実数論の練習問題

【解答】まず $x=y$ とすると $|x-y|=0<\epsilon$. である。
次にその逆を示す。$\forall\epsilon>0\;,\;|x-y|<\epsilon$ のとき、$x\neq y$ と仮定すると2数の差は実数 $r$ を用いて$$|x-y|=r>0$$と書ける。すると $\epsilon=r$ とおけば$$|x-y|\ge\epsilon$$となって前提に矛盾。よって $x=y$．【解答終】

【解答】有理数の集合 $A$ を次で定める。\begin{equation}A:=\{r\in\QQ_{\ge0}|r^2>x\}\tag{1}\end{equation}$x$ はすでに定められた数であり、$A$ は下に有界である。よって$A$ は下限をもつ。下限は有理数とは限らないことに注意して\begin{equation}\inf A=m\in\RR_{> 0}\tag{2}\end{equation}と書ける。

$m^2>x$ と仮定する。\begin{equation}\epsilon:=\min\left\{\frac{m^2-x}{2m},m\right\}\tag{3}\end{equation}と定義すると明らかに $0<\epsilon\le m$ であり\begin{equation}\epsilon\le\frac{m^2-x}{2m}\Longrightarrow x\le m^2-2m\epsilon<(m-\epsilon)^2\tag{4}\end{equation}有理数の稠密性より $a\in\QQ$ が存在して $0\le m-\epsilon<a<m$ が成り立つが、(4)より$$x<(m-\epsilon)^2<a^2<m^2$$である。しかしこれでは $a$ が $A$ の要素となってしまい、下限 $m$ であることに矛盾する。\begin{equation}\therefore\quad m^2\le x<y\tag{5}\end{equation}

さて、実数 $\delta$ を次のように定める。\begin{equation}\delta:=\min\left\{\frac{y-m^2}{2m+1},1\right\}\tag{6}\end{equation}(5)(6)より $0<\delta\le 1$ であることに留意して$$m^2+2m\delta+\delta^2\le m^2+2m\delta+\delta\le y$$\begin{equation}\therefore\quad (m+\delta)^2\le y\tag{7}\end{equation}下限の性質から$$\exists r\in A\quad\mathrm{s.t.}\quad m<r<m+\delta$$（そうでないと、$m+\delta$ が新たな下限になってしまうので）。$$\therefore\quad x<r^2<(m+\delta)^2\le y$$以上から$$\exists r\in\QQ\quad\mathrm{s.t.}\quad x<r^2<y$$が示された。【解答終】

【解答】有理数の集合 $A$ を次で定める。\begin{equation}A:=\{r\in\QQ_{\ge0}|r^3>x\}\tag{1}\end{equation}$A$ は下に有界であるので下限 $m$ をもつ。\begin{equation}\inf A=m\in\RR_{> 0}\tag{2}\end{equation}

$m^3>x$ と仮定する。\begin{equation}\epsilon:=\min\left\{\frac{m^3-x}{3m^2+1},1\right\}\tag{3}\end{equation}と定義すると $0<\epsilon\le 1$ であり\begin{eqnarray}\epsilon&\le&\frac{m^3-x}{3m^2+1}\\\Longrightarrow x&\le& m^3-3m^2\epsilon-\epsilon\\&<&m^3-3m^2\epsilon+3m\epsilon^2-\epsilon^3\\&=&(m-\epsilon)^3<m^3\tag{4}\end{eqnarray}有理数の稠密性より $a\in\QQ$ が存在して $m-\epsilon<a<m$ が成り立つが、(4)より$$x<(m-\epsilon)^3<a^3<m^3$$である。しかしこれでは $a\in A$ ということになってしまい、下限が $m$ であることに矛盾する。\begin{equation}\therefore\quad m^3\le x<y\tag{5}\end{equation}

次に実数 $\delta$ を次のように定める。\begin{equation}\delta:=\min\left\{\frac{y-m^3}{3m^2+3m+1},1\right\}\tag{6}\end{equation}(5)(6)より $0<\delta\le 1$ であることに留意して\begin{eqnarray}\delta&\le&\frac{y-m^3}{3m^2+3m+1}\\\Longrightarrow y&\ge& m^3+3m^2\delta+3m\delta+\delta\\&\ge&m^3+3m^2\delta+3m\delta^2+\delta^3\\&=&(m+\delta)^3\end{eqnarray}\begin{equation}\therefore\quad (m+\delta)^3\le y\tag{7}\end{equation}下限の性質から$$\exists r\in A\quad\mathrm{s.t.}\quad m<r<m+\delta$$$$\therefore\quad x<r^3<(m+\delta)^3\le y$$以上から$$\exists r\in\QQ\quad\mathrm{s.t.}\quad x<r^3<y$$が示された。【解答終】