超幾何関数については記事を多く書いています。
Bateman.H, Eldélyi.A, Higher Transcendental Functions vol.1 (1953)の2.8節にある、The fifteen relations of Gauss between contiguous functionsを紹介します。直訳すると「隣接する関数の間で成立するガウスの15の関係式」となります。「隣接」というのは例えば$$F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]\;,\;F\left[\begin{matrix}a+1,b\\c\end{matrix};z\right]\;,\;F\left[\begin{matrix}a,b\\c-1\end{matrix};z\right]$$のように、超幾何関数のパラメータ $a,b,c$ のどれかが $1$ 異なるものです。隣接した超幾何関数を３つ選ぶと、互いに線型結合の形で表すことができるのです。
超幾何関数はやたらと画数が多いので、次のように簡略して表現しましょう。\begin{eqnarray*} F:=F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]\;,\; F(a+1):=F\left[\begin{matrix}a+1,b\\c\end{matrix};z\right]\\ F(b+1):=F\left[\begin{matrix}a,b+1\\c\end{matrix};z\right]\;,\;F(c+1):=F\left[\begin{matrix}a,b\\c+1\end{matrix};z\right]\end{eqnarray*}$(a,b,c)$ の組を基準として、そのうち変化したパラメータのみを明記するというものです。
隣接関係式の例\begin{equation}c(1-z)F-cF(b-1)+(c-a)zF(c+1)=0\tag{1}\end{equation}を示しましょう。左辺が恒等的にゼロであることを言えばよいです。\begin{eqnarray*}LHS &=& c(1-z)\sum_{n=0}^\infty\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!}-c\sum_{n=0}^\infty\frac{(a)_n(b-1)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!}+(c-a)z\sum_{n=0}^\infty\frac{(a)_n(b)_n}{(c+1)_n}\frac{z^n}{n!} \\&=& c\sum_{n=0}^\infty\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!}\left(1-\frac{b-1}{b+n-1}\right)-c\sum_{n=0}^\infty\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\frac{z^{n+1}}{n!}+(c-a)\sum_{n=0}^\infty\frac{(a)_n(b)_n}{(c+1)_n}\frac{z^{n+1}}{n!} \\&=& c\sum_{n=0}^\infty\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!}\frac{n}{b+n-1}-c\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_{n-1}(b)_{n-1}}{(c)_{n-1}}\frac{z^n}{(n-1)!}+(c-a)\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_{n-1}(b)_{n-1}}{(c+1)_{n-1}}\frac{z^n}{(n-1)!} \\&=& c\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!}\frac{n}{b+n-1}-c\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_{n-1}(b)_{n-1}}{(c)_{n-1}}\frac{z^n}{(n-1)!}+(c-a)\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_{n-1}(b)_{n-1}}{(c+1)_{n-1}}\frac{z^n}{(n-1)!} \\&=&\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_{n-1}(b)_{n-1}}{(c+1)_{n-1}}\frac{z^n}{(n-1)!}\left(\frac{(a+n-1)(b+n-1)}{b+n-1}-c\frac{c+n-1}{c}+c-a\right) \\&=&0\end{eqnarray*}これにより(1)は示されました。
このように、隣接関係式は必ず3つの超幾何関数から成り、そのうちの１つは $F$ です。残りの２つは $F(a\pm1)$ , $F(b\pm1)$ , $F(c\pm1)$ のいずれかです。
ガウスによる15個の式は以下の通りです(Gauss, "Werke band 3")。\begin{eqnarray}&&[c-2a-(b-a)z]F+a(1-z)F(a+1)-(c-a)F(a-1)=0\tag{2}\\[0.7em]&&(b-a)F+aF(a+1)-bF(b+1)=0\tag{3} \\[0.7em]&& (c-a-b)F+a(1-z)F(a+1)-(c-b)F(b-1)=0\tag{4} \\[0.7em]&& c[a-(c-b)z]F-ac(1-z)F(a+1)+(c-a)(c-b)zF(c+1)=0\tag{5} \\[0.7em]&& (c-a-1)F+aF(a+1)-(c-1)F(c-1)=0\tag{6} \\[0.7em]&& (c-a-b)F-(c-a)F(a-1)+b(1-z)F(b+1)=0\tag{7} \\[0.7em]&& (b-a)(1-z)F-(c-a)F(a-1)+(c-b)F(b-1)=0\tag{8} \\[0.7em]&& c(1-z)F-cF(a-1)+(c-b)zF(c+1)=0\tag{9} \\[0.7em]&& [a-1-(c-b-1)z]F+(c-a)F(a-1)-(c-1)(1-z)F(c-1)=0\tag{10} \\[0.7em]&& [c-2b+(b-a)z]F+b(1-z)F(b+1)-(c-b)F(b-1)=0\tag{11} \\[0.7em]&& c[b-(c-a)z]F-bc(1-z)F(b+1)+(c-a)(c-b)zF(c+1)=0\tag{12} \\[0.7em]&& (c-b-1)F+bF(b+1)-(c-1)F(c-1)=0\tag{13} \\[0.7em]&& c(1-z)F-cF(b-1)+(c-a)zF(c+1)=0\tag{14} \\[0.7em]&& [b-1-(c-a-1)z]F+(c-b)F(b-1)-(c-1)(1-z)F(c-1)=0\tag{15} \\[0.7em]&& c[c-1-(2c-a-b-1)z]F+(c-a)(c-b)zF(c+1)-c(c-1)(1-z)F(c-1)=0\tag{16}\end{eqnarray}
上記15の関係式は１つずつ隣接した3項の結合で表現されますが、応用してバリエーションをつくることもできます。例えば(4)(12)(16)を組み合わせることで\begin{equation}AF(a-1,b-1,c+2)+BF(a-1,b-1,c)+CF=0\tag{17}\end{equation}の形をつくることもできます。$A,B,C$ は $a,b,c,z$ で表される式であり、かなり煩雑なのでここでは省略します。超幾何関数の特殊値を求めるときにこの方法が利用されることもあります。
実際に応用した記事：
$$F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=F\left[\begin{matrix}a+1,b\\c\end{matrix};z\right]-\frac{bz}{c}F\left[\begin{matrix}a+1,b+1\\c+1\end{matrix};z\right]$$[@infseriesbot]
隣接関係式を繰り返し用いてもよいですが、(1)と同様に、まともに計算したほうが早いです。\begin{eqnarray*}RHS &=& 1+\sum_{n=1}^\infty\frac{(a+1)_n(b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!}-\sum_{n=1}^\infty\frac{(a+1)_{n-1}(b)_n}{(c)_n(n-1)!}z^n \\&=&1+\sum_{n=1}^\infty\frac{(a+1)_{n-1}(b)_nz^n}{(c)_n(n-1)!}\left(\frac{a+n}{n}-1\right) \\&=&F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]\end{eqnarray*}
$$F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=F\left[\begin{matrix}a+1,b\\c+1\end{matrix};z\right]+\frac{b(a-c)z}{c(c+1)}F\left[\begin{matrix}a+1,b+1\\c+2\end{matrix};z\right]$$[@infseriesbot]
まともに計算してもいいですが、隣接関係式を部分的に使ってみましょう。問題１より$$F\left[\begin{matrix}a,b\\c+1\end{matrix};z\right]=F\left[\begin{matrix}a+1,b\\c+1\end{matrix};z\right]-\frac{bz}{c+1}F\left[\begin{matrix}a+1,b+1\\c+2\end{matrix};z\right]$$隣接関係式(6)より$$ (c-a)F\left[\begin{matrix}a,b\\c+1\end{matrix};z\right]+aF\left[\begin{matrix}a+1,b\\c+1\end{matrix};z\right]-cF\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=0$$これらを連立させて $F\left[\begin{matrix}a,b\\c+1\end{matrix};z\right]$ を消すと$$F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=F\left[\begin{matrix}a+1,b\\c+1\end{matrix};z\right]+\frac{b(a-c)z}{c(c+1)}F\left[\begin{matrix}a+1,b+1\\c+2\end{matrix};z\right]$$を得ます。
$$F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=F\left[\begin{matrix}a,b\\c+1\end{matrix};z\right]+\frac{abz}{c(c+1)}F\left[\begin{matrix}a+1,b+1\\c+2\end{matrix};z\right]$$[@infseriesbot]
まともに計算しましょう。\begin{eqnarray*}RHS &=& 1+\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_n(b)_n}{(c+1)_n}\frac{z^n}{n!}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_{n}(b)_n}{(c)_{n+1}(n-1)!}z^n \\&=&1+\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_n(b)_nz^n}{(c)_nn!}\left(\frac{c}{c+n}+\frac{n}{c+n}\right) \\&=&F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]\end{eqnarray*}
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