$$I=\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{\cos x}dx$$$$J=\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{\sin x}dx$$What is the result of the integrals above? There is no elementary solution but we can write the answer with gamma function.
We calculate only $I$ here. J can be solved in the same way.
First, by the substitution $t=\sin^2x$ , $dx=(2\sqrt{t}\sqrt{1-t})^{-1}dt$\begin{eqnarray*}I &=& \int_0^\frac{\pi}{2}(1-\sin^2 x)^{1/4}dx\\ &=& \int_0^1 (1-t)^{1/4}\frac{dt}{2\sqrt{t}\sqrt{1-t}}\\ &=& \frac{1}{2}\int_0^1 t^{-\frac{1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{4}}dt\end{eqnarray*}
Beta function $B(x,y)$ is defined by the integral$$\int^1_0 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \quad\quad x\; ,\;y>0$$Let $x=1/2$ , $y=3/4$ . Then we obtain$$B\left(\frac{1}{2} , \frac{3}{4}\right)= \int_0^1 t^{-\frac{1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{4}}dt$$Therefore,$$I=\frac{1}{2}B\left(\frac{1}{2} , \frac{3}{4}\right)$$
Beta function has a relationship to the gamma function:$$B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$which gives\begin{eqnarray*}I&=&\frac{1}{2}\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{5}{4})}\\ &=& \frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{5}{4})}\\ &=& \frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\frac{1}{4}\Gamma(\frac{1}{4})}\\ &=& 2\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\end{eqnarray*}Use the reflection formula for the gamma function:$$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}\quad ,\quad x\notin \mathbb{Z}$$setting x=1/4 here , we have$$\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{\pi}{1/\sqrt{2}}\Longrightarrow \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}\pi}{\Gamma(\frac{3}{4})}$$Substitute it for the $I$ above\begin{eqnarray*}I&=& 2\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\\ &=& 2\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(\frac{3}{4})^2}{\sqrt{2}\pi}\\ &=& \sqrt{\frac{2}{\pi}}\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)^2\end{eqnarray*}Also calculating $J$ in the same way,$$J=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)^2$$
$$\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{\cos x}dx=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)^2$$$$\int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{\sin x}dx=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)^2$$
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