一般化超幾何級数の変換公式として次が成り立つ。\begin{eqnarray*}&&{}_{s+4}F_{s+3}\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&a_1,&a_2,\cdots,&a_s,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&b_1,&b_2,\cdots,&b_s,&b_{s+1}\end{matrix};z\right]\\&=&\sum_{k=0}^m \frac{(\frac{a}{2})_k(\frac{a+1}{2})_k(a-b-c+1)_k }{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\frac{(a_1)_k\cdots(a_s)_k(-m)_k}{(b_1)_k\cdots(b_s)_k(b_{s+1})_k}(-4z)^k\\&&\times {}_{s+2}F_{s+1}\left[\begin{matrix}a+2k,&a_1+k,&a_2+k,\cdots,&a_s+k,&-m+k\\ &b_1+k,&b_2+k,\cdots,&b_s+k,&b_{s+1}+k\end{matrix};z\right]\end{eqnarray*}
これを用いてDougallの5F4-和公式を得る。\begin{eqnarray}{}_5F_{4}&&\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&c,&d,&-m\\ &\frac{a}{2},&1+a-c,&1+a-d,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&&=\frac{(1+a)_m (1+a-c-d)_m}{(1+a-c)_m(1+a-d)_m}\end{eqnarray}
あるいはその系\begin{eqnarray}{}_4F_{3}&&\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&c,&d\\ &\frac{a}{2},&1+a-c,&1+a-d\end{matrix};-1\right]\\&&=\frac{\G(1+a-c)\G(1+a-d)}{\G(1+a)\G(1+a-c-d)}\end{eqnarray}
Dougallの7F6に関する定理を証明するために必要となるので書きました。因数が多くて面倒ですが、じっくり追えば、素直な式変形しかなく、分かりやすい内容であると感じました。
より易しい一般化超幾何関数の他の定理は
などであり、肩慣らしに先に見ておくといいと思います。
冒頭２つめの式では、分子パラメータと分母パラメータの上下のペアを見ると（ただし一番左の分母は空白であり、$1$ とみなす。$1/n!$ に相当）、すべて和が $1+a$ になっています。このように和が揃っている超幾何級数 $_{p+1}F_p$ を well-poised といいます。
また、分母パラメータの和が分子パラメータの和よりもいくら大きいかを表すのがparametric excessであり、pararametric excessが1である場合は"balanced"または"Saalschützian"といいます。
過去記事で証明した次の公式を使います。
\begin{equation}\sum_{k=0}^n\frac{(a)_k(b)_k(-n)_k}{(c)_k (1+a+b-c-n)_k k!}=\frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n(c-a-b)_n}\tag{1}\end{equation}超幾何関数の形で書くと\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,-n\\c,1+a+b-c-n\end{matrix};1\right]=\frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n(c-a-b)_n}\tag{2}\end{equation}
(2)の分子パラメータに負整数が含まれるので有限和で打ち切られます。よって(1)の形でも書けるのです。これに対して $a\to a-b-c+1$ , $b\to a+n$ , $c\to 1+a-c$ としましょう。$$(1-n-c)_n=(-1)_n(c)_n\;,\;(b-a-n)_n=(-1)^n(a-b+1)_n$$であることに注意して整理すると次を得ます。
\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a-b-c+1,a+n,-n\\1+a-b,1+a-c\end{matrix};1\right]=\frac{(b)_n(c)_n}{(1+a-b)_n(1+a-c)_n}\tag{3}\end{equation}
これから応用していく重要な変換公式を導出します[Bailey(1935), ch4.3]。\begin{equation}F:={}_{s+4}F_{s+3}\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&a_1,&a_2,\cdots,&a_s,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&b_1,&b_2,\cdots,&b_s,&b_{s+1}\end{matrix};z\right]\tag{4}\end{equation}を計算しましょう。級数表示すると、第 $m$ 項で打ち切りです。系2を用います。\begin{eqnarray*}F &=& \sum_{n=0}^m\frac{(a)_n}{n!}\cdot\frac{(b)_n(c)_n}{(1+a-b)_n(1+a-c)_n}\cdot\frac{(a_1)_n\cdots(a_s)_n(-m)_n}{(b_1)_n\cdots(b_s)_n(b_{s+1})_n}z^n \\&=& \sum_{n=0}^m\sum_{k=0}^n\frac{(a)_n}{n!}\cdot\frac{(a-b-c+1)_k(a+n)_k(-n)_k}{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\cdot\frac{(a_1)_n\cdots(a_s)_n(-m)_n}{(b_1)_n\cdots(b_s)_n(b_{s+1})_n}z^n\end{eqnarray*}和の順を入れ替えます。\begin{eqnarray*}F &=& \sum_{k=0}^m\sum_{n=k}^m\frac{(a)_n}{n!}\cdot\frac{(a-b-c+1)_k(a+n)_k(-n)_k}{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\cdot\frac{(a_1)_n\cdots(a_s)_n(-m)_n}{(b_1)_n\cdots(b_s)_n(b_{s+1})_n}z^n\end{eqnarray*}$(-n)_k=(-1)^kn(n-1)\cdots(n-k+1)$ および $(a)_n(a+n)_k=(a)_{n+k}$ なので\begin{eqnarray*}F &=& \sum_{k=0}^m\sum_{n=k}^m\frac{(a)_{n+k}}{(n-k)!}\cdot\frac{(a-b-c+1)_k (-1)^k}{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\cdot\frac{(a_1)_n\cdots(a_s)_n(-m)_n}{(b_1)_n\cdots(b_s)_n(b_{s+1})_n}z^n\end{eqnarray*}$n$ を $-k$ シフトさせましょう。\begin{eqnarray*}F &=& \sum_{k=0}^m \frac{(a-b-c+1)_k (-z)^k}{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!} \sum_{n=0}^{m-k}\frac{(a)_{n+2k}}{n!}\frac{(a_1)_{n+k}\cdots(a_s)_{n+k}(-m)_{n+k}}{(b_1)_{n+k}\cdots(b_s)_{n+k}(b_{s+1})_{n+k}}z^n\end{eqnarray*}２つめのΣの中身は $(a_1)_{n+k}=(a_1)_k(a_1+k)_n$ のように変形します。\begin{eqnarray*}F &=& \sum_{k=0}^m \frac{(a-b-c+1)_k (-z)^k}{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\cdot\frac{(a)_{2k}(a_1)_k\cdots(a_s)_k(-m)_k}{(b_1)_k\cdots(b_s)_k(b_{s+1})_k}\\&&\times \sum_{n=0}^{m-k}\frac{(a+2k)_n}{n!}\frac{(a_1+k)_n\cdots(a_s+k)_n(-m+k)_n}{(b_1+k)_n\cdots(b_s+k)_n(b_{s+1}+k)_n}z^n \\&=& \sum_{k=0}^m \frac{(a)_{2k}(a-b-c+1)_k (-z)^k}{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\cdot\frac{(a_1)_k\cdots(a_s)_k(-m)_k}{(b_1)_k\cdots(b_s)_k(b_{s+1})_k}\\&&\times {}_{s+2}F_{s+1}\left[\begin{matrix}a+2k,&a_1+k,&a_2+k,\cdots,&a_s+k,&-m+k\\ &b_1+k,&b_2+k,\cdots,&b_s+k,&b_{s+1}+k\end{matrix};z\right]\end{eqnarray*}これでもいいのですが、$$(a)_{2k}=4^k \left(\frac{a}{2}\right)_k\left(\frac{a+1}{2}\right)_k$$とすると
\begin{eqnarray*}&&{}_{s+4}F_{s+3}\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&a_1,&a_2,\cdots,&a_s,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&b_1,&b_2,\cdots,&b_s,&b_{s+1}\end{matrix};z\right]\\&=&\sum_{k=0}^m \frac{(\frac{a}{2})_k(\frac{a+1}{2})_k(a-b-c+1)_k }{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\frac{(a_1)_k\cdots(a_s)_k(-m)_k}{(b_1)_k\cdots(b_s)_k(b_{s+1})_k}(-4z)^k\\&&\times {}_{s+2}F_{s+1}\left[\begin{matrix}a+2k,&a_1+k,&a_2+k,\cdots,&a_s+k,&-m+k\\ &b_1+k,&b_2+k,\cdots,&b_s+k,&b_{s+1}+k\end{matrix};z\right]\end{eqnarray*}
以下、見ていくように定理３からいろいろと導けるのです。今は $z=1$ の場合しか使わないので、次の系で十分です。
\begin{eqnarray*}&&{}_{s+4}F_{s+3}\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&a_1,&a_2,\cdots,&a_s,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&b_1,&b_2,\cdots,&b_s,&b_{s+1}\end{matrix};1\right]\\&=&\sum_{k=0}^m \frac{(-4)^k(\frac{a}{2})_k(\frac{a+1}{2})_k(a-b-c+1)_k }{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\frac{(a_1)_k\cdots(a_s)_k(-m)_k}{(b_1)_k\cdots(b_s)_k(b_{s+1})_k}\\&&\times {}_{s+2}F_{s+1}\left[\begin{matrix}a+2k,&a_1+k,&a_2+k,\cdots,&a_s+k,&-m+k\\ &b_1+k,&b_2+k,\cdots,&b_s+k,&b_{s+1}+k\end{matrix};1\right]\end{eqnarray*}
系4で $s=1$ とすると、\begin{eqnarray*}&&{}_{5}F_{4}\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&a_1,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&b_1,&b_2\end{matrix};1\right]\\&=&\sum_{k=0}^m \frac{(-4)^k(\frac{a}{2})_k(\frac{a+1}{2})_k(a-b-c+1)_k }{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\frac{(a_1)_k(-m)_k}{(b_1)_k(b_2)_k}\\&&\times {}_{3}F_{2}\left[\begin{matrix}a+2k,&a_1+k,&-m+k\\ &b_1+k,&b_2+k\end{matrix};1\right]\end{eqnarray*}3F2まで落とすと、扱い慣れているので進めやすそうです。$a_1,b_1,b_2$ を、3F2がwell-poisedになるように定めましょう。すなわち$$a_1=d\;,\;b_1=1+a-d\;,\;b_2=1+a+m$$とします。すると\begin{eqnarray}&&{}_{5}F_{4}\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&d,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&=&\sum_{k=0}^m \frac{(-4)^k(\frac{a}{2})_k(\frac{a+1}{2})_k(a-b-c+1)_k }{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\frac{(d)_k(-m)_k}{(1+a-d)_k(1+a+m)_k}\\&&\times {}_{3}F_{2}\left[\begin{matrix}a+2k,&d+k,&-m+k\\ &1+a-d+k,&1+a+m+k\end{matrix};1\right]\tag{5}\end{eqnarray}こうしておけば、Dixonの3F2-定理\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\1+a-b,1+a-c\end{matrix};1\right]=\frac{\G(1+\frac{a}{2})\G(1+a-b)\G(1+a-c)\G(1+\frac{a}{2}-b-c)}{\G(1+a)\G(1+\frac{a}{2}-b)\G(1+\frac{a}{2}-c)\G(1+a-b-c)}\tag{6}\end{equation}を適用できます。つまり\begin{eqnarray}{}_{3}F_{2}&&\left[\begin{matrix}a+2k,&d+k,&-m+k\\ &1+a-d+k,&1+a+m+k\end{matrix};1\right]\\&&=\frac{\G(1+\frac{a}{2}+k)\G(1+a-d+k)\G(1+a+m+k)\G(1+\frac{a}{2}-d+m-k)}{\G(1+a+2k)\G(1+\frac{a}{2}-d)\G(1+\frac{a}{2}+m)\G(1+a-d+m)}\tag{7}\end{eqnarray}です。これを(5)に代入します。ガンマ関数を次のようにポッホハマー記号に直しておきます。$$\G(x+k)=(x)_k\G(x)\;,\;\G(x+2k)=4^k\left(\frac{x}{2}\right)_k\left(\frac{x+1}{2}\right)_k\G(x)$$$$\G(x-k)=\frac{(-1)^k\G(x)}{(1-x)_k}$$したがって\begin{eqnarray}&&{}_5F_{4}\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&d,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&=&\frac{\G(1+\frac{a}{2})\G(1+a-d)\G(1+a+m)\G(1+\frac{a}{2}-d+m)}{\G(1+\frac{a}{2}+m)\G(1+a-d+m)\G(1+a)\G(1+\frac{a}{2}-d)}\\&&\times\sum_{k=0}^m \frac{(\frac{a}{2})_k(a-b-c+1)_k (d)_k(-m)_k }{(1+a-b)_k(1+a-c)_k (d-\frac{a}{2}-m)_k k!}\end{eqnarray}ガンマ関数の部分をポッホハマー記号に書き換えると、次の定理を得ます。
\begin{eqnarray}&&{}_5F_{4}\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&d,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&=&\frac{(1+a)_m (1+\frac{a}{2}-d)_m}{(1+\frac{a}{2})_m(1+a-d)_m}{}_4F_3\left[\begin{matrix}1+a-b-c\:,\:\frac{a}{2}\:,\:d\:,\:-m\\ 1+a-b\:,\:1+a-c\:,\:d-\frac{a}{2}-m\end{matrix};1\right]\end{eqnarray}
定理5の右辺にある4F3のparametric excessは1ですので、Saalschützianです。つまり3F2へ簡約すると定理1が使えます。$b=\frac{a}{2}+1$ とおくと\begin{eqnarray}&&{}_5F_{4}\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&c,&d,&-m\\ &\frac{a}{2},&1+a-c,&1+a-d,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&=&\frac{(1+a)_m (1+\frac{a}{2}-d)_m}{(1+\frac{a}{2})_m(1+a-d)_m}{}_3F_2\left[\begin{matrix}\frac{a}{2}-c\:,\:d\:,\:-m\\ \:1+a-c\:,\:d-\frac{a}{2}-m\end{matrix};1\right]\tag{8}\end{eqnarray}定理1より
\begin{eqnarray}{}_5F_{4}&&\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&c,&d,&-m\\ &\frac{a}{2},&1+a-c,&1+a-d,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&&=\frac{(1+a)_m (1+a-c-d)_m}{(1+a-c)_m(1+a-d)_m}\end{eqnarray}
$-m$ が一般の数 $e$ の場合についてはこちらから。
系6で $m\to\infty$ を考えます。極限の取り方は過去で導出したように
$\sum_{i=0}^k a_i=\sum_{i=0}^k b_i$ とするとき$$\lim_{z\to\infty}\frac{\G(z+a_1)\G(z+a_2)\cdots\G(z+a_k)}{\G(z+b_1)\G(z+b_2)\cdots\G(z+b_k)}=1$$
を利用します。系6の左辺では\begin{eqnarray*}\lim_{m\to\infty}\frac{(-m)_n}{(1+a+m)_n} &=&\lim_{m\to\infty}(-1)^n\frac{(m-n+1)_n}{(1+a+m)_n}\\&=& (-1)^n\end{eqnarray*}系6の右辺では$$\lim_{m\to\infty}\frac{(1+a)_m (1+a-c-d)_m}{(1+a-c)_m(1+a-d)_m} =\frac{\G(1+a-c)\G(1+a-d)}{\G(1+a)\G(1+a-c-d)}$$以上から
\begin{eqnarray}{}_4F_{3}&&\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&c,&d\\ &\frac{a}{2},&1+a-c,&1+a-d\end{matrix};-1\right]\\&&=\frac{\G(1+a-c)\G(1+a-d)}{\G(1+a)\G(1+a-c-d)}\end{eqnarray}
ちなみに系８の証明はこちらにもあります。
次回はこちら：
超幾何関数の勉強には欠かせません! 式変形とかはあまり書いてくれていない：
Bailey, W.N. (1935). Generalized hypergeometric series.
分かりやすく、ネットで公開されている：
Hannah, J.P. Identities for the gamma and hypergeometric functions: an overview from Euler to the present
系8の導出方法は他にもありますが、今回はこちらを参照しました：
L.Slater, (1966) "Generalized Hypergeometric Functions" Cambridge University Press（絶賛発売中2023/1/29現在）
Please support me!
記事を気に入って下さった方、「応援してあげてもいいよ」という方がいらっしゃったら15円から可能なので支援していただければ幸いです。情報発信を継続していくため、サーバー維持費などに充てさせていただきます。
ご支援いただいた方は、こちらで確認できます。
◎ Amazonギフトの場合、
Amazonギフト券- Eメールタイプ – Amazonベーシック
より、金額は空白欄に適当に(15円から)書きこんで下さい。受取人は「mamekebiamazonあっとgmail.com」です（あっとは@に置き換えてください）。贈り主は「匿名」等でOKです。全額がクリエイターに届きます。
◎ OFUSEは登録不要で、100円から寄付できます。金額の90%がクリエイターに届きます。
OFUSEで応援を送る◎ codocは登録不要で、100円から寄付できます。金額の85%がクリエイターに届きます。
