「ガンマ関数の基礎」第4回です．これまでの記事はこちら：
【γ1】ガンマ関数の定義・特殊値・解析接続・留数（ガンマ関数の基礎1）
【γ2】ガンマ関数の３つの乗積表示と相反公式（ガウス・オイラー・ワイエルシュトラス）
【γ3】ベータ関数の定義・ガンマ関数との関係・三角関数での積分表示
過去記事の内容から，本記事に必要な予備知識を挙げておきます．まず２つの関数の定義
\begin{equation}\G(z)=\int^\infty_0e^{-t}t^{z-1}dt\quad(\mathfrak{R}z>0)\tag{1}\end{equation}
\begin{equation}B(x,y)=\int^1_0t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\quad(\mathfrak{R}x,\mathfrak{R}y>0)\tag{2}\end{equation}
これらは密接に関係しており，以下の式が成立します．
\begin{equation}B(x,y)=\frac{\G(x)\G(y)}{\G(x+y)}\tag{3}\end{equation}
またベータ関数についての以下の公式も使います．
\begin{equation}B(x,y)=2\int^\frac{\pi}{2}_0\sin^{2x-1}\t\cos^{2y-1}\t d\t\tag{4}\end{equation}
最後にガンマ関数の乗積表示
\begin{equation}\G(z)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^z}{\prod_{k=0}^n(z+k)}\tag{5}\end{equation}
を確認して本題に入りましょう．
本記事では、下記の本を参考にしています。2021年8月現在、第30刷。かなりの廉価ながら特殊関数に関する公式が網羅されています。参照用にするもよし、公式の証明にトライするもよし。
【Amazon】特殊函数 (岩波 数学公式 3)
ベータ関数は２つの引数をもちますが，ともに $z$ とすると\begin{equation}B(z,z)=\frac{\G(z)\G(z)}{\G(2z)}\tag{6}\end{equation}また(4)より\begin{eqnarray*}B(z,z)&=&2\int^\frac{\pi}{2}_0\sin^{2z-1}\t\cos^{2z-1}\t d\t\\&=&\frac{2}{2^{2z-1}}\int^\frac{\pi}{2}_0\sin^{2z-1}2\t d\t\\&=&\frac{1}{2^{2z-1}}\int^\pi_0\sin^{2z-1}\phi d\phi\quad(2\t=\phi)\\&=&\frac{2}{2^{2z-1}}\int^\frac{\pi}{2}_0\sin^{2z-1}\phi d\phi\\&=&\frac{1}{2^{2z-1}}B\left(z,\frac{1}{2}\right)\quad(\because(4))\\&=&\frac{1}{2^{2z-1}}\frac{\G(z)\sqrt{\pi}}{\G(z+\frac{1}{2})}\end{eqnarray*}(6)と比べて$$\frac{\G(z)\G(z)}{\G(2z)}=\frac{1}{2^{2z-1}}\frac{\G(z)\sqrt{\pi}}{\G(z+\frac{1}{2})}$$したがって以下の式が成立します．
Legendre duplication formula\begin{equation}\G(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\G(z)\G\left(z+\frac{1}{2}\right)\tag{7}\end{equation}
別の導出方法はこちら：
以下の計算をパッと見ると頭が変になりそうですが，やっていることは難しくありません．
(5)より\begin{eqnarray*}\G\left(z+\frac{k}{n}\right)&=&\displaystyle\lim_{m\to\infty}\frac{m!m^{z+\frac{k}{n}-1}}{(z+\frac{k}{n})(z+\frac{k}{n}+1)\cdots(z+\frac{k}{n}+m-1)}\\&=&\displaystyle\lim_{m\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi m}(\frac{m}{e})^mm^{z+\frac{k}{n}-1}}{(z+\frac{k}{n})(z+\frac{k}{n}+1)\cdots(z+\frac{k}{n}+m-1)}\quad(\mathrm{Stirlingの公式})\\&=&\displaystyle\lim_{m\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi}(\frac{mn}{e})^mm^{z+\frac{k}{n}-\frac{1}{2}}}{(nz+k)(nz+k+n)\cdots(nz+k+mn-n)}\end{eqnarray*}これを $k=0$ から $n-1$ までかけます．\begin{eqnarray*}\prod_{k=0}^{n-1}\G\left(z+\frac{k}{n}\right)&=&\displaystyle\lim_{m\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi}(\frac{mn}{e})^mm^{z-\frac{1}{2}}}{(nz)(nz+n)\cdots(nz+mn-n)}\;(\leftarrow k=0)\\&&\times\displaystyle\lim_{m\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi}(\frac{mn}{e})^mm^{z+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}}}{(nz+1)(nz+1+n)\cdots(nz+1+mn-n)}\;(\leftarrow k=1)\\&&\times\displaystyle\lim_{m\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi}(\frac{mn}{e})^mm^{z+\frac{2}{n}-\frac{1}{2}}}{(nz+2)(nz+2+n)\cdots(nz+2+mn-n)}\;(\leftarrow k=2)\\&&\quad\vdots\\&&\times\displaystyle\lim_{m\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi}(\frac{mn}{e})^mm^{z+\frac{n-1}{n}-\frac{1}{2}}}{(nz+n-1)(nz+n-1+n)\cdots(nz+n-1+mn-n)}\;(\leftarrow k=n-1)\\&=&\displaystyle\lim_{m\to\infty}\frac{(\sqrt{2\pi})^n(\frac{mn}{e})^{mn}m^{nz-\frac{n}{2}+\frac{n-1}{2}}}{(nz)(nz+1)\cdots(nz+mn-1)}\\&=&(2\pi)^\frac{n}{2}\displaystyle\lim_{m\to\infty}\frac{(\frac{mn}{e})^{mn}m^{nz-\frac{1}{2}}}{(nz)(nz+1)\cdots(nz+mn-1)}\\&=&(2\pi)^\frac{n}{2}n^{-nz+\frac{1}{2}}\displaystyle\lim_{m\to\infty}\frac{(\frac{mn}{e})^{mn}(mn)^{nz-\frac{1}{2}}}{(nz)(nz+1)\cdots(nz+mn-1)}\\&=&(2\pi)^\frac{n}{2}\frac{\sqrt{n}}{n^{nz}}\displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{(\frac{N}{e})^{N}N^{nz-\frac{1}{2}}}{(nz)(nz+1)\cdots(nz+N-1)}\;(nm=N)\\&=&(2\pi)^\frac{n-1}{2}\frac{\sqrt{n}}{n^{nz}}\displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi N}(\frac{N}{e})^{N}N^{nz-1}}{(nz)(nz+1)\cdots(nz+N-1)}\\&=&(2\pi)^\frac{n-1}{2}\frac{\sqrt{n}}{n^{nz}}\displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{N!N^{nz-1}}{(nz)(nz+1)\cdots(nz+N-1)}\quad(\because\mathrm{Stirling})\\&=&(2\pi)^\frac{n-1}{2}\frac{\sqrt{n}}{n^{nz}}\G(nz)\end{eqnarray*}途中，$m$ にかえて $N$ の極限をとっています．$m$ は極限をとるための変数であり，$n$ は先に固定されている数であることに注意します．以上より次の公式を得ます．
Gauss's multiplication formula\begin{equation}\G(nz)=\frac{n^{nz}}{(2\pi)^\frac{n-1}{2}\sqrt{n}}\prod_{k=0}^{n-1}\G\left(z+\frac{k}{n}\right)\tag{8}\end{equation}
結構テクニカルですね．
倍数公式(7)と見比べると，(8)はその一般化であると分かります．$n=2$ とすると(7)になります．
$$\frac{3^{3s}}{2}\frac{\G(3s)\G(4s+\frac{2}{3})}{\G(6s)\G(s+\frac{2}{3})}=\frac{\sqrt{\pi}\G(2s+\frac{5}{6})}{\G(s+\frac{1}{2})\G(s+\frac{5}{6})}$$を示せ。
$\G(6s)$ , $\G(3s)$ に対してガウスの乗法公式をそれぞれ6倍、3倍として用います。$\G(4s+\frac{2}{3})$ にはルジャンドルの倍数公式で $\G(2s+\frac{1}{3})\G(2s+\frac{5}{6})$ の形にした後、 $\G(2s+\frac{1}{3})$ には再度、倍数公式を適用します。終わったらたくさん約分ができて、完成です。
$$\int_0^1\frac{x^{-\frac{3}{4}}(1-x)^{-\frac{1}{4}}}{1+a\sqrt{x(1-x)}}dx=\frac{2\pi}{\sqrt{2+a}}$$を示せ。
\begin{eqnarray*}\int_0^1\frac{x^{-\frac{3}{4}}(1-x)^{-\frac{1}{4}}}{1+a\sqrt{x(1-x)}}dx &=& \int_0^1x^{-\frac{3}{4}}(1-x)^{-\frac{1}{4}}\sum_{n=0}^\infty\left(-ax^\frac{1}{2}(1-x)^\frac{1}{2}\right)^n dx \\ &=& \sum_{n=0}^\infty(-a)^n\int_0^1x^{\frac{n}{2}-\frac{3}{4}}(1-x)^{\frac{n}{2}-\frac{1}{4}}dx\\ &=& \sum_{n=0}^\infty(-a)^n\frac{1}{n!}\G\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{4}\right)\G\left(\frac{n}{2}+\frac{3}{4}\right)\\&&\hskip 10em\quad(\because \mathrm{Beta\: function}) \\ &=& \sum_{n=0}^\infty(-a)^n\frac{1}{n!}2^{\frac{1}{2}-n}\sqrt{\pi}\G\left(n+\frac{1}{2}\right)\\&&\hskip 10em\quad(\because\mathrm{duplication\: formula})\\ &=& \sqrt{2}\pi\sum_{n=0}^\infty \frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}\left(-\frac{a}{2}\right)^n \\ &=& \sqrt{2}\pi\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{2}}} \\ &=&\frac{2\pi}{\sqrt{2+a}}\end{eqnarray*}
次回：
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