より分かりやすい証明はこちらをどうぞ：
Dixon's Theorem:\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\1+a-b,1+a-c\end{matrix};1\right]=\frac{\G(1+\frac{a}{2})\G(1+a-b)\G(1+a-c)\G(1+\frac{a}{2}-b-c)}{\G(1+a)\G(1+\frac{a}{2}-b)\G(1+\frac{a}{2}-c)\G(1+a-b-c)}\tag{1}\end{equation}
Dixon(1903)にあるオリジナルの証明を扱うのですが、これに沿って取り組んでみたものの、難解な部分があり、私は自力で最後まで到達できていません。説明が不完全ではありますが紹介しておきます。
ポッホハマー積分路を $P$ とします。このとき
$r>0$ , $\mathfrak{R}m,\mathfrak{R}n>0$ ,\begin{equation}\oint_P z^{rm-1}(1-z^r)^{n-1}dz=-\frac{4}{r}e^{i\pi(rm+n)}\sin\pi rm\sin\pi nB(m,n)\tag{2.1}\end{equation}
【証明】最初に $1$ のまわりを正に回る小円弧 $C_1$ について、$\arg z=0$ , $\arg(1-z)=0\to2\pi$ なので $1-z=\epsilon e^{i\t}$ として$$\int_{C_1}z^{rm-1}(1-z^r)^{n-1}dz=-ir^{n-1}\epsilon^n\int_0^{2\pi}e^{in\t}d\t\xrightarrow[]{\epsilon\to0}0$$このときの $1-z^r$ について$$1-z^r=1-(1-\epsilon e^{i\t})^r\approx r\epsilon e^{i\t}$$より、$1$ を正方向に回った後には $\arg(1-z^r)=\arg(1-z)=2\pi$ となる。
$0$ を回る小円弧の積分もやはりゼロとなり、\begin{eqnarray*}\oint_P z^{rm-1}(1-z^r)^{n-1}dz&=&\int_0^1 x^{rm-1}(1-x^r)^{n-1}dx\quad(\arg z=0,\arg(1-z^r)=0)\\&&+\int_1^0 x^{rm-1}\left\{(1-x^r)e^{2\pi i}\right\}^{n-1}dx\quad(\arg z=0,\arg(1-z^r)=2\pi)\\&&+\int_0^1\left(xe^{2\pi i}\right)^{rm-1}\left\{(1-x^r)e^{2\pi i}\right\}^{n-1}dx\quad(\arg z=\arg(1-z^r)=2\pi)\\&&+\int_1^0\left(xe^{2\pi i}\right)^{rm-1}(1-x^r)^{n-1}dx\quad(\arg z=2\pi,\arg(1-z^r)=0)\\&=& \left(1-e^{2\pi rmi}\right)\left(1-e^{2\pi ni}\right)\frac{1}{r}\int_0^1t^{m-1}(1-t)^{n-1}dt\quad(t=x^r)\\&=&-\frac{4}{r}e^{i\pi(rm+n)}\sin\pi rm\sin\pi nB(m,n)\end{eqnarray*}【証明終】
\begin{eqnarray}\oint_P&& F\left[\begin{matrix}\a,\b\\\g\end{matrix};tz\right]z^{\g-1}(1-z)^{\epsilon-\g-1}dz\\&&={}_3F_2\left[\begin{matrix}\a,\b,\g\\\d,\epsilon\end{matrix};t\right]\oint_Pz^{\g-1}(1-z)^{\epsilon-\g-1}dz\tag{2.2}\end{eqnarray}
【証明】\begin{eqnarray*}LHS &=& \sum_{n=0}^\infty\frac{(\a)_n(\b)_n}{(\d)_nn!}t^n\oint_P z^{\g+n-1}(1-z)^{\epsilon-\g-1}dz\end{eqnarray*}ベータ関数の複素積分による表示を用いると\begin{eqnarray*}&=& -\sum_{n=0}^\infty\frac{(\a)_n(\b)_n}{(\d)_nn!}t^n \cdot 4e^{\pi i(\epsilon+n)}\sin\pi(\g+n)\sin\pi(\epsilon-\g)B(\g+n,\epsilon-\g)\end{eqnarray*}ベータ関数をガンマ関数で書き、ポッホハマー記号に書き換えると\begin{eqnarray*}&=&\sum_{n=0}^\infty\frac{(\a)_n(\b)_n(\g)_n}{(\d)_n(\epsilon)_n n!}t^n\cdot(-4e^{\pi i\epsilon}\sin\pi\g\sin\pi(\epsilon-\g))\frac{\G(\g)\G(\epsilon-\g)}{\G(\epsilon)}\\&=&\sum_{n=0}^\infty\frac{(\a)_n(\b)_n(\g)_n}{(\d)_n(\epsilon)_n n!}t^n\cdot(-4e^{\pi i\epsilon}\sin\pi\g\sin\pi(\epsilon-\g))B(\g,\epsilon-\g)\\&=&\sum_{n=0}^\infty\frac{(\a)_n(\b)_n(\g)_n}{(\d)_n(\epsilon)_n n!}t^n\oint_Pz^{\g-1}(1-z)^{\epsilon-\g-1}dz\end{eqnarray*}【証明終】
さて、こちらで示した二次変換公式$$F\left[\begin{matrix}a,b\\1+a-b\end{matrix};z\right]= (1+z)^{-a} F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{2}\\1+a-b\end{matrix};\frac{4z}{(1+z)^2}\right]$$で $a=\a$ , $b=\a-\d+1$ とします。$$F\left[\begin{matrix}\a,\a-\d+1\\\d\end{matrix};z\right]= (1+z)^{-\a} F\left[\begin{matrix}\frac{\a}{2},\frac{\a+1}{2}\\\d\end{matrix};\frac{4z}{(1+z)^2}\right]$$これをLemma2.2に代入すると\begin{eqnarray*}&&{}_3F_2\left[\begin{matrix}\a,\a-\d+1,\a-\epsilon+1\\\d,\epsilon\end{matrix};t\right]\oint_Pz^{\a-\epsilon}(1-z)^{2\epsilon-\a-2}dz\\&&=\oint_P F\left[\begin{matrix}\a,\a-\d+1\\\d\end{matrix};tz\right]z^{\a-\epsilon}(1-z)^{2\epsilon-\a-2}dz\\&&=\oint_P F\left[\begin{matrix}\frac{\a}{2},\frac{\a+1}{2}\\\d\end{matrix};\frac{4tz}{(1+tz)^2}\right]z^{\a-\epsilon}(1-z)^{2\epsilon-\a-2}(1+tz)^{-\a}dz\end{eqnarray*}メビウス変換 $w=\frac{1-tz}{1+tz}$ により\begin{eqnarray*}&&{}_3F_2\left[\begin{matrix}\a,\a-\d+1,\a-\epsilon+1\\\d,\epsilon\end{matrix};t\right]\oint_Pz^{\a-\epsilon}(1-z)^{2\epsilon-\a-2}dz\\ &=& \oint_{P'} F\left[\begin{matrix}\frac{\a}{2},\frac{\a+1}{2}\\\d\end{matrix};1-w^2\right]\left(\frac{1-w}{t(1+w)}\right)^{\a-\epsilon}\left(1-\frac{1-w}{t(1+w)}\right)^{2\epsilon-\a-2}\left(\frac{1}{1+w}\right)^{-\a}\left(\frac{-2dw}{t(1+w)^2}\right) \\&=& 2^{1-\a}t^{1-\epsilon}(1+t)^{2\epsilon-\a-2}\oint_{P'}F\left[\begin{matrix}\frac{\a}{2},\frac{\a+1}{2}\\\d\end{matrix};1-w^2\right](1-w^2)^{\a-\epsilon}\left(w-\frac{1-t}{1+t}\right)^{2\epsilon-\a-2}dw\\&&(2.3)\end{eqnarray*}ただし $P'$ は $1$ を回り $\frac{1-t}{1+t}$ を回り、$1$ を逆回り $\frac{1-t}{1+t}$ を逆回りする周回積分です。
$z$ 平面で $0$ を回る($z=\epsilon e^{i\t}$)のに対し、\begin{eqnarray*} w-1 &=&\frac{1-t\epsilon e^{i\t}}{1+t\epsilon e^{i\t}}-1\\&=& -2t\epsilon e^{i\t}(1+t\epsilon e^{i\t})^{-1} \\&\approx& -2t\epsilon e^{i\t}\end{eqnarray*}で確かに $1$ を回ります。同様に $z$ 平面で $1$ を回るのに対し、$$w-\frac{1-t}{1+t}\approx -\frac{2t\epsilon}{(1+t)^2}e^{i\t}$$となって確かに $\frac{1-t}{1+t}$ を回ります。
さてガウスの超幾何関数のKummer's 24 solutionsにおいて3つの特殊解 $u_2,u_1,u_5$ の線型結合はBateman(1953)のp107(35)式より\begin{eqnarray}F\left[\begin{matrix}a,b\\a+b-c+1\end{matrix};1-z\right]&=&\frac{\G(a+b-c+1)\G(1-c)}{\G(a-c+1)\G(b-c+1)}F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]\\&&+\frac{\G(a+b-c+1)\G(c-1)}{\G(a)\G(b)}z^{1-c}F\left[\begin{matrix}a-c+1,b-c+1\\2-c\end{matrix};z\right]\tag{2.4}\end{eqnarray}$a=\frac{\a}{2}$ , $b=\frac{\a+1}{2}$ , $c=\a-\d+\frac{3}{2}$ , $z=w^2$ とすると\begin{eqnarray}F\left[\begin{matrix}\frac{\a}{2},\frac{\a+1}{2}\\\d\end{matrix};1-w^2\right]&=&\frac{\G(\d)\G(\d-\a-\frac{1}{2})}{\G(\d-\frac{\a+1}{2})\G(\d-\frac{\a}{2})}F\left[\begin{matrix}\frac{\a}{2},\frac{\a+1}{2}\\\a-\d+\frac{3}{2}\end{matrix};w^2\right]\\&&+\frac{\G(\d)\G(\a-\d+\frac{1}{2})}{\G(\frac{\a}{2})\G(\frac{\a+1}{2})}w^{2\d-2\a-1}F\left[\begin{matrix}\d-\frac{\a+1}{2},\d-\frac{\a}{2}\\\d-\a+\frac{1}{2}\end{matrix};w^2\right]\tag{2.5}\end{eqnarray}(2.3)に適用します。\begin{eqnarray}&&{}_3F_2\left[\begin{matrix}\a,\a-\d+1,\a-\epsilon+1\\\d,\epsilon\end{matrix};t\right]\oint_Pz^{\a-\epsilon}(1-z)^{2\epsilon-\a-2}dz\\ &=& 2^{1-\a}t^{1-\epsilon}(1+t)^{2\epsilon-\a-2}\\&&\times\oint_{P'}\biggl\{\frac{\G(\d)\G(\d-\a-\frac{1}{2})}{\G(\d-\frac{\a+1}{2})\G(\d-\frac{\a}{2})}F\left[\begin{matrix}\frac{\a}{2},\frac{\a+1}{2}\\\a-\d+\frac{3}{2}\end{matrix};w^2\right]+\frac{\G(\d)\G(\a-\d+\frac{1}{2})}{\G(\frac{\a}{2})\G(\frac{\a+1}{2})}w^{2\d-2\a-1}F\left[\begin{matrix}\d-\frac{\a+1}{2},\d-\frac{\a}{2}\\\d-\a+\frac{1}{2}\end{matrix};w^2\right]\biggr\}\\&&\quad\cdot(1-w^2)^{\a-\epsilon}\left(w-\frac{1-t}{1+t}\right)^{2\epsilon-\a-2}dw\\(2.6)\end{eqnarray}
(2.6)の第1項と第2項をそれぞれ $I_1$ , $I_2$ とおきます。すなわち$${}_3F_2\left[\begin{matrix}\a,\a-\d+1,\a-\epsilon+1\\\d,\epsilon\end{matrix};t\right]\oint_Pz^{\a-\epsilon}(1-z)^{2\epsilon-\a-2}dz=I_1+I_2$$(2.6)の第1項では $t=1$ とできて$$I_1=2^{2\epsilon-2\a-1}\frac{\G(\d)\G(\d-\a-\frac{1}{2})}{\G(\d-\frac{\a+1}{2})\G(\d-\frac{\a}{2})}\oint_{P}(1-w^2)^{\a-\epsilon}w^{2\epsilon-\a-2}F\left[\begin{matrix}\frac{\a}{2},\frac{\a+1}{2}\\\a-\d+\frac{3}{2}\end{matrix};w^2\right]dw$$Bateman(1953)のp60(13)式:$$F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\frac{\G(c)e^{-i\pi c}}{4\G(b)\G(c-b)\sin\pi b\sin\pi(c-b)}\oint_Pt^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-tz)^{-a}dt$$によって\begin{eqnarray}I_1&=&\frac{-2^{2\epsilon-2\a-3}\G(\d)\G(\d-\a-\frac{1}{2})\G(\a-\d+\frac{3}{2})e^{i\pi(\d-\a-\frac{3}{2})}}{\G(\d-\frac{\a+1}{2})\G(\d-\frac{\a}{2})\G(\frac{\a}{2})\G(\frac{\a+3}{2}-\d)\sin\frac{\pi\a}{2}\sin\pi(\frac{\a+3}{2}-\d)}\\&&\times\oint_P\oint_Pw^{2\epsilon-\a-2}(1-w^2)^{\a-\epsilon}(1-sw^2)^{-\frac{\a+1}{2}}s^{\frac{\a}{2}-1}(1-s)^{\frac{\a+1}{2}-\d}dwds\tag{2.7}\end{eqnarray}ここで$$w^2=\frac{y^2}{1-s+sy^2}\;,\;dw=\frac{1-s}{(1-s+sy^2)^\frac{3}{2}}dy$$と置換して\begin{eqnarray}I_1&=&\frac{-2^{2\epsilon-2\a-3}\G(\d)\G(\d-\a-\frac{1}{2})\G(\a-\d+\frac{3}{2})e^{i\pi(\d-\a-\frac{3}{2})}}{\G(\d-\frac{\a+1}{2})\G(\d-\frac{\a}{2})\G(\frac{\a}{2})\G(\frac{\a+3}{2}-\d)\sin\frac{\pi\a}{2}\sin\pi(\frac{\a+3}{2}-\d)}\\&&\times\left(\oint_Ps^{\frac{\a}{2}-1}(1-s)^{\a-\d-\epsilon+1}ds\right)\left(\oint_P y^{2\epsilon-\a-2}(1-y^2)^{\a-\epsilon}dy\right)\tag{2.8}\end{eqnarray}(2.1)により\begin{eqnarray}I_1 &=& \frac{-2^{2\epsilon-2\a}\G(\d)\G(\d-\a+\frac{1}{2})\G(\a-\d+\frac{1}{2})\G(\epsilon-\frac{\a+1}{2})\pi e^{i\pi\frac{\a+1}{2}}\sin(2\epsilon-\a)\pi}{\G(\epsilon-\a)\G(\d-\frac{\a}{2})\G(\frac{3}{2}\a-\d-\epsilon+2)\G(\frac{\a+1}{2})\G(\d+\epsilon-\a-1)}\tag{2.9}\end{eqnarray}これを$$\oint_Pz^{\a-\epsilon}(1-z)^{2\epsilon-\a-2}dz$$で割ると\begin{eqnarray}\tilde{I_1} &=& \frac{-2^{2\epsilon-2\a-2}e^{i\pi(\frac{\a+1}{2}-\epsilon)}\G(\d)\G(\epsilon)\G(\d-\a+\frac{1}{2})\G(\a-\d+\frac{1}{2})\G(\epsilon-\frac{\a+1}{2})}{\G(\d+\epsilon-\a-1)\G(\d-\frac{\a}{2})\G(\frac{\a+1}{2})\G(\frac{3}{2}\a-\d-\epsilon+2)\G(2\epsilon-\a-1)}\tag{2.10}\end{eqnarray}
次に(2.6)の第2項では $t=1$ とできて積分経路は、$0$ をスタートして $1$ を正に回り、$0$ に戻るループになります。これがなぜなのかよく分からない・・・。ちなみに $I_1$ と同様に $\oint_P$ でやってみると計算が合いませんでした。なぜ $I_1$ と $I_2$ で $w$ の経路が変わるのでしょう？？ここが理解できないため、本記事は「未完」としています。とにかくこれを受け入れさえすれば、$I_1$ と同様の操作で計算すると $I_2$ が求まり、割り算して\begin{eqnarray}\tilde{I_2} &=& \frac{-2^{2\epsilon-2\a-2}e^{i\pi(\frac{3}{2}\a-\d-\epsilon)}\G(\d)\G(\epsilon)\G(\d-\a+\frac{1}{2})\G(\a-\d+\frac{1}{2})\G(\d+\epsilon-\frac{3}{2}\a-1)}{\G(\d+\epsilon-\a-1)\G(\d-\frac{\a}{2})\G(\frac{\a+1}{2})\G(\frac{\a+3}{2}-\epsilon)\G(2\epsilon-\a-1)}\tag{2.11}\end{eqnarray}
最後に$${}_3F_2\left[\begin{matrix}\a,\a-\d+1,\a-\epsilon+1\\\d,\epsilon\end{matrix};1\right]=\tilde{I_1}+\tilde{I_2}$$へ代入して
$${}_3F_2\left[\begin{matrix}\a,\a-\d+1,\a-\epsilon+1\\\d,\epsilon\end{matrix};1\right]=\frac{2^{-a}\sqrt{\pi}\G(\d)\G(\epsilon)\G(\d+\epsilon-\frac{3}{2}\a-1)}{\G(\d-\frac{\a}{2})\G(\epsilon-\frac{\a}{2})\G(\frac{\a+1}{2})\G(\d+\epsilon-\a-1)}$$
よりよく知られた(1)と同等の式です。
別の証明方法：
Dixon, A. C. "Summation of Certain Series." Proc. London Math. Soc. 35, 285-289, 1903
Bateman.H, Eldélyi.A, Higher Transcendental Functions vol.1 (1953)
次回はWatsonの定理：
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