Brychkov[1]の初等関数の定積分を眺めていると
$$I:=\int_0^1\frac{\arcsin x\arccos x}{x}dx=\frac{7}{8}\zeta(3)$$
なる公式がありました。過去に得られた知見に基づけば、これの証明は難しくありません。
$\arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x$ に注意しつつ $x=\sin \t$ と置換すると$$I=\frac{\pi}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\t\cot\t d\t-\int_0^\frac{\pi}{2}\t^2\cot\t d\t$$第1項はこちらの記事から$$\int_0^\frac{\pi}{2}\theta\cot\theta d\t=\frac{\pi}{2}\log2$$と分かっていますので$$I=\frac{\pi^2}{4}\ln 2-\int_0^\frac{\pi}{2}\t^2\cot\t d\t$$残った積分はなかなか難しいですが、まず部分積分により$$\int_0^\frac{\pi}{2}\t^2\cot\t d\t=-2\int_0^\frac{\pi}{2}\t\ln\sin\t d\t$$こちらの記事にある$$\ln(2\sin \t)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos 2n\t}{n}$$を利用して\begin{eqnarray*}\int_0^\frac{\pi}{2}\t\ln\sin\t d\t &=& -\frac{\pi^2}{8}\ln2+\int_0^\frac{\pi}{2}\t\ln(2\sin\t) d\t\\&=&-\frac{\pi^2}{8}\ln2-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\int_0^\frac{\pi}{2}\t\cos 2n\t d \t\\&=&-\frac{\pi^2}{8}\ln2+\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1-(-1)^n}{n^3}\\&=&-\frac{\pi^2}{8}\ln2+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^3}\\&=&-\frac{\pi^2}{8}\ln2+\frac{7}{16}\zeta(3)\end{eqnarray*}\begin{equation}\therefore\quad \int_0^\frac{\pi}{2}\t\ln\sin\t d\t=-\frac{\pi^2}{8}\ln2+\frac{7}{16}\zeta(3)\tag{1}\end{equation}前の式に代入して\begin{equation}\int_0^\frac{\pi}{2}\t^2\cot\t d\t=\frac{\pi^2}{4}\ln2-\frac{7}{8}\zeta(3)\tag{2}\end{equation}さらにもうちょい前の式に代入して定理１を得ます。
一方、この積分 $I$ は$$I=\frac{\pi^2}{4}\ln 2-\int_0^1 \frac{\arcsin^2x}{x}dx$$とも書けます。こちらの記事より$${}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,1\\2,\frac{3}{2}\end{matrix};x^2\right]=\frac{\arcsin^2x}{x^2}$$と書き換えられるわけですから、簡単な計算を介して
$${}_4F_3\left[\begin{matrix}1,1,1,1\\2,2,\frac{3}{2}\end{matrix};1\right]=\frac{\pi^2}{2}\ln2-\frac{7}{4}\zeta(3)$$
を得ます。
なおBrychkov[1]にはより一般に成り立つ式\begin{eqnarray*}{}_4F_3\left[\begin{matrix}1,1,1,1\\2,2,\frac{3}{2}\end{matrix};x^2\right]&=&\frac{i}{3x^2}\Bigl[ 2\arcsin^3x-6i\arcsin^2x\ln(1-e^{-2i\arcsin x})\\\quad &&+6\arcsin x\Li_2(e^{-2i\arcsin x})-3i\Li_3(e^{-2i\arcsin x})+3i\zeta(3)\Bigr]\end{eqnarray*}が紹介されています。
オイラーの積分変換[2]により$${}_4F_3\left[\begin{matrix}1,1,1,1\\2,2,\frac{3}{2}\end{matrix};1\right]=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x}}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,1\\2,2\end{matrix};x\right]dx$$であり、また$${}_3F_2\left[\begin{matrix}1,1,1\\2,2\end{matrix};x\right]=\frac{\Li_2(x)}{x}$$なので、
$$\int_0^1\frac{\Li_2(x)}{x\sqrt{1-x}}dx=\pi^2\ln 2-\frac{7}{2}\zeta(3)$$
を得ます。
[1] Yury Brychkov, Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas [2] Wikipedia contributors. (2023, November 9). Generalized hypergeometric function. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 07:44, December 26, 2023
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