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もくじ
以前にワイエルシュトラスのシグマ関数の記事を書きました。シグマ関数は二重の擬周期性をもった整関数で、楕円関数モドキともいえるものです。その記事ではシグマ関数を無限積の形で定義しました。今回はテータ関数と結びつけるために別の無限積表示を導出します。
ある関数F(z)の定義
天下り的ではありますがペー関数やシグマ関数等で用いた周期 $\o_1,\o_2$ を用いて\begin{equation}F(z):=\exp\left(\frac{\eta_1z^2}{2\omega_1}\right)\sin\frac{\pi z}{\o_1}\prod_{n=1}^\infty\left(1-2q^{2n}\cos\frac{2\pi z}{\o_1}+q^{4n}\right)\tag{1}\end{equation}を定義します。ただし $\Im (\o_2/\o_1) >0$ であり\begin{equation}q=\exp\left(\pi i \frac{\o_2}{\o_1}\right)\tag{2}\end{equation}とします。またワイエルシュトラスのゼータ関数の記事で見た通り、\begin{equation}\eta_i=2\zeta\left(\frac{\o_i}{2}\right)\quad(i=1,2,3)\tag{3}\end{equation}です。このゼータ関数はいわゆるリーマンのゼータ関数とは無関係です。
整関数F(z)の零点
$F(z)$ は整関数です。その零点は\begin{equation}\sin\frac{\pi z}{\o_1}=0\Rightarrow z=N\o_1\quad(N\in\ZZ)\tag{4}\end{equation}がまず見つかります。さらに(1)の無限積の部分では$$1-2q^{2n}\cos\frac{2\pi z}{\o_1}+q^{4n}=\left(1-q^{2n}e^{i\frac{2\pi}{\o_1}z}\right)\left(1-q^{2n}e^{-i\frac{2\pi}{\o_1}z}\right)$$と変形できることから、零点は$$q^{2n}e^{\pm i\frac{2\pi}{\o_1}z}=1\Rightarrow 2n\pi i\frac{\o_2}{\o_1}\pm\frac{2\pi i}{\o_1}z=2\pi i M\quad (M\in\ZZ)$$\begin{equation}\therefore\quad z=M\o_1\pm n\o_2\quad(M\in\ZZ\;,\;n\in\NN)\tag{5}\end{equation}(4)(5)をよく見てみます。(5)で $n=0$ としたものが(4)です。なので(4)(5)をまとめると $F(z)$ の零点は$$z=m\o_1+n\o_2\quad(m,n\in\ZZ)$$であり、これらの零点はすべて1位です。すなわち $F(z)$ の零点はシグマ関数の零点にピッタリ一致します。
F(z)の擬周期性
さて、$F(z)$ の（擬）周期性を調べましょう。$\o_1$ に対して$$F(z+\o_1) =\exp\left(\frac{\eta_1(z^2+2\o_1z+\o_1^2)}{2\omega_1}\right)\left(-\sin\frac{\pi z}{\o_1}\right)\prod_{n=1}^\infty\left(1-2q^{2n}\cos\frac{2\pi z}{\o_1}+q^{4n}\right)$$\begin{equation}\therefore\quad F(z+\o_1)=-\exp\left(\eta_1\left(z+\frac{\o_1}{2}\right)\right)F(z)\tag{6}\end{equation}
次に $\o_2$ については$$F(z+\o_2)=\exp\left(\frac{\eta_1(z^2+2\o_2z+\o_2^2)}{2\omega_1}\right)\sin\left(\frac{\pi z}{\o_1}+\pi\frac{\o_2}{\o_1}\right)\prod_{n=1}^\infty\left(1-2q^{2n}\cos\left[\frac{2\pi z}{\o_1}+\frac{2\pi\o_2}{\o_1}\right)+q^{4n}\right]$$expの中身でルジャンドルの関係 $\eta_1\o_2=\eta_2\o_1+2\pi i$ を使います。三角関数は指数関数で表し、また(2)にも注意すると$$=\exp\left(\frac{\eta_1z^2}{2\omega_1}\right)\exp\left(2\pi i\frac{z}{\omega_1}+\eta_2z+\frac{\eta_2\o_2}{2}\right)q\frac{qe^{i\frac{\pi z}{\o_1}}-q^{-1}e^{-i\frac{\pi z}{\o_1}}}{2i}\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n+2}e^{i\frac{2\pi z}{\o_1}}\right)\left(1-q^{2n-2}e^{-i\frac{2\pi z}{\o_1}}\right)$$もう少し変形します。$$=\exp\left(\eta_2\left(z+\frac{\o_2}{2}\right)\right)\exp\left(\frac{\eta_1z^2}{2\omega_1}\right)\cdot e^{i\frac{2\pi z}{\o_1}}\frac{q^2e^{i\frac{\pi z}{\o_1}}-e^{-i\frac{\pi z}{\o_1}}}{2i}\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n+2}e^{i\frac{2\pi z}{\o_1}}\right)\left(1-q^{2n-2}e^{-i\frac{2\pi z}{\o_1}}\right)$$もうちょびっとだけ変形します。$$=\exp\left(\eta_2\left(z+\frac{\o_2}{2}\right)\right)\exp\left(\frac{\eta_1z^2}{2\omega_1}\right)\cdot e^{i\frac{\pi z}{\o_1}}\frac{q^2e^{i\frac{2\pi z}{\o_1}}-1}{2i}\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n+2}e^{i\frac{2\pi z}{\o_1}}\right)\left(1-q^{2n-2}e^{-i\frac{2\pi z}{\o_1}}\right)$$無限積の部分を次のように変形します。$$\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n+2}e^{i\frac{2\pi z}{\o_1}}\right)\left(1-q^{2n-2}e^{-i\frac{2\pi z}{\o_1}}\right)=\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n}e^{i\frac{2\pi z}{\o_1}}\right)\left(1-q^{2n}e^{-i\frac{2\pi z}{\o_1}}\right)\times\frac{1-e^{-i\frac{2\pi z}{\o_1}}}{1-q^2e^{i\frac{2\pi z}{\o_1}}}$$すると余計な部分がうまく消えて\begin{equation}\therefore\quad F(z+\o_2)=-\exp\left(\eta_2\left(z+\frac{\o_2}{2}\right)\right)F(z)\tag{7}\end{equation}(6)(7)より $F(z)$ はシグマ関数と全く同じ擬周期性をもちます。
新たなシグマ関数の表示
ここまでの話を要約すると、(1)で定義される $F(z)$ は整関数であり、その零点や擬周期性はシグマ関数と一致する。したがって $F(z)/\sigma(z)$ は二重周期 $\o_1,\o_2$ をもち、極をもちません（それぞれの零点が相殺するため）。よって $F(z)/\sigma(z)$ は定数関数に限ります。よって定数 $a$ を用いて$$\sigma(z)= a F(z)$$両辺を $z$ で割ると$$\frac{\sigma(z)}{z}=a\frac{F(z)}{z}$$です。$z\to 0$ の極限で $\sigma(z)/z\to 1$ であり、$$\lim_{z\to 0}\frac{F(z)}{z}=\frac{\pi}{\o_1} \prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n}\right)^2$$なので$$A=\frac{\o_1}{\pi}\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n}\right)^{-2}$$以上から次の定理が成立します。
$$\sigma(z)=\frac{\o_1}{\pi}\exp\left(\frac{\eta_1z^2}{2\omega_1}\right)\sin\frac{\pi z}{\o_1}\prod_{n=1}^\infty\frac{1-2q^{2n}\cos\frac{2\pi z}{\o_1}+q^{4n}}{(1-q^{2n})^2}$$
テータ関数の無限積表示\begin{equation}\vartheta_1(z,\tau)=2q^{1/4}\sin\pi z\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n}\right)\left(1-2q^{2n}\cos 2\pi z+q^{4n}\right)\tag{8}\end{equation}で $\tau=\o_2/\o_1$ とすると\begin{equation}\vartheta_1\left(\frac{z}{\o_1},\frac{\o_2}{\o_1}\right)=2q^{1/4}\sin\frac{\pi z}{\o_1}\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n}\right)\left(1-2q^{2n}\cos \frac{2\pi z}{\o_1}+q^{4n}\right)\tag{9}\end{equation}さらにテータ定数の１つ\begin{equation}\vartheta_1'=2\pi q^{1/4}\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n}\right)^3\tag{10}\end{equation}も使うと
$$\sigma(z)=\frac{\o_1}{\vartheta'_1}\exp\left(\frac{\eta_1z^2}{2\omega_1}\right)\;\vartheta_1\left(\frac{z}{\o_1},\frac{\o_2}{\o_1}\right)$$
命題２はまだ不完全で、式の中に $\eta_1$ があります。この値を何とかしましょう。
命題２の対数をとると\begin{equation}\ln\sigma(z)=\mathrm{const.}+\frac{\eta_1z^2}{2\omega_1}+\ln\vartheta_1\left(\frac{z}{\o_1}\right)\tag{11}\end{equation}ただしテータ関数の第2引数は省略しました。(11)を微分すると\begin{equation}\zeta(z)=\frac{\eta_1}{\o_1}z+\frac{1}{\o_1}\frac{\vartheta_1'(z/\o_1)}{\vartheta_1(z/\o_1)}\tag{12}\end{equation}(12)を微分すると$$-\wp(z)=\frac{\eta_1}{\o_1}+\frac{1}{\o_1}\frac{d}{dz}\frac{\vartheta_1'(z/\o_1)}{\vartheta_1(z/\o_1)}$$あるいは\begin{equation}-\wp(z)=\frac{\eta_1}{\o_1}+\frac{1}{\o_1^{~2}}\left[\frac{\vartheta_1''(z/\o_1)}{\vartheta_1(z/\o_1)}-\left(\frac{\vartheta_1'(z/\o_1)}{\vartheta_1(z/\o_1)}\right)^2\right]\tag{13}\end{equation}テータ関数の導関数については前回記事も参考にしてください。すると\begin{equation}-\wp(z)=\frac{\eta_1}{\o_1}-\frac{\pi^2}{\o_1^{~2}}\csc^2\frac{\pi z}{\o_1}+\frac{1}{\o_1^{~2}}\left[\frac{\phi''(z/\o_1)}{\phi(z/\o_1)}-\left(\frac{\phi'(z/\o_1)}{\phi(z/\o_1)}\right)^2\right]\tag{14}\end{equation}ただし$$\phi(z):=2q^{1/4}\prod_{n=1}^\infty\left(1-q^{2n}\right)\left(1-2q^{2n}\cos 2\pi z+q^{4n}\right)$$であり $\vartheta_1(z)=\sin\pi z\:\phi(z)$ なる関係があります。また前回用いた $\a(z)$ とは $\phi(z)=\a(z-\frac{1}{2})$ なる関係が満たされています。
(14)の $z=0$ まわりの展開を考えます。まず\begin{equation}\wp(z)=z^{-2}+O(z^2)\tag{15}\end{equation}および\begin{equation}\csc^2z=z^{-2}+\frac{1}{3}+O(z^2)\tag{16}\end{equation}です。また前回記事から\begin{align}\phi(0) &=\a(-1/2)=\frac{\vartheta'_1}{\pi}\\\phi'(0) &=\a'(-1/2)=0\\\phi''(0) &=\a''(-1/2)=\frac{\vartheta'''_1+\pi^2\vartheta'_1}{3\pi}\end{align}と書けるので$$\frac{\phi''(z)}{\phi(z)}=\frac{\phi''(0)}{\phi(0)}+O(z)\;,\quad\frac{\phi'(z)}{\phi(z)}=O(z)$$とできます。これと(15)(16)を負わせて(14)に放り込むと、定数項は$$0=\frac{\eta_1}{\o_1}-\frac{\pi^2}{3\o_1^2}+\frac{1}{\o_1^{~2}}\frac{\phi''(0)}{\phi(0)}$$となります。これによって $\eta_1$ がテータ定数で表されます。また先ほど言及したルジャンドルの関係式を用いると $\eta_2$ もすぐに計算できます。
\begin{align}\eta_1 &= -\frac{1}{3\o_1}\frac{\vartheta'''_1}{\vartheta'_1}\\\eta_2 &= -\frac{\o_2}{3\o_1^{~2}}\frac{\vartheta'''_1}{\vartheta'_1}-\frac{2\pi i}{\o_1}\end{align}
定理３を命題２に代入して目標達成です。
$$\sigma(z)=\frac{\o_1}{\vartheta'_1}\exp\left(-\frac{\vartheta'''_1}{6\omega_1^{~2}\vartheta'_1}z^2\right)\;\vartheta_1\left(\frac{z}{\o_1},\frac{\o_2}{\o_1}\right)$$
こちらの記事で見たように任意の楕円関数はワイエルシュトラスのゼータ関数やシグマ関数で表せたのでした。ならば、定理４でシグマ関数をテータ関数で表現したのですから、任意の楕円関数をシグマ関数やゼータ関数で表すことができそうです。
零点と極に注目するケース
詳細はその記事をご覧いただきたいのですが、簡単に説明します。$f(z)$ を周期 $\o_1,\o_2$ の楕円関数とし、零点を$$z=a_1,a_2,\cdots,a_n$$極を$$z=b_1,b_2,\cdots,b_n$$とします。このとき零点あるいは極を合同な点に適当に取り換えることによって\begin{equation}a_1+a_2+\cdots+a_n= b_1+b_2+\cdots+b_n\tag{17}\end{equation}とすることができます。このとき同一の（擬）周期をもったシグマ関数を用いて$$f(z)=A'\prod_{k=1}^n\frac{\sigma(z-a_k)}{\sigma(z-b_k)}$$と書けるのでした。ただし $A'$ は定数です。この式に定理４を代入すると$$f(z)=A'\prod_{k=1}^n\frac{\exp\left(-\frac{\vartheta'''_1}{6\omega_1^{~2}\vartheta'_1}(z-a_k)^2\right)\;\vartheta_1\left(\frac{z-a_k}{\o_1},\frac{\o_2}{\o_1}\right)}{\exp\left(-\frac{\vartheta'''_1}{6\omega_1^{~2}\vartheta'_1}(z-b_k)^2\right)\;\vartheta_1\left(\frac{z-b_k}{\o_1},\frac{\o_2}{\o_1}\right)}$$(17)より$$f(z)=A'\exp\left(-\frac{\vartheta'''_1}{6\omega_1^{~2}\vartheta'_1}(a_k^2-b_k^2)\right)\prod_{k=1}^n\frac{\vartheta_1\left(\frac{z-a_k}{\o_1},\frac{\o_2}{\o_1}\right)}{\vartheta_1\left(\frac{z-b_k}{\o_1},\frac{\o_2}{\o_1}\right)}$$定数を取り直して
任意の楕円関数 $f(z)$ は、$z$ によらない定数 $A''$ を用いて$$f(z)=A''\prod_{k=1}^n\frac{\vartheta_1\left(\frac{z-a_k}{\o_1},\frac{\o_2}{\o_1}\right)}{\vartheta_1\left(\frac{z-b_k}{\o_1},\frac{\o_2}{\o_1}\right)}$$と表せる。
これで楕円関数をテータ関数で表せました。
極と主要部に注目するケース
以前の記事で見た通り、任意の楕円関数をワイエルシュトラスのゼータ関数で表すことができます。
任意の楕円関数 $f(z)$ が $z=u_i$ に $r_i$ 位の極をもつとします。ただし $i=1,2,\cdots,n$ です。$z=u_i$ でのローラン展開を\begin{equation}f(z)=\frac{a_{i,r_i}}{(z-u_i)^{r_i}}+\frac{a_{i,r_i-1}}{(z-u_i)^{r_i-1}}+\cdots+\frac{a_{i,1}}{z-u_i}+O\left((z-u_i)^0\right)\tag{18}\end{equation}と書くことにしましょう。
このとき定数 $B$ を用いて\begin{equation}f(z)=B+\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^{r_i}\frac{(-1)^{k-1}a_{i,k}}{(k-1)!}\zeta^{(k-1)}(z-u_i)\tag{19}\end{equation}と書けるのでした。(12)を用いると\begin{align}f(z)&=B+\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^{r_i}\frac{(-1)^{k-1}a_{i,k}}{(k-1)!}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left\{\frac{\eta_1}{\o_1}(z-u_i)+\frac{1}{\o_1}\frac{\vartheta_1'(\frac{z-u_i}{\o_1})}{\vartheta_1(\frac{z-u_i}{\o_1})}\right\}\\&=B'+\frac{1}{\o_1}\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^{r_i}\frac{(-1)^{k-1}a_{i,k}}{(k-1)!}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\frac{\vartheta_1'(\frac{z-u_i}{\o_1})}{\vartheta_1(\frac{z-u_i}{\o_1})}+\frac{\eta_1}{\o_1}z\sum_{i=1}^n a_{i,1}\end{align}$B'$ は新たに取り直した定数です。楕円関数の留数の和はゼロなので最終項の総和は消えます。以上より
任意の楕円関数 $f(z)$ は、$z$ によらない定数 $B'$ を用いて$$f(z)=B'+\frac{1}{\o_1}\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^{r_i}\frac{(-1)^{k-1}a_{i,k}}{(k-1)!}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\frac{\vartheta_1'(\frac{z-u_i}{\o_1})}{\vartheta_1(\frac{z-u_i}{\o_1})}$$と表せる。
これで楕円関数をテータ関数で表せました。
$$X_{31}(z):=\frac{\vartheta_3^{~2}(z,\tau)}{\vartheta_1^{~2}(z,\tau)}$$を定理６の形で表せ。
【解答】これが周期 $1,\tau$ をもつ楕円関数であることはこちらの記事でかつて示した。よって定理６で $\o_1=1$ , $\o_2=\tau$ とすればよい。$\vartheta_1(z)$ は$z=0$ に１位の零点をもつので $X_{31}(z)$ は $z=0$ を2位の極にもつのみ。$$X_{31}(z)=A+\sum_{k=1}^{2}\frac{(-1)^{k-1}a_{k}}{(k-1)!}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\frac{\vartheta_1'(z)}{\vartheta_1(z)}$$ここで係数 $a_k$ はローラン展開の主要部の係数で$$X_{31}(z)=\frac{a_2}{z^2}+\frac{a_1}{z}+\mathrm{entire\: function}$$あとは $a_1,a_2$ を求めればいい。$\vartheta_1(z)=\vartheta'_1z+O(z^2)$ より$$a_2=\lim_{z\to 0}z^2 X_{31}(z)=\frac{\vartheta_3^{~2}}{\vartheta_1^{~\prime 2}}$$\begin{align}a_1 &=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}z^2 X_{31}(z)\\&=2\lim_{z\to 0}\frac{z\:\vartheta_3^{~2}(z)}{\vartheta_1(z)}\left(\frac{1}{\vartheta_1(z)}-\frac{z\:\vartheta_1^{~\prime 2}(z)}{\vartheta_1^{~2}(z)}\right)\quad(\because\;\vartheta'_3=0)\\&=\frac{2\vartheta_3^{~2}}{\vartheta'_1}\lim_{z\to 0}\frac{\vartheta_1(z)-z\vartheta'_1(z)}{\vartheta_1^{~2}(z)}\\&=-\frac{\vartheta_3^{~2}\vartheta_1''}{(\vartheta'_1)^3}\\&=\; 0\quad(\because\:\vartheta_1''=0) \end{align}なお偶関数なのでそもそも $a_1=0$ は当然といえる。最後に $z=\frac{1+\tau}{2}$ を代入して定数 $A$ が求まる。$$X_{31}(z)=\frac{\vartheta_3\vartheta_3''}{(\vartheta'_1)^2}-\frac{\vartheta_3^{~2}}{\vartheta_1^{~\prime 2}}\frac{d}{dz}\frac{\vartheta_1'(z)}{\vartheta_1(z)}$$【解答終】
第５版です。いわずと知れた名著。楕円関数にかなりのページを割いています。
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