前回の記事：
Anger関数とWeber関数①(sinやcosの中にsinがある積分)
ではAnger関数 $\mathbf{J}_\nu(z)$ とWeber関数 $\mathbf{E}_\nu(z)$ の積分による定義\begin{eqnarray}\mathbf{J}_\nu(z) &=& \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos(\nu\t-z\sin\t)d\t\tag{1}\\ \mathbf{E}_\nu(z) &=& \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin(\nu\t-z\sin\t)d\t\tag{2}\end{eqnarray}を紹介し、級数表示を得ました。\begin{eqnarray}\mathbf{J}_\nu(z) &=& \frac{\sin\nu\pi}{\nu\pi}{}_1F_2\left[\begin{matrix}1\\1-\frac{\nu}{2},1+\frac{\nu}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\&&+\frac{\sin\nu\pi}{(1-\nu^2)\pi}z\;{}_1F_2\left[\begin{matrix}1\\\frac{3-\nu}{2},\frac{3+\nu}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\tag{3}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\mathbf{E}_\nu(z) &=& \frac{1-\cos\nu\pi}{\nu\pi}{}_1F_2\left[\begin{matrix}1\\1-\frac{\nu}{2},1+\frac{\nu}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\&&-\frac{1+\cos\nu\pi}{(1-\nu^2)\pi}z\;{}_1F_2\left[\begin{matrix}1\\\frac{3-\nu}{2},\frac{3+\nu}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\tag{4}\end{eqnarray}$\mathbf{J}_\nu(z)$ と $\mathbf{E}_\nu(z)$ は $z$ 平面全体で定義され、$\nu$ もすべての実数で使えます。
今回はこれらの関数を扱う第2回です。$\mathbf{J}_\nu(z)$ と $\mathbf{E}_\nu(z)$ が満たす微分方程式を紹介します。
$\mathbf{J}_\nu(z)$ は\begin{equation}y''+\frac{1}{z}y'+\left(1-\frac{\nu^2}{z^2}\right)y=\frac{\sin\nu\pi}{\pi}\left(\frac{1}{z}-\frac{\nu}{z^2}\right)\tag{5}\end{equation}の特殊解である。また $\mathbf{E}_\nu(z)$ は\begin{equation}y''+\frac{1}{z}y'+\left(1-\frac{\nu^2}{z^2}\right)y=-\frac{1+\cos\nu\pi}{\pi z}-\frac{\nu(1-\cos\nu\pi)}{\pi z^2}\tag{6}\end{equation}の特殊解である。
両関数の漸化式を作り、うまく利用して(5)(6)を示しましょう。
本題に入る前に。過去に常微分方程式シリーズ（全20回）で、ベッセルの微分方程式を扱っています。
ベッセルの微分方程式は斉次2階線型微分方程式であり、\begin{equation}y''+\frac{1}{z}y'+\left(1-\frac{\nu^2}{z^2}\right)y=0\tag{7}\end{equation}と表されます。(5)(6)と比べると、左辺は同じで右辺が異なっています。(5)(6)は右辺に $z$ の関数が加わっており、非斉次2階線型微分方程式とよばれます。つまりAnger関数とWeber関数は、ベッセルの微分方程式の非斉次バージョンの解の１つといえます。なお(5)は $\nu$ が整数のときに右辺がゼロとなり、ベッセルの微分方程式(7)と一致します。これは整数次のAnger関数が第1種ベッセル関数と等しいこと $\mathbf{J}_n(z)=J_n(z)$ に対応しています（前回記事）。
Anger関数 $\mathbf{J}_\nu(z)$ の定義式(1)を再掲します。$$\mathbf{J}_\nu(z) = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos(\nu\t-z\sin\t)d\t$$$z$ について微分すると$$\mathbf{J}'_\nu(z) = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin(\nu\t-z\sin\t)\sin\t d\t$$三角関数の積和の公式から$$\mathbf{J}'_\nu(z) =\frac{-1}{2\pi}\int_0^\pi\left[\cos((\nu+1)\t-z\sin\t)-\cos((\nu-1)\t-z\sin\t)\right]d\t$$$$\therefore\quad\mathbf{J}_{\nu-1}(z)-\mathbf{J}_{\nu+1}(z)=2\mathbf{J}'_\nu(z)$$また\begin{eqnarray*}\frac{d}{d\t}\sin(\nu\t-z\sin\t)&=&\nu\cos(\nu\t-z\sin\t)\\&&\quad-\frac{z}{2}\Bigl[\cos((\nu+1)\t-z\sin\t)+\cos((\nu-1)\t-z\sin\t)\Bigr]\end{eqnarray*}が成り立つことから、これを $0$ から $\pi$ まで積分することにより$$\frac{\sin\pi\nu}{\pi}=\nu\mathbf{J}_\nu(z)-\frac{z}{2}\Bigl(\mathbf{J}_{\nu+1}(z)+\mathbf{J}_{\nu-1}(z)\Bigr)$$$$\therefore\quad\mathbf{J}_{\nu-1}(z)+\mathbf{J}_{\nu+1}(z)=\frac{2\nu}{z}\mathbf{J}_{\nu}(z)-\frac{2\sin\nu\pi}{\pi z}$$すぐ上で求めた式と連立させ、$\mathbf{J}_{\nu+1}(z)$ または $\mathbf{J}_{\nu-1}(z)$ を消した式が作れます。以上をまとめると
\begin{equation}\mathbf{J}_{\nu-1}(z)-\mathbf{J}_{\nu+1}(z)=2\mathbf{J}'_\nu(z)\tag{8}\end{equation}\begin{equation}\mathbf{J}_{\nu-1}(z)+\mathbf{J}_{\nu+1}(z)=\frac{2\nu}{z}\mathbf{J}_{\nu}(z)-\frac{2\sin\nu\pi}{\pi z}\tag{9}\end{equation}\begin{equation}\mathbf{J}_{\nu-1}(z)=\frac{\nu}{z}\mathbf{J}_{\nu}(z)+\mathbf{J}'_{\nu}(z)-\frac{\sin\nu\pi}{\pi z}\tag{10}\end{equation}\begin{equation}\mathbf{J}_{\nu+1}(z)=\frac{\nu}{z}\mathbf{J}_{\nu}(z)-\mathbf{J}'_{\nu}(z)-\frac{\sin\nu\pi}{\pi z}\tag{11}\end{equation}
(8)(9)より\begin{equation}\mathbf{J}'_\nu(z)=\frac{\nu}{z}\mathbf{J}_\nu(z)-\mathbf{J}_{\nu+1}(z)-\frac{\sin\nu\pi}{\pi z}\tag{12}\end{equation}再度微分します。ポイントは(8)～(12)を適宜用いて $\mathbf{J}_\nu(z)$ と $\mathbf{J}_{\nu+1}(z)$ のみを残すことです。\begin{eqnarray*}\mathbf{J}''_\nu&=&\frac{\nu}{z}\mathbf{J}'_\nu-\frac{\nu}{z^2}\mathbf{J}_\nu+\frac{\sin\nu\pi}{\pi z^2}-\mathbf{J}'_{\nu+1}\\&=&\frac{\nu(\nu-1)}{z^2}\mathbf{J}_\nu+\frac{(1-\nu)\sin\nu\pi}{\pi z^2}-\frac{2\nu+1}{z}\mathbf{J}_{\nu+1}-\frac{\sin\nu\pi}{\pi z}+\mathbf{J}_{\nu+2}\quad(\because(12))\\ &=& \frac{\nu(\nu-1)}{z^2}\mathbf{J}_\nu+\frac{(1-\nu)\sin\nu\pi}{\pi z^2}+\frac{1}{z}\mathbf{J}_{\nu+1}+\frac{\sin\nu\pi}{\pi z}-\mathbf{J}_\nu\quad(\because(9))\end{eqnarray*}\begin{equation}\mathbf{J}''_\nu=\frac{1}{z}\mathbf{J}_{\nu+1}+\left(\frac{\nu(\nu-1)}{z^2}-1\right)\mathbf{J}_\nu+\frac{(1-\nu)\sin\nu\pi}{\pi z^2}+\frac{\sin\nu\pi}{\pi z}\tag{13}\end{equation}(12)(13)を用いると$$\mathbf{J}''_\nu+\frac{1}{z}\mathbf{J}'_\nu+\left(1-\frac{\nu^2}{z^2}\right)\mathbf{J}_\nu=\frac{\sin\nu\pi}{\pi}\left(\frac{1}{z}-\frac{\nu}{z^2}\right)$$が成立します。よって
Anger関数 $\mathbf{J}_\nu(z)$ は\begin{equation}y''+\frac{1}{z}y'+\left(1-\frac{\nu^2}{z^2}\right)y=\frac{\sin\nu\pi}{\pi}\left(\frac{1}{z}-\frac{\nu}{z^2}\right)\tag{14}\end{equation}の特殊解である。
Weber関数 $\mathbf{E}_\nu(z)$ の定義式(2)を再掲します。$$\mathbf{E}_\nu(z) = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin(\nu\t-z\sin\t)d\t$$以後Anger関数と全く同様の手順を踏みます。$z$ について微分すると$$\mathbf{E}'_\nu(z) = \frac{-1}{\pi}\int_0^\pi\cos(\nu\t-z\sin\t)\sin\t d\t$$三角関数の積和の公式によって$$\therefore\quad\mathbf{E}_{\nu-1}(z)-\mathbf{E}_{\nu+1}(z)=2\mathbf{E}'_\nu(z)$$また\begin{eqnarray*}\frac{d}{d\t}\cos(\nu\t-z\sin\t)&=&-\nu\sin(\nu\t-z\sin\t)\\&&\quad+\frac{z}{2}\Bigl[\sin((\nu+1)\t-z\sin\t)+\sin((\nu-1)\t-z\sin\t)\Bigr]\end{eqnarray*}が成り立つことから、これを $0$ から $\pi$ まで積分することにより$$\therefore\quad\mathbf{E}_{\nu-1}(z)+\mathbf{E}_{\nu+1}(z)=\frac{2\nu}{z}\mathbf{E}_{\nu}(z)-\frac{2(1-\cos\nu\pi)}{\pi z}$$すぐ上で求めた式と連立させ、$\mathbf{E}_{\nu+1}(z)$ または $\mathbf{E}_{\nu-1}(z)$ を消した式が作れます。以上をまとめると
\begin{equation}\mathbf{E}_{\nu-1}(z)-\mathbf{E}_{\nu+1}(z)=2\mathbf{E}'_\nu(z)\tag{15}\end{equation}\begin{equation}\mathbf{E}_{\nu-1}(z)+\mathbf{E}_{\nu+1}(z)=\frac{2\nu}{z}\mathbf{E}_{\nu}(z)-\frac{2(1-\cos\nu\pi)}{\pi z}\tag{16}\end{equation}\begin{equation}\mathbf{E}_{\nu-1}(z)=\frac{\nu}{z}\mathbf{E}_{\nu}(z)+\mathbf{E}'_{\nu}(z)-\frac{1-\cos\nu\pi}{\pi z}\tag{17}\end{equation}\begin{equation}\mathbf{E}_{\nu+1}(z)=\frac{\nu}{z}\mathbf{E}_{\nu}(z)-\mathbf{E}'_{\nu}(z)-\frac{1-\cos\nu\pi}{\pi z}\tag{18}\end{equation}
(15)~(18)はAnger関数の(8)～(11)とほぼ同じ形をしています。同様に進めて$$\mathbf{E}''_\nu+\frac{1}{z}\mathbf{E}'_\nu+\left(1-\frac{\nu^2}{z^2}\right)\mathbf{E}_\nu=-\frac{1+\cos\nu\pi}{\pi z}-\frac{\nu(1-\cos\nu\pi)}{\pi z^2}$$が成立します。ポイントは漸化式を用いて左辺を $\mathbf{E}_\nu(z)$ と $\mathbf{E}_{\nu+1}(z)$ のみにしていくことです。
Weber関数 $\mathbf{E}_\nu(z)$ は\begin{equation}y''+\frac{1}{z}y'+\left(1-\frac{\nu^2}{z^2}\right)y=-\frac{1+\cos\nu\pi}{\pi z}-\frac{\nu(1-\cos\nu\pi)}{\pi z^2}\tag{19}\end{equation}の特殊解である。
というわけで目指していた結論を得ることができました！(14)(19)はMathematische Annalen第16巻に掲載されたLommelの"Zur theorie der Bessel'schen Functionen"(1880)にある式と一致しています。バッチリ。
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