本記事は楕円関数シリーズの第24回となります：
前回は：
ヤコビの楕円関数を楕円積分の逆関数として定義した記事を過去に書いています。読まなくても今回は大丈夫ですが、参考までに：
前回得た微分方程式を使ってヤコビの楕円関数を定義しましょう。前回に得た式
\begin{align}\frac{d}{dz}\left(\frac{\vartheta_1(z)}{\vartheta_4(z)}\right)&=\pi\vartheta_4^{~2}\frac{\vartheta_2(z)\vartheta_3(z)}{\vartheta_4^{~2}(z)}\tag{0a}\\\frac{d}{dz}\left(\frac{\vartheta_2(z)}{\vartheta_4(z)}\right)&=-\pi\vartheta_3^{~2}\frac{\vartheta_1(z)\vartheta_3(z)}{\vartheta_4^{~2}(z)}\tag{0b}\\\frac{d}{dz}\left(\frac{\vartheta_3(z)}{\vartheta_4(z)}\right)&=-\pi\vartheta_2^{~2}\frac{\vartheta_1(z)\vartheta_2(z)}{\vartheta_4^{~2}(z)}\tag{0c}\end{align}
これらにおいて $u=\pi\vartheta_3^{~2}z$ とおくと $\frac{d}{dz}=\pi\vartheta_3^{2}\frac{d}{du}$ より\begin{align}\vartheta_3^{2}\frac{d}{du}\left(\frac{\vartheta_1(z)}{\vartheta_4(z)}\right)&=\vartheta_4^{~2}\frac{\vartheta_2(z)\vartheta_3(z)}{\vartheta_4^{~2}(z)}\tag{1a}\\\frac{d}{du}\left(\frac{\vartheta_2(z)}{\vartheta_4(z)}\right)&=-\frac{\vartheta_1(z)\vartheta_3(z)}{\vartheta_4^{~2}(z)}\tag{1b}\\\vartheta_3^{2}\frac{d}{du}\left(\frac{\vartheta_3(z)}{\vartheta_4(z)}\right)&=-\vartheta_2^{~2}\frac{\vartheta_1(z)\vartheta_2(z)}{\vartheta_4^{~2}(z)}\tag{1c}\end{align}両辺を2乗します。\begin{align}\vartheta_3^{4}\left(\frac{d}{du}\frac{\vartheta_1(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2&=\vartheta_4^{~4}\frac{\vartheta_2^{~2}(z)\vartheta_3^{~2}(z)}{\vartheta_4^{~4}(z)}\tag{2a}\\\left(\frac{d}{du}\frac{\vartheta_2(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2&=\frac{\vartheta_1^{~2}(z)\vartheta_3^{~2}(z)}{\vartheta_4^{~4}(z)}\tag{2b}\\\vartheta_3^{4}\left(\frac{d}{du}\frac{\vartheta_3(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2&=\vartheta_2^{~4}\frac{\vartheta_1^{~2}(z)\vartheta_2^{~2}(z)}{\vartheta_4^{~4}(z)}\tag{2c}\end{align}テータ関数の添え字は4種類ありますが、それぞれの等式において左辺にある2種類に絞ります。そのためにはこちらで導出した\begin{align}\begin{split}\vartheta_4^{~2}\vartheta_2(z)^2&=\vartheta_2^{~2}\vartheta_4(z)^2-\vartheta_3^{~2}\vartheta_1(z)^2\\\vartheta_4^{~2}\vartheta_3(z)^2&=\vartheta_3^{~2}\vartheta_4(z)^2-\vartheta_2^{~2}\vartheta_1(z)^2\\\vartheta_4^{~2}\vartheta_1(z)^2&=\vartheta_2^{~2}\vartheta_3(z)^2-\vartheta_3^{~2}\vartheta_2(z)^2\\\vartheta_4^{~2}\vartheta_4(z)^2&=\vartheta_3^{~2}\vartheta_3(z)^2-\vartheta_2^{~2}\vartheta_2(z)^2\end{split}\tag{3}\end{align}を使います。例えば(2a)なら右辺の $\vartheta_2(z)$,$\vartheta_3(z)$ を消して $\vartheta_1(z)$,$\vartheta_4(z)$ だけにします。そのために(3)の第1,2式を使います。すると(2a)~(2c)は\begin{align}\left(\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\frac{d}{du}\frac{\vartheta_1(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2&=\left[1-\left(\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_1(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2\right]\left[1-\left(\frac{\vartheta_2}{\vartheta_3}\right)^4\left(\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_1(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2\right]\tag{4a}\\\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_2}\frac{d}{du}\frac{\vartheta_2(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2&=\left[1-\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_2(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2\right]\left[\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\right)^4+\left(\frac{\vartheta_2}{\vartheta_3}\right)^4\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_2(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2\right]\tag{4b}\\\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\frac{d}{du}\frac{\vartheta_3(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2&=\left[1-\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\frac{\vartheta_3(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2\right]\left[\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\frac{\vartheta_3(z)}{\vartheta_4(z)}\right)^2-\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\right)^4\right]\tag{4c}\end{align}と書けます。$z=\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}}$ であることを忘れない！ あくまで $u$ の関数です。以上より
$y=\dfrac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_1\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}}\right)}{\vartheta_4\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}}\right)}$ は次の特殊解である。\begin{equation}\left(\frac{dy}{du}\right)^2 =\left(1-y^2\right)\left[1-\left(\frac{\vartheta_2}{\vartheta_3}\right)^4y^2\right]\tag{A}\end{equation}
$y=\dfrac{\vartheta_4}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_2\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}}\right)}{\vartheta_4\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}}\right)}$ は次の特殊解である。\begin{equation}\left(\frac{dy}{du}\right)^2 =\left(1-y^2\right)\left[\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\right)^4+\left(\frac{\vartheta_2}{\vartheta_3}\right)^4y^2\right]\tag{B}\end{equation}
$y=\dfrac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\frac{\vartheta_3\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}}\right)}{\vartheta_4\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}}\right)}$ は次の特殊解である。\begin{equation}\left(\frac{dy}{du}\right)^2 =\left(1-y^2\right)\left[y^2-\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\right)^4\right]\tag{C}\end{equation}
さて、ここで\begin{align}k^{1/2}&=\frac{\vartheta_2}{\vartheta_3}\tag{5}\\k'^{~1/2}&=\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\tag{6}\end{align}とすると\begin{equation}k^2+k'^2=1\tag{7}\end{equation}となります。楕円積分やヤコビの楕円関数を知っていれば $k$ ,$k'$ は母数と補母数であることが見通せるかと思います。さらに\begin{align}2K&=\pi\vartheta_3^{~2}\tag{8}\\2iK' &=\pi\vartheta_3^{~2}\tau\tag{9}\end{align}と書くことにします。すると微分方程式(4a)(4b)(4c)は\begin{align}\left(\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\frac{d}{du}\frac{\vartheta_1(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\right)^2&=\left[1-\left(\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_1(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\right)^2\right]\left[1-k^2\left(\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_1(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\right)^2\right]\tag{10a}\\\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_2}\frac{d}{du}\frac{\vartheta_2(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\right)^2&=\left[1-\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_2(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\right)^2\right]\left[k'^{~2}+k^2\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_2(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\right)^2\right]\tag{10b}\\\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\frac{d}{du}\frac{\vartheta_3(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\right)^2&=\left[1-\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\frac{\vartheta_3(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\right)^2\right]\left[\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\frac{\vartheta_3(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\right)^2-k'^{~2}\right]\tag{10c}\end{align}とも書くことができます。
なおヤコビの虚数変換式より\begin{equation}\tau\tau'=-1\Longrightarrow\begin{cases}K &=\dfrac{\pi\vartheta_3^{~2}(\tau)}{2}\\K' &=\dfrac{\pi\vartheta_3^{~2}(\tau')}{2}\end{cases}\tag{11}\end{equation}が成り立ちます。
(10a)に注目しましょう。$y=\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_1(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}$ とすると(10a)は\begin{equation}\left(\frac{dy}{du}\right)^2=(1-y^2)(1-k^2y^2)\tag{12}\end{equation}と書けます。(12)は以前楕円積分の逆関数として定義したヤコビの楕円関数 $\sn u$ が満たす微分方程式と同じ形をしています。そこで\begin{equation}\sn(u,k)=\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_1(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\tag{13}\end{equation}と定義してしまいましょう。これはヤコビの楕円関数の１つです。
$\sn u$ が楕円関数というからには、二重周期性や極・零点を確認しておきたいところです。テータ関数の擬周期 $1,\tau$ ですが(8)(9)から\begin{equation}\tau=i\frac{K'}{K}\tag{14}\end{equation}と書くことができます。このようにしてテータ関数の言葉 $\vartheta_j$ , $\tau$ からヤコビの楕円関数の言葉 $k,K$ などに変えていくのです。
すると(13)は $\mathrm{sn}(u+2K)=-\mathrm{sn}\:u$ , $\mathrm{sn}(u+2iK')=\mathrm{sn}\:u$ を満たし、$4K$ , $4iK'$ の二重周期をもつことがわかります。
次に $\vartheta_4(z)$ の零点を調べることで $\sn u$ の極が分かります。極は$$\frac{u}{2K}\equiv\frac{\tau}{2}\mod 1,\tau$$なので\begin{equation}u\equiv iK'\;,\;2K+iK'\mod 4K\;,\;2iK'\tag{15}\end{equation}となります。あるいは\begin{equation}u=2mK+(2n+1)iK'\quad(m,n\in\ZZ)\tag{16}\end{equation}と書いても分かりやすいでしょう。基本平行四辺形ごとに2つの極があり、これらの極はすべて1位です。また楕円関数の理論から、この2つの極のうち片方の留数を $A$ とすると、もう片方の留数は $-A$ となります。
同様にして $\sn u$ の零点は\begin{equation}u\equiv 0\;,\;2K\mod 4K\;,\;2iK'\tag{17}\end{equation}となります。あるいは\begin{equation}u=2mK+2niK'\quad(m,n\in\ZZ)\tag{18}\end{equation}と書いてもOK。これらの零点はすべて1位です。
以上の性質は以前ヤコビの楕円関数で取り上げたときのものと一致しています。そのときは楕円積分の逆数としてヤコビの楕円関数を定義したのですが、それは今回の(13)と同じものなのです。というのも、以前に定義した $\sn u$ と(13)の $\sn u$ の比をとると二重周期をもちながらも極が相殺して整関数になります。このようなものは定数関数に限ります。また(13)の $\sn u$ は定理１(A)の解というのも両者が関数として一致する根拠です。
同様に\begin{equation}\cn(u,k)=\frac{\vartheta_4}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_2(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\tag{19}\end{equation}\begin{equation}\dn(u,k)=\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\frac{\vartheta_3(\frac{u}{2K})}{\vartheta_4(\frac{u}{2K})}\tag{20}\end{equation}と定義して全く同様の議論をすればよいです。
３つのヤコビの楕円関数は、テータ関数を用いて次のように定義される。\begin{align}\sn (u,k) &=\frac{\vartheta_3(\tau)}{\vartheta_2(\tau)}\frac{\vartheta_1\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}{\vartheta_4\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}\\\cn (u,k) &=\frac{\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_2(\tau)}\frac{\vartheta_2\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}{\vartheta_4\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}\\\dn (u,k) &=\frac{\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_3(\tau)}\frac{\vartheta_3\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}{\vartheta_4\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}\end{align}またこれらに関する便利なパラメータを\begin{align}k^{1/2}&=\frac{\vartheta_2}{\vartheta_3}\\k'^{~1/2}&=\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\\2K&=\pi\vartheta_3^{~2}\\2iK' &=\pi\vartheta_3^{~2}\tau\end{align}と定める。
定義2から $q=e^{\pi i\tau}$ について\begin{align}\begin{split}\left(\frac{2K}{\pi}\right)^{1/2} &=\vartheta_3=1+2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}\\\left(\frac{2kK}{\pi}\right)^{1/2} &=\vartheta_2=2q^{1/4}\sum_{n=0}^\infty q^{n(n+1)}\\\left(\frac{2k'K}{\pi}\right)^{1/2} &=\vartheta_4=1+2\sum_{n=1}^\infty (-1)^nq^{n^2}\\\frac{K'}{K}&=\frac{1}{\pi}\ln\frac{1}{q}\end{split}\tag{21}\end{align}
字数もそこそこなので今日はここまで。
第５版です。いわずと知れた名著。楕円関数にかなりのページを割いています。
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