本記事で扱う積分を次のように定義します。
\begin{align}I_n &:=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin nx\sin^nxdx\tag{0.1}\\J_n &:=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos nx\cos^nxdx\tag{0.2}\\K_n &:=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin nx\cos^nxdx\tag{0.3}\\L_n &:=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos nx\sin^nxdx\tag{0.4}\end{align}
積分の計算にはいくつかのアプローチがあります。
ベータ関数の逆数
こちらで示した、$s>0$ で成り立つ等式\begin{equation}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^{s-1}x\cos ax dx=\frac{\pi}{2^{s}sB(\frac{s+a+1}{2},\frac{s-a+1}{2})}\tag{1}\end{equation}はそのまま $J_n$ の値を導きます。すなわち\begin{equation}J_n=\frac{\pi}{2^{n+1}}\tag{2}\end{equation}同リンクに類似の公式があって $I_n,K_n,L_n$ へ結びつきそうですが、積分範囲が異なるため何らかの工夫が必要でしょう。例えば\begin{equation}\int_0^\pi\sin^{s-1}x\sin ax dx=\frac{\pi\sin\frac{\pi a}{2}}{2^{s-1}sB(\frac{s+a+1}{2},\frac{s-a+1}{2})}\tag{3}\end{equation}は $I_n$ に似ていますが、積分範囲が異なります。なので(3)左辺の区間を $[0,\frac{\pi}{2}]$ , $[\frac{\pi}{2},\pi]$ の2つに分けて後者で $y=\frac{\pi}{2}-x$ と置換すると\begin{equation}\int_0^\pi\sin^nx\sin nx dx=\begin{cases}0\quad(n:\mathrm{even})\\2\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\sin nx dx\quad(n:\mathrm{odd})\end{cases}\tag{4}\end{equation}(4)の右辺の下側は $I_n$ です。(3)と合わせて\begin{equation}I_{2n-1}=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2n}}\pi\tag{5}\end{equation}
$I_{2n-1}$ にはもう１つおもしろいアプローチがあります。(0.2)で $y=\frac{\pi}{2}-x$ なる置換を用いて $\cos$ の加法定理により\begin{equation}J_n=\cos\frac{n\pi}{2}L_n+\sin\frac{n\pi}{2}I_n\tag{6}\end{equation}よって(2)より\begin{equation}\cos\frac{n\pi}{2}L_n+\sin\frac{n\pi}{2}I_n=\frac{\pi}{2^{n+1}}\tag{7}\end{equation}$n$ を偶数・奇数それぞれ考えると(5)および\begin{equation}L_{2n}=\frac{(-1)^n}{2^{2n+1}}\pi\tag{8}\end{equation}を得ます。
脱線になりますが、(1)を使えば\begin{align}\tilde{J_n}&:=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos (n-1)x\cos^nxdx=\frac{2^n}{\binom{2n}{n}}\tag{9a}\\\hat{J_n}&:=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos nx\cos^{n-1}xdx=\frac{2^n}{n\binom{2n}{n}}\tag{9b}\end{align}とかも得られます。
二項定理の応用
話は全く変わって、例えば\begin{align}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}e^{2ikx} &=(1+e^{2ix})^n\\&=e^{inx}(e^{ix}+e^{-ix})^n\\&=2^ne^{inx}\cos^nx\end{align}\begin{equation}\therefore\quad e^{inx}\cos^nx=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}e^{2ikx}\tag{10}\end{equation}を利用することで$$\int_0^\frac{\pi}{2}e^{inx}\cos^nxdx =\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\int_0^\frac{\pi}{2}e^{2ikx}dx$$右辺の和では $k=0$ のときだけ結果が特別なので$$=\frac{1}{2^n}\left[\frac{\pi}{2}+\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\frac{e^{ik\pi}-1}{2ik}\right]$$\begin{equation}\therefore\quad\int_0^\frac{\pi}{2}e^{inx}\cos^nxdx=\frac{1}{2^{n+1}}\left(\pi+2i\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor}\binom{n}{2k-1}\frac{1}{2k-1}\right)\tag{11}\end{equation}(11)の実部をとれば(2)を得ます。虚部をとると\begin{equation}K_n=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin nx\cos^nxdx=\frac{1}{2^n}\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor}\binom{n}{2k-1}\frac{1}{2k-1}\tag{12}\end{equation}となりますが、右辺の形がきれいでないように感じます。そこで方針を転換します。
漸化式を用いた初等的方法
$\cos^n x$ などの積分は、難しいけれども漸化式をつくることで初等的に計算できました。今回も漸化式をつくれないでしょうか。まず $K_n$ でやってみましょう。$K_n$ を部分積分し$$K_n=\frac{1}{n}-\int_0^\frac{\pi}{2}\cos nx\cos^{n-1}x\sin xdx$$失敗のように見えるのですが、両辺に $K_n$ を足すと右辺の被積分関数で加法定理が使えて$$2K_n=\frac{1}{n}+K_{n-1}$$両辺に $2^{n-1}$ をかけると\begin{align}2^nK_n&=2^{n-1}K_{n-1}+\frac{2^{n-1}}{n}\\&=2^{n-2}K_{n-2}+\frac{2^{n-1}}{n}+\frac{2^{n-2}}{n-1}\\&\quad\vdots\\&=\sum_{k=1}^n\frac{2^{k-1}}{k}\quad(\because\; K_1=1/2)\end{align}したがって\begin{equation}K_n=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin nx\cos^nxdx=\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{k}\tag{13}\end{equation}これで $K_n$ が求まりました。(12)よりもきれいな形です。(12)(13)より副産物として\begin{equation}\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor}\binom{n}{2k-1}\frac{1}{2k-1}=\sum_{k=1}^n\frac{2^{k-1}}{k}\tag{14}\end{equation}なる等式を得ます。
ここまでで、定義１の積分をすべて計算したわけではありませんが、解法をいくつか見つけることができました。なかでも(13)を導出した方法が初等的で応用がきく感じがします。以下、気ままに残りを計算していきます。
二項定理による方法
とはいいながらも、(10)を導いた方法をもう1パターンやってみたい。つまり $(1-e^{2ix})^n$ の二項定理によって\begin{equation}e^{inx}\sin^nx=\frac{1}{(-2i)^n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-e^{2ix})^k\tag{15}\end{equation}となることから同様に$$(-2i)^n\int_0^\frac{\pi}{2}e^{inx}\sin^nxdx=\frac{\pi}{2}-i\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor}\binom{n}{2k-1}\frac{1}{2k-1}$$(14)が使えるので定義１も踏まえて\begin{equation}L_n+i I_n=\frac{i^n\pi}{2^{n+1}}-\frac{i^{n+1}}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{k}\tag{16}\end{equation}これで $L_n$ と $I_n$ は解決となります。$n$ を偶奇で分けるとよく、\begin{align}I_{2n}&=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}}\sum_{k=1}^{2n}\frac{2^k}{k}\tag{17}\\L_{2n}&=\frac{(-1)^n}{2^{2n+1}}\pi\tag{18}\\I_{2n-1}&=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2n}}\pi\tag{19}\\L_{2n-1}&=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2n}}\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{k}\tag{20}\end{align}(18)は(8)と、(19)は(5)と一致しています。
漸化式による方法
(13)を導出した方法がかなり良かったので、すでに計算済みではありますが $I_n$ も同様に求めてみます。部分積分により\begin{align}I_n &=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin nx\sin^nxdx\\&= -\frac{1}{n}\cos\frac{n\pi}{2}+\int_0^\frac{\pi}{2}\cos nx\sin^{n-1}x\cos xdx\end{align}両辺に $I_n$ を足して加法定理を使うと$$2I_n= -\frac{1}{n}\cos\frac{n\pi}{2}+\int_0^\frac{\pi}{2}\cos (n-1)x\sin^{n-1}xdx$$\begin{equation}\therefore\quad 2I_n=-\frac{1}{n}\cos\frac{n\pi}{2}+L_{n-1}\tag{21}\end{equation}よって残念ながら $I_n$ の漸化式になりません。しかしまったく同様のことを $L_n$ で行うと\begin{equation}2L_n=\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{2}-I_{n-1}\tag{22}\end{equation}(21)(22)より\begin{equation}I_n=-\frac{1}{2n}\cos\frac{n\pi}{2}+\frac{1}{4n-4}\sin\frac{n-1}{2}\pi-\frac{1}{4}I_{n-2}\tag{23}\end{equation}なる漸化式を得ることができます。両辺に $(2i)^n$ をかけると\begin{equation}(2i)^nI_n=(2i)^{n-2}I_{n-2}-\frac{(2i)^n}{2n}\cos\frac{n\pi}{2}+\frac{(2i)^n}{4n-4}\sin\frac{n-1}{2}\pi\tag{24}\end{equation}$n$ と $n-2$ の間の漸化式なので、偶奇で分けます。今回は偶数のみやります。\begin{align}(2i)^{2n}I_{2n}&=(2i)^{2n-2}I_{2n-2}-\frac{2^{2n}}{4n}-\frac{2^{2n}}{8n-4}\\&=(2i)^{2n-2}I_{2n-2}-\frac{2^{2n-1}}{2n}-\frac{2^{2n-2}}{2n-1}\\&=(2i)^{2n-4}I_{2n-4}-\frac{2^{2n-1}}{2n}-\frac{2^{2n-2}}{2n-1}-\frac{2^{2n-3}}{2n-2}-\frac{2^{2n-4}}{2n-3}\\&\quad\vdots\\&=(2i)^2 I_2-\frac{2^{2n-1}}{2n}-\frac{2^{2n-2}}{2n-1}-\cdots -\frac{2^2}{3}\end{align}$I_2=1/2$ なので\begin{equation}I_{2n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}}\sum_{k=1}^{2n}\frac{2^k}{k}\tag{25}\end{equation}となります。(17)とも一致しています。
漸化式による方法を応用して$$\tilde{I_n}:=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin (n-1)x\sin^nxdx$$$$\tilde{L_n}:=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos (n-1)x\sin^nxdx$$を計算します。
部分積分により$$\tilde{I_n}=-\frac{1}{n-1}\sin\frac{n\pi}{2}+\frac{n}{n-1}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos (n-1)x\sin^{n-1}x\cos xdx$$両辺に $\frac{n}{n-1}\tilde{I_n}$ を加えると\begin{equation}(2n-1)\tilde{I}_n = -\sin\frac{n\pi}{2}+n\tilde{L}_{n-1}\tag{26}\end{equation}これと同様の操作を $\tilde{L}_n$ においても行うと\begin{equation}(2n-1)\tilde{L}_n = -\cos\frac{n\pi}{2}-n\tilde{I}_{n-1}\tag{27}\end{equation}(26)(27)から\begin{equation}\tilde{I}_n=-\frac{3n-3}{(2n-1)(2n-3)}\sin\frac{n\pi}{2}-\frac{n(n-1)}{(2n-1)(2n-3)}\tilde{I}_{n-2}\tag{28}\end{equation}なる漸化式を得ます。初期条件は $\tilde{I}_2=2/3$ , $\tilde{I}_3=2/5$ です。同時に $\tilde{L}_n$ に関する漸化式もできますが省略します。
$n$ が偶数のときは、(28)は楽に計算できて\begin{equation}\tilde{I}_{2n}=(-1)^{n-1}\frac{(2n)!}{(4n-1)!!}\tag{29}\end{equation}あるいは\begin{equation}\tilde{I}_{2n}=(-1)^{n-1}\frac{2^{2n}}{\binom{4n}{2n}}\tag{30}\end{equation}$n$ が奇数のとき(28)は$$\tilde{I}_{2n-1}=(-1)^n\frac{6(n-1)}{(4n-3)(4n-5)}-\frac{(2n-1)(2n-2)}{(4n-3)(4n-5)}\tilde{I}_{2n-3}$$両辺に $\frac{(4n-3)!!}{(2n-1)!}(-1)^n$ をかけると$$\frac{(4n-3)!!}{(2n-1)!}(-1)^n\tilde{I}_{2n-1}=\frac{6(n-1)\cdot (4n-7)!!}{(2n-1)!}+\frac{(4n-7)!!}{(2n-3)!}(-1)^{n-1}\tilde{I}_{2n-3}$$この漸化式を繰り返し用いて $\tilde{I}_3=2/5$ により\begin{equation}\tilde{I}_{2n-1}=6(-1)^n\frac{(2n-1)!}{(4n-3)!!}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k\cdot (4k-3)!!}{(2k+1)!}\tag{30b}\end{equation}
次に$$\tilde{K_n}:=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin (n-1)x\cos^nxdx$$はどうでしょうか。部分積分をして $\frac{n}{n-1}\tilde{K}_n$ を加えると$$(2n-1)\tilde{K}_n=1+n\tilde{K}_{n-1}\quad(n\ge 3)$$を得ます。両辺に $\frac{(2n-3)!!}{n!}$ をかけると$$\frac{(2n-1)!!}{n!}\tilde{K}_n=\frac{(2n-3)!!}{n!}+\frac{(2n-3)!!}{(n-1)!}\tilde{K}_{n-1}$$この漸化式は繰り返し用いることができるので$$\frac{(2n-1)!!}{n!}\tilde{K}_n=\frac{(2n-3)!!}{n!}+\frac{(2n-5)!!}{(n-1)!}+\cdots +\frac{3!!}{3!}+\frac{3!!}{2!}\tilde{K}_2$$右辺最終項には $\tilde{K}_2=1/3$ を用います。すると$$\frac{(2n-1)!!}{n!}\tilde{K}_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(2k-1)!!}{(k+1)!}$$少々変形すれば\begin{equation}\tilde{K}_n=\frac{2^n}{\binom{2n}{n}}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\binom{2k}{k}}{(k+1)2^k}\tag{31}\end{equation}
まだやれることはありますが、以降もだいたい似た感じで計算できそうですので、ここまでにします。導出したものをまとめると
\begin{align}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos nx\cos^nxdx&=\frac{\pi}{2^{n+1}}\\\int_0^\frac{\pi}{2}\cos (n-1)x\cos^nxdx&=\frac{2^n}{\binom{2n}{n}}\\\int_0^\frac{\pi}{2}\cos nx\cos^{n-1}xdx&=\frac{2^n}{n\binom{2n}{n}}\\\int_0^\frac{\pi}{2}\sin 2nx\sin^{2n}xdx&=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}}\sum_{k=1}^{2n}\frac{2^k}{k}\\\int_0^\frac{\pi}{2}\sin (2n-1)x\sin^{2n-1}xdx&=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2n}}\pi\\\int_0^\frac{\pi}{2}\sin (2n-1)x\sin^{2n}xdx&=(-1)^{n-1}\frac{2^{2n}}{\binom{4n}{2n}}\\\int_0^\frac{\pi}{2}\sin 2nx\sin^{2n+1}xdx&=6(-1)^{n+1}\frac{(2n+1)!}{(4n+1)!!}\sum_{k=1}^{n}\frac{k\cdot (4k-3)!!}{(2k+1)!}\\\int_0^\frac{\pi}{2}\sin nx\cos^nxdx &=\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{k}\\\int_0^\frac{\pi}{2}\sin (n-1)x\cos^nxdx&=\frac{2^n}{\binom{2n}{n}}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\binom{2k}{k}}{(k+1)2^k}\\\int_0^\frac{\pi}{2}\cos 2nx\sin^{2n}xdx&=\frac{(-1)^n}{2^{2n+1}}\pi\\\int_0^\frac{\pi}{2}\cos (2n-1)x\sin^{2n-1}xdx&=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2n}}\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{k}\end{align}
次：
[1] Cornel Ioan Vălean, "More (Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series" , 楽天はこちら
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