前回の記事は：
調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part10
多重対数関数の定義と初歩的な関係式の知識が前提となります。こちらから：
$n=0,1,2,\cdots$ に対して調和数 $H_n$ と奇調和数 $O_n$ を次のように定義する。$$H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\quad,\quad H_0=0$$$$O_n=1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2n-1}\quad,\quad O_0=0$$このとき$$O_n=H_{2n}-\frac{H_n}{2}$$なる関係を利用することにより\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^\infty\frac{O_{n}}{n^3} &=& 8\Li_4\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{53\pi^4}{720}+7\zeta(3)\ln2-\frac{\pi^2}{3}\ln^22+\frac{\ln^42}{3}\\ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nO_{n}}{n^3} &=& 4\Li_4\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{151\pi^4}{2880}+\frac{7}{2}\zeta(3)\ln2-\frac{\pi^2}{6}\ln^22+\frac{\ln^42}{6} \\ \sum_{n=1}^\infty\frac{O_{2n}}{n^3} &=& 48\Li_4\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{121\pi^4}{240}+42\zeta(3)\ln2-2\pi^2\ln^22+2\ln^42\end{eqnarray*}
奇調和数 $O_n$ 本シリーズの過去記事でも多く扱いました。
調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part5
調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part6
しかし母関数を求めるのがかなり難しく、$H_n$ よりも得られる級数のバリエーションが狭かったのです。それで終わるのは悔しかったので今回は別の方法でアプローチすることにしました。$$O_n+\frac{H_n}{2}=\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2n-1}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)$$したがって\begin{equation}O_n=H_{2n}-\frac{1}{2}H_n\tag{1}\end{equation}が成立します。過去記事で $H_n$ や $H_{2n}$ については見てきましたから、これに応用できそうです。なお、過去でも扱った2倍添え字の関係式\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty a_{2n}=\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^\infty a_{n}+\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_{n}\right)\tag{1a}\end{equation}を用います。
(1)より\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty\frac{O_n}{n^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{H_{2n}}{n^3}-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^3}\tag{2}\end{equation}過去記事
調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part7
より\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty\frac{H_{2n}}{n^3}=-\frac{\pi^4}{15}+8\Li_4\left(\frac{1}{2}\right)+7\zeta(3)\ln2-\frac{\pi^2}{3}\ln^22+\frac{\ln^42}{3}\tag{3}\end{equation}\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^3}=\frac{\pi^4}{72}\tag{4}\end{equation}(3)(4)を(2)に適用すると次の公式を得ます。
\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty\frac{O_{n}}{n^3} = 8\Li_4\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{53\pi^4}{720}+7\zeta(3)\ln2-\frac{\pi^2}{3}\ln^22+\frac{\ln^42}{3}\tag{5}\end{equation}
(1)より\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nO_n}{n^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nH_{2n}}{n^3}-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nH_n}{n^3}\tag{6}\end{equation}過去記事
調和数を含んだ級数(Euler-sum)とゼータ関数 part9
より\begin{eqnarray}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nH_{n}}{n^3}&&=-\frac{11\pi^4}{360}+2\Li_4\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{4}\zeta(3)\ln2\\&&\quad-\frac{\pi^2}{12}\ln^22+\frac{\ln^42}{12}\tag{7}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nH_{2n}}{n^3} &=& 5\Li_4\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{13\pi^4}{192}+\frac{35}{8}\zeta(3)\ln2-\frac{5\pi^2}{24}\ln^22+\frac{5\ln^42}{24}\tag{8}\end{eqnarray}(7)(8)を(6)へ適用して次の定理を得ます。
\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nO_{n}}{n^3} = 4\Li_4\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{151\pi^4}{2880}+\frac{7}{2}\zeta(3)\ln2-\frac{\pi^2}{6}\ln^22+\frac{\ln^42}{6}\tag{9}\end{equation}
(1a)より$$\sum_{n=1}^\infty\frac{O_{2n}}{n^3}=4\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{O_{n}}{n^3}+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nO_{n}}{n^3}\right)$$(5)(9)によって容易に以下の結論を得ます。
\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty\frac{O_{2n}}{n^3} = 48\Li_4\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{121\pi^4}{240}+42\zeta(3)\ln2-2\pi^2\ln^22+2\ln^42\tag{10}\end{equation}
次はこちら：
別シリーズがはじまりました：
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