{(3n+1)^s}+\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{-\frac{2}{3}\pi i}}{(3n+2)^s}\\&&=\left(\frac{1}{3^{s-1}}-1\right)\frac{\zeta(s)}{2}+i\frac{\zeta(s,\frac{1}{3})-\zeta(s,\frac{2}{3})}{2\cdot 3^{s-\frac{1}{2}}}\end{eqnarray*}
(18)について。(9)で $x=e^{\frac{\pi}{3}i}$ とおくと、$1-x=e^{-i\frac{\pi}{3}}$ となることに注意して\begin{equation}2\Li_3(e^{\frac{\pi}{3}i})+\Li_3(e^{-\frac{\pi}{3}i})=\zeta(3)+\frac{5\pi^3}{162}i\tag{18a}\end{equation}さらに(3)から$$\Li_3(e^{\frac{\pi}{3}i})+\Li_3(e^{-\frac{\pi}{3}i}) = 2\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos\frac{\pi n}{3}}{n^3}$$$n$ を6で割った余りごとに分けます。$$=\frac{\zeta(3)}{108}+\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{(6n+1)^3}+\frac{1}{(6n+5)^3}-\frac{1}{8(3n+1)^3}-\frac{1}{8(3n+2)^3}-\frac{1}{27(2n+1)^3}\right)$$過去記事
の「2022/5/3A」「2022/5/3C」によりシグマは計算できて$$\Li_3(e^{\frac{\pi}{3}i})+\Li_3(e^{-\frac{\pi}{3}i})=\frac{2}{3}\zeta(3)$$(18a)と連立させて\begin{equation}\Li_3(e^{\pm\frac{\pi}{3}i})=\frac{\zeta(3)}{3}\pm\frac{5\pi^3}{162}i\tag{18}\end{equation}
(99)式はJohn M. Campbell, Some nontrivial two-term dilogarithm identities, Irish Math. Soc. Bulletin Number 88 (2021)より引用しました。
おもしろい手法で二重対数関数の関係式を導出：
ポリログ関係の記事：
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