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【γ11】ガンマ関数の積分表示導出①(ハンケルとか)

「ガンマ関数の基礎」シリーズ第11回は積分表示です。本シリーズではそもそもガンマ関数を積分表示で定義しています。Γ(z)=0ettz1dt(Rz>0)これを第1番目の積分表示として、今回は以下の表式を取り上げます。

テーマ

n 階導関数の積分表示Γ(n)(z)=0ettz1(logt)ndt(Rz>0)指数の変換Γ(z)=sz0esttz1dt(s>0,Rz>0)オイラーによる表示Γ(z)=10(log1x)z1dx(Rz>0)

ハンケルの積分表示3つΓ(z)=eiπz2isinπzCettz1dt(zZ)Γ(z)=12isinπzCet(t)z1dt(zZ)1Γ(z)=i2πCet(t)zdt※ 経路 C はハンケル積分路

上3つは簡単です(極限操作等の細かいことを気にしなければ)。その下は複素積分であらわされていますので、少々手が込んでいます。


前回の記事はこちら。本記事とあまり関連ありません。

【γ10】ポリガンマ関数の値、極、級数表示、ゼータ関数との関係(ガンマ関数の基礎シリーズ10)


n階導関数の積分表示

(1)を1回微分すると、指数関数の微分を意識してΓ(z)=0ettz1(logt)dtとなります。繰り返すと(2)を得ます。

指数を変換した表示

(1)において正の実数 s に対して t=sx と置換するとΓ(z)=0esx(sx)z1sdxとなって(3)を得ます。

オイラーによる表示

Whittaker&Watsonによると(4)式は1730年にオイラーが示したものらしいです。右辺の積分で log1x=t とおけば0tz1(et)dtとなってガンマ関数に等しいことが示されました。

古いですが有名な書物で、どんどん改訂版が出ています。前半は解析学一般、後半は特殊関数という内容で、網羅的に勉強できます。演習問題に解答がないのが昔ながらのものって感じ。2022/11/6現在、最新版は5th Editionで私も所有していますが、廉価な3rdとかでも十分かと。


A Course of Modern Analysis: fifth Edition


A Course of Modern Analysis: Third Edition

ハンケルの積分表示

今日のメインです。複素平面におけるハンケル積分路 C は、実軸上の点 R から実軸に沿って原点をまわり、 また実軸に沿って R に戻るものです。そして R とします。

図1

この積分路を次のように変更しても(5)や(6)の積分値は変わりません。C1 , C3 は実軸ぎりぎりに沿わせ C3 は半径 ϵ の小さな円を描きます。

図2

これから考える被積分関数 ettz1 は、t の偏角が 02π へ変化すると値が元に戻りません。よって原点回りにピッタリ1回転させるのは避けねばならないのです。

その1

Cettz1dtなる積分を考えます。C=C1+C2+C3より3つの経路に分けて考えます。t の偏角は 0 から 2π までとるとします。つまり t=reiθ とおいたとき 0<θ<2π です。

まず C1 について。θ=+0 なのでt=r です。r0 と変化します。よってC1ettz1dt=0errz1drガンマ関数の定義を思い起こせばC1ettz1dt=Γ(z)

次に C2 です。t=ϵeiθ とおいて θ02π と変化させます。よってC2ettz1dt=2π0eϵ(cosθ+isinθ)(ϵeiθ)z1iϵeiθdθ=iϵz2π0eϵ(cosθ+isinθ)eiθzdθϵ00

最後に C3 です。θ=2π なのでt=re2πi です。r0 と変化します。よってC3ettz1dt=0er(re2πi)z1e2πidr=0errz1e2πizdr=e2πizΓ(z)

さて、3つの経路をつなぎましょう。Cettz1dt=Γ(z)+0+e2πizΓ(z)Γ(z)=1e2πiz1Cettz1dtこれでおわりでもいいのですが、次のように変形することもあります。1e2πiz1=eπizeπizeπiz=eπiz2isinπz以上からハンケルの積分表示その1が示されました!

Γ(z)=eiπz2isinπzCettz1dt(zZ)

その2

Cet(t)z1dtなる積分を考えます。C=C1+C2+C3より3つの経路に分けて考えます。今回は t=reiθ なる置換をします。t の平面を考えると図2と原点対称の経路になりますのでt の偏角 θπ から π までとることになります。

図3:t の経路

まず C1 です。θ=π なのでt=reiπ です。r0 と変化します。よってC1et(t)z1dt=0er(reiπ)z1(eiπdr)=0errz1eiπzdr=eiπzΓ(z)

次に C2t=ϵeiθ として θπ から π まで積分します。 「その1」と同様 0 に収束します。

最後は C3 です。θ=π なのでt=reiπ です。r0 から へ変化します。よってC3et(t)z1dt=0er(reiπ)z1(eiπdr)=0errz1eiπzdr=eiπzΓ(z)

以上からCet(t)z1dt=eiπzΓ(z)+0eiπzΓ(z)式を変形すると以下のような2つめのハンケル表示ができます!

Γ(z)=12isinπzCet(t)z1dt(zZ)

その3(相反公式による)

(8)で z1z を代入するとΓ(1z)=12isinπzCet(t)zdtガンマ関数の相反公式Γ(z)Γ(1z)=πsinπzによって

1Γ(z)=i2πCet(t)zdt

これが最後のハンケル表示です。ちなみに相反公式の導出については次の記事をご参照:

【γ2】ガンマ関数の3つの乗積表示と相反公式(ガウス・オイラー・ワイエルシュトラス)

練習

ハンケルの表示1Γ(z)=i2πCet(t)zdtを用いて Γ(1/2) が求まるか確認せよ。

t=xeiθ の形に置換し、図3の経路をとります。C2 の経路は ϵ0 でゼロになることがすぐに分かります。Cet(t)12dt=0ex(xeiπ)12eiπdx0ex(xeiπ)12eiπdx=i0exx12dxi0exx12dx=2i0exx12dx=2πiしたがって1Γ(1/2)=i2π(2πi)=1πΓ(1/2)=π

練習2

ハンケルの表示1Γ(z)=i2πCet(t)zdtにおいて、経路 C を次のように定める。++i より出発し、実軸に平行に進み i に至る(C1)。原点回りを半周して i に至る(C2)。実軸に沿って +i へ進む(C3)。z=32 のとき、この積分を数値計算して Γ(3/2)=4π3 であることを確かめよ。

C1t=xi , C2t=eiθ , C3t=x+i と置換するとCet(t)32dt=0exi(xi)32dxiπ2π2eeiθ(e32iθ)eiθdt0ex+i(x+i)32dx=ei0ex(xi)32dxiπ2π2eeiθe52iθdtei0ex(x+i)32dx=iπ2π2eeiθe52iθdt+2iImei0ex(x+i)32dx0.780136i3.43882i=2.65868iしたがってi2πCet(t)32dt0.42314234π

以上で冒頭の6つの積分表示を導出できました!なおハンケル積分路による積分はゼータ関数など多くの特殊関数の解析接続に使われるなど、応用性があるので、手を動かして練習するのがおすすめです!

次の記事はシリーズとは独立しています。高校数学で理解できる2本立て:

ガンマ関数の基礎シリーズの次回はこちら!:

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