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Whipple's summation theorem:
Provided $\mathfrak{R}(c)>0$,\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,1-a,c\\e,1+2c-e\end{matrix};1\right]=\frac{2^{1-2c}\pi\G(e)\G(1+2c-e)}{\G(\frac{a+e}{2})\G(\frac{1-a+e}{2})\G(\frac{1+a-e}{2}+c)\G(1+c-\frac{a+e}{2})}\tag{1}\end{equation}
Dixonの定理、Watsonの定理に続いて、3F2の計算ができる公式です。今日はこの定理を導出しましょう。
ガンマ関数がたくさん登場します。ここでは次のようにまとめて表記する場合があります。\begin{equation}\G\left[\begin{matrix}a,b,c\\d,e,f\end{matrix}\right]:=\frac{\G(a)\G(b)\G(c)}{\G(d)\G(e)\G(f)}\tag{2}\end{equation}
前回示したWatsonの定理を使います。すなわち\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\\frac{a+b+1}{2},2c\end{matrix};1\right]=\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})\G(c+\frac{1}{2})\G(\frac{1-a-b}{2}+c)}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})\G(\frac{1-a}{2}+c)\G(\frac{1-b}{2}+c)}\tag{3}\end{equation}
前回示した補題を使います。すなわち
$s=e+f-a-b-c$ とおくと\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix};1\right]=\frac{\G(e)\G(f)\G(s)}{\G(a)\G(b+s)\G(c+s)}{}_3F_2\left[\begin{matrix}e-a,f-a,s\\b+s,c+s\end{matrix};1\right]\tag{4}\end{equation}
ちなみに $s$ を parametric excess といいます（分母パラメータの和から分子パラメータの和を引いたもの）。
Lemmaで $b\to 1-a$ , $f\to 1+2c-e$ とすると $s\to c$ となります。よって\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,1-a,c\\e,1+2c-e\end{matrix};1\right]=\frac{\G(e)\G(1+2c-e)\G(c)}{\G(a)\G(1-a+c)\G(2c)}{}_3F_2\left[\begin{matrix}e-a,1-a+2c-e,c\\1-a+c,2c\end{matrix};1\right]\tag{5}\end{equation}Watsonの定理(3)を右辺の3F2に利用すると$${}_3F_2\left[\begin{matrix}a,1-a,c\\e,1+2c-e\end{matrix};1\right]=\sqrt{\pi}\:\G\left[\begin{matrix}e,&c,&c+\frac{1}{2},&1+2c-e&\\2c,&\frac{1-a+e}{2},&\frac{1+a-e}{2}+c,&1+c-\frac{a+e}{2},&\frac{a+e}{2}\end{matrix}\right]$$こちらで示したルジャンドルの倍数公式\begin{equation}\G(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\G(z)\G\left(z+\frac{1}{2}\right)\tag{6}\end{equation}を $z=c$ として用いれば、定理の完成です。
$\mathfrak{R}(c)>0$,\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,1-a,c\\e,1+2c-e\end{matrix};1\right]=\frac{2^{1-2c}\pi\G(e)\G(1+2c-e)}{\G(\frac{a+e}{2})\G(\frac{1-a+e}{2})\G(\frac{1+a-e}{2}+c)\G(1+c-\frac{a+e}{2})}\tag{7}\end{equation}
このようなpFq型の定理は、極限をとることによって、低い数の超幾何関数に落とす(reduction)ことができます。今の場合は3F2の定理から2F1の定理に「格下げ」する感じです。ガンマ関数やポッホハマー記号が絡む極限計算の方法はこちらが参考になります。必要な補題を以下のようにLemma2として挙げておきます。証明は同記事からどうぞ。
$\sum_{i=0}^k a_i=\sum_{i=0}^k b_i$ とするとき$$\lim_{z\to\infty}\frac{\G(z+a_1)\G(z+a_2)\cdots\G(z+a_k)}{\G(z+b_1)\G(z+b_2)\cdots\G(z+b_k)}=1$$
(7)左辺で $c\to\infty$ をとることを考えます。必要な部分だけ抜き出すと\begin{eqnarray*}\lim_{c\to\infty}\frac{(c)_n}{(1+2c-e)_n} &=& \lim_{c\to\infty}\frac{\G(c+n)\G(1+2c-e)}{\G(c)\G(1+2c-e+n)} \\&=& \lim_{c\to\infty}\frac{2^{2c-e}\G(c+n)\G(c-\frac{e}{2}+\frac{1}{2})\G(c-\frac{e}{2}+1)}{2^{2c-e+n}\G(c)\G(c-\frac{e}{2}+\frac{n+1}{2})\G(c-\frac{e}{2}+\frac{n}{2}+1)}\end{eqnarray*}Lemma2から$$\lim_{c\to\infty}\frac{(c)_n}{(1+2c-e)_n}=\frac{1}{2^n}$$したがって(7)左辺は\begin{equation}\lim_{c\to\infty}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,1-a,c\\e,1+2c-e\end{matrix};1\right]={}_2F_1\left[\begin{matrix}a,1-a\\e\end{matrix};\frac{1}{2}\right]\tag{8}\end{equation}(7)右辺もLemma2によって\begin{equation}\lim_{c\to\infty}\frac{2^{1-2c}\pi\G(e)\G(1+2c-e)}{\G(\frac{a+e}{2})\G(\frac{1-a+e}{2})\G(\frac{1+a-e}{2}+c)\G(1+c-\frac{a+e}{2})}=2^{1-e}\sqrt{\pi}\frac{\G(e)}{\G(\frac{a+e}{2})\G(\frac{1-a+e}{2})}\tag{9}\end{equation}(8)(9)からBaileyの定理を得ます。もう一度倍数公式を使います。
\begin{equation}{}_2F_1\left[\begin{matrix}a,1-a\\e\end{matrix};\frac{1}{2}\right]=\frac{\G(\frac{e}{2})\G(\frac{e+1}{2})}{\G(\frac{a+e}{2})\G(\frac{1-a+e}{2})}\tag{10}\end{equation}
L.Slater, (1966) "Generalized Hypergeometric Functions" Cambridge University Press
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