前回の記事からの延長です：
$\arcsin^k x$ のマクローリン展開をおこなう。結果として二項係数や有限多重ゼータを含む規則的な形の級数が現れることを示す。
過去にすでに導出しましたが、Edwards[1] p74に載った別の方法を紹介します。$$y=f(x):=\arcsin^2x$$と定義すると$$y'=\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$$となるので$$(1-x^2)(y')^2=4y$$と書けます。再度微分すると\begin{equation}(1-x^2)y''=xy'+2\tag{1}\end{equation}これを級数法によって解きましょう。$$y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$とおいて(1)に代入すると\begin{equation}\sum_{n=0}^\infty (n+1)(n+2)a_{n+2}x^n-\sum_{n=1}^\infty (n-1)na_nx^n =2+\sum_{n=1}^\infty na_nx^n\tag{2}\end{equation}$f(0)=0$ , $f'(0)=0$ なので $a_0=0$ , $a_1=0$ です。(2)が恒等的に成り立つので\begin{equation}\begin{cases}a_{n+2} =\dfrac{n^2}{(n+1)(n+2)}a_n\quad (n\ge 1)\\ a_0=a_1=0\;,\;a_2=1\end{cases}\tag{3}\end{equation}です。したがって $a_1=a_3=a_5=\cdots=0$ であり、$$a_{2n}=\frac{2\cdot(2n-2)!!^2}{(2n)!}$$となります。少し変形して$$a_{2n}=\frac{2^{2n}}{2n^2\binom{2n}{n}}$$よって求める展開式は
$$\arcsin^2x = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}$$
これで $k=2$ でのマクローリン展開ができました。
[1]のp77で紹介されている方法で $k=2,3,4,5,6$ を求めてみましょう。$$y=f(x):=e^{m\arcsin x}$$と定義すると$$y'=\frac{my}{\sqrt{1-x^2}}$$再度微分して\begin{align}y'' &=\frac{m}{\sqrt{1-x^2}}y'+\frac{mx}{(1-x^2)^\frac{3}{2}}y\\ &=\frac{m}{\sqrt{1-x^2}}\frac{my}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{mx}{(1-x^2)^\frac{3}{2}}\frac{y'\sqrt{1-x^2}}{m}\\ &=\frac{m^2y+xy'}{1-x^2}\end{align}よって $y$ が満たす微分方程式は\begin{equation}(1-x^2)y''=xy'+m^2y\tag{4}\end{equation}これに級数法を適用します。$$y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$とおいて(4)に代入します。$f(0)=1$ , $f'(0)=m$ から $a_0=1$ , $a_1=m$ であることも併せて\begin{equation}\begin{cases}a_{n+2} =\dfrac{m^2+n^2}{(n+1)(n+2)}a_n\quad (n\ge 0)\\ a_0=1\;,\;a_1=m\end{cases}\tag{5}\end{equation}これは次のように書き下せます。
\begin{align}e^{m\arcsin x} &= 1+ mx +\frac{m^2}{2!}x^2 \\&\quad+ \frac{m(m^2+1)}{3!}x^3+\frac{m^2(m^2+2^2)}{4!}x^4\\&\quad +\frac{m(m^2+1)(m^2+3^2)}{5!}x^5+\frac{m^2(m^2+2^2)(m^2+4^2)}{6!}x^6+\cdots\tag{6}\end{align}
一方で $e^t$ の有名なマクローリン展開公式から$$e^{m\arcsin x}=1+m\arcsin x+\frac{m^2\arcsin^2x}{2!}+\frac{m^3\arcsin^3x}{3!}+\cdots$$ですが、$m$ で整理すると
\begin{align}e^{m\arcsin x}&= 1+m\left(x+\frac{x^3}{3!}+\frac{1^23^2}{5!}x^5+\frac{3^25^2}{7!}x^7+\cdots\right)\\ &\quad+m^2\left(\frac{x^2}{2!}+\frac{2^2}{4!}x^4+\frac{2^24^2}{6!}x^6+\frac{2^24^26^2}{8!}x^8+\cdots\right)\\ &\quad+m^3\left(\frac{x^3}{3!}+\frac{1^2+3^2}{5!}x^5+\frac{1^23^2+1^25^2+3^25^2}{7!}x^7+\frac{1^23^25^2+1^25^27^2+1^23^27^2+3^25^27^2}{9!}x^9+\cdots\right)\\ &\quad+m^4\left(\frac{x^4}{4!}+\frac{2^2+4^2}{6!}x^6+\frac{2^24^2+2^26^2+4^26^2}{8!}x^8+\frac{2^24^26^2+2^26^28^2+2^24^28^2+4^26^28^2}{10!}x^{10}+\cdots\right)\\ &\quad+m^5\left(\frac{x^5}{5!}+\frac{1^2+3^2+5^2}{7!}x^7+\frac{1^23^2+1^25^2+1^27^2+3^25^2+3^27^2+5^27^2}{9!}x^9+\cdots\right)\\ &\quad+m^6\left(\frac{x^6}{6!}+\frac{2^2+4^2+6^2}{8!}x^8+\frac{2^24^2+2^26^2+2^28^2+4^26^2+4^28^2+6^28^2}{10!}x^{10}+\cdots\right)\\&\quad\vdots\tag{7}\end{align}
(6)(7)を $m$ の次数ごとに比較していきます。まず $m$ の1次では$$\arcsin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!^2}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$あるいは少し整理して\begin{equation}\arcsin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\tag{8}\end{equation}
次に $m$ の２次を比較すると定理１と同じ式を得ます。
$m$ の3次（あるいはそれ以降）は非常に見えにくい形をしていますが、Borwein & Chamberland [2] で面白い表記が示されています。$m$ の3次をとりあえずまともに書くと$$\frac{\arcsin^3x}{3!}=\frac{x^3}{3!}+\frac{1^2+3^2}{5!}x^5+\frac{1^23^2+1^25^2+3^25^2}{7!}x^7+\frac{1^23^25^2+1^25^27^2+1^23^27^2+3^25^27^2}{9!}x^9+\cdots$$ここで\begin{align}\frac{1^2+3^2}{5!} &=\frac{1^23^2}{5!}\left(1+\frac{1}{3^2}\right)\\\frac{1^23^2+1^25^2+3^25^2}{7!} &=\frac{1^23^25^2}{7!}\left(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}\right)\end{align}のように書き換えれば$$\arcsin^3x=6\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}O_n^{(2)}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$ここで $O^{(p)}_n$ は一般化された奇調和数で\begin{equation}O^{(p)}_n :=1+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{5^p}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)^p}\tag{9}\end{equation}
$m$ の4次でも同様にして$$\arcsin^4x=\frac{3}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{H_{n-1}^{(2)}}{n^2\binom{2n}{n}}(2x)^{2n}$$ここで $H^{(p)}_n$ は一般化された調和数で\begin{equation}H^{(p)}_n :=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{n^p}\tag{10}\end{equation}$H^{(p)}_0=O^{(p)}_0=0$ と定義されますので、$n=0$ を級数のスタートとしてもいいです。
$m$ の5次では$$1^2+3^2+5^2=1^23^25^2\left\{\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}\left(1+\frac{1}{3^2}\right)\right\}$$とか$$1^23^2+1^25^2+1^27^2+3^25^2+3^27^2+5^27^2=(1^23^25^27^2)\left\{\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}\left(1+\frac{1}{3^2}\right)+\frac{1}{7^2}\left(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}\right)\right\}$$と書き換えられることを利用すると$$\arcsin^5x=120\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\left\{\sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{1}{(2m+1)^2(2k+1)^2}\right\}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$$n$ の和を1からにしていますが、実際は $n=1,2$ の項はゼロですので $n=3$ からの和をとることになります。中括弧の中は調和数が二重になったようにできています。汎用性を高めるために少し書き換えて$$\arcsin^5x=120\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\left\{\sum_{0\le n_1<n_2<n}\frac{1}{(2n_1+1)^2(2n_2+1)^2}\right\}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$
これと同様に $m$ の6次にも取り組むと$$\arcsin^6x=\frac{45}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\sum_{0<n_1<n_2<n}\frac{1}{n_1^{~2}n_2^{~2}}$$
このようにすればいくらでも次数を上げられますが、しんどいのでやめます。二重和だったところが三重、四重と増えていきます。詳細は[2]を見てください。
\begin{align}\arcsin x &=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\\arcsin^3x&=6\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\left\{\sum_{0\le n_1<n}\frac{1}{(2n_1+1)^2}\right\}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\\arcsin^5x&=120\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\left\{\sum_{0\le n_1<n_2<n}\frac{1}{(2n_1+1)^2(2n_2+1)^2}\right\}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\end{align}
\begin{align}\arcsin^2x &= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}} \\\arcsin^4x &=\frac{3}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\sum_{0<n_1<n}\frac{1}{n_1^{~2}}\\\arcsin^6x&=\frac{45}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\sum_{0<n_1<n_2<n}\frac{1}{n_1^{~2}n_2^{~2}}\end{align}
$n_1,n_2,\cdots$ の和を「有限多重ゼータ」とか「多重調和和」と呼ぶようです。ツイッターで教えていただきました。
第1種スターリング数を使ってマクローリン展開を得る論文もあります[3]。参考までに。
定理３を使って、$\arcsin^kx$ を含む積分とかを検討したいです。
