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【γ7】Γ(1/3),Γ(1/4),Γ(1/6)の値

「ガンマ関数の基礎」シリーズ第7回です。今回はガンマ関数の特殊値のうち初等関数で表せないものを紹介します。

テーマ

Γ(13),Γ(14),Γ(16)などの特殊値を積分表示する。

ガンマ関数の定義と比較的やさしい特殊値については

純虚数における特殊値 Γ(ix) についてはこちら

本稿とあまり関係ありませんが、シリーズ前回の記事はこちら

ベータ関数の利用

次の積分を考えます。10dt1tn(n3)n=2 でもOKなのですが、解析的に求まるので除外しています。ベータ関数を介することでこの積分がガンマ関数と結びつくことが示せます。

ベータ関数

B(x,y)=10tx1(1t)y1dt(Rx,Ry>0)B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y)

積分において tn=x と置換します。t=x1n となりますから10dt1tn=101nx1n1dx1x=1n10x1n1(1x)12dx=1nB(1n,12)=1nΓ(1n)Γ(12)Γ(1n+12)=πnΓ(1n)Γ(1n+12)ここで過去記事で紹介した次の公式を用います。

ルジャンドルの倍数公式

Γ(2z)=22z1πΓ(z)Γ(z+12)

参考記事:

【γ4】ガンマ関数の倍数公式とガウスの乗法公式

これの z=1/n とすることでΓ(1n+12)=πΓ(2n)22n1Γ(1n)これを先ほどの積分計算に代入すると10dt1tn=πnΓ(1n)πΓ(2n)22n1Γ(1n)したがって以下の表式を得ます。

10dt1tn=22n1Γ(1n)2nΓ(2n)

左辺の積分は基本的な形に見えて実は初等的に書けず、ガンマ関数で表せるのですね。

例題で確認 - Γ(1/3),Γ(1/4)

例題1

式(4)で n=2 を考える。両辺を計算して等号が成り立つことを確認せよ。

解析的に計算可能です。左辺と右辺を計算します。LHS=10dt1tn=[arcsint]10=π2RHS=202π2=π2よって(4)が成り立っている。

例題2

これまでの議論と同様に計算して Γ(13) を積分表示せよ。

(4)に代入するだけでは「やった感」があまりないのでちゃんと導出します。10dt1t3=1310x23(1x)12dx=13B(13,12)=13Γ(13)Γ(12)Γ(56)=π3Γ(13)Γ(56)=13213Γ(13)2Γ(23)ここで相反公式Γ(z)Γ(1z)=πsinπzを用いると10dt1t3=Γ(13)33243πしたがって

Γ(13)=(2433π10dt1t3)13

と求まりました。

例題3

これまでの議論と同様に計算して Γ(14) を積分表示せよ。

10dt1t4=1410x34(1x)12dx=14B(14,12)=14Γ(14)Γ(12)Γ(34)=π4Γ(14)Γ(34)=142Γ(14)2Γ(12)((5))=142πΓ(14)2したがって

Γ(14)=2(2π10dt1t4)12

公式の応用 - Γ(1/6)

例題4

倍数公式より Γ(16) を積分表示せよ。

倍数公式(3)に z=1/6 を代入してΓ(13)=22/3πΓ(16)Γ(23)=22/3πΓ(16)2π3Γ(13)よってΓ(16)=3π21/3Γ(13)2=25/935/6π1/6(10dt1t3)23

Γ(16)=25/935/6π1/6(10dt1t3)23

ベータ関数の利用2

(4)を導いたときの要領で10t1tndtを計算します。tn=x と置換します。t=x1n となりますから10t1tndt=101nx2n1dx1x=1n10x2n1(1x)12dx=1nB(2n,12)=1nΓ(2n)Γ(12)Γ(2n+12)=πnΓ(2n)Γ(2n+12)倍数公式Γ(2z)=22z1πΓ(z)Γ(z+12)z=2/n とすれば10t1tndt=πnΓ(2n)24n1Γ(2n)πΓ(4n)=24n1nΓ(2n)2Γ(4n)したがって以下の表式を得ます。

10t1tndt=24n1nΓ(2n)2Γ(4n)

例題で確認 - Γ(2/3),Γ(3/4)

例題5

(9)で n=3 として Γ(23) を積分表示せよ。

(9)より10t1t3dt=24313Γ(23)2Γ(43)=2133Γ(23)213Γ(13)=213Γ(23)2Γ(13)=213Γ(23)232πΓ(23)=2233πΓ(23)3以上から

Γ(23)=(223π310t1t3dt)13

例題6

積分10tm1tndtをガンマ関数で表せ。また n=4 , m=2 とすることで Γ(34) を積分表示せよ。

(9)を導いたときと同様にやります。tn=x と置換すると t=x1n となりますから10tm1tndt=101nxm+1n1dx1x=1n10xm+1n1(1x)12dx=1nB(m+1n,12)=1nΓ(m+1n)Γ(12)Γ(m+1n+12)=πnΓ(m+1n)Γ(m+1n+12)倍数公式Γ(2z)=22z1πΓ(z)Γ(z+12)z=m+1n とすれば10tm1tndt=πnΓ(m+1n)22m+2n1Γ(m+1n)πΓ(2m+2n)=22m+2n1nΓ(m+1n)2Γ(2m+2n)

10tm1tndt=22m+2n1nΓ(m+1n)2Γ(2m+2n)

この式はこれまで求めた(4)(9)を含んだより一般的な表示です。

n=4 , m=2 とすると10t21t4dt=2124Γ(34)2Γ(32)=2124Γ(34)212π=12πΓ(34)2したがって

Γ(34)=(2π10t21t4dt)12

おまけ:三角関数を用いた積分表示

ベータ関数は次の表示をもちます(過去記事参照)。

B(x,y)=2π20sin2x1θcos2y1θdθ

これを駆使すれば、ガンマ関数の値を三角関数を含んだ積分で表現できます。たとえば2π20sin32θdθ=B(54,12)=Γ(54)πΓ(74)=4π3Γ(54)Γ(34)=π3Γ(14)Γ(34)=π3Γ(14)2π2=132πΓ(14)2

Γ(14)=(62ππ20sin32θdθ)12

まとめ

今日はベータ関数を介して10tm1tndt=22m+2n1nΓ(m+1n)2Γ(2m+2n)であることを突き止めました。そして n,m を適切に定めることでさまざまなガンマ関数の値(積分表示)を得ました。その際には倍数公式や相反公式も駆使しました。

結論

Γ(13)=(2433π10dt1t3)13Γ(14)=2(2π10dt1t4)12Γ(16)=259356π16(10dt1t3)23Γ(23)=(223π310t1t3dt)13Γ(34)=(2π10t21t4dt)12

Γ(14)=(62ππ20sin32θdθ)12

本記事では、下記の本を参考にしています。2021年8月現在、第30刷。かなりの廉価ながら特殊関数に関する公式が網羅されています。参照用にするもよし、公式の証明にトライするもよし。


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次回からはディガンマ関数に焦点をあてていきます。

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2 COMMENTS

タダノオジサン

最初にある積分について、t=1は特異点ではあるのですが、積分としては成立可能ということですか?

返信する
まめけび まめけび

はい。冒頭の広義積分は収束します。当ブログには記述してませんが、ベータ関数の積分表示の収束性についてお調べいただくとよいと思います。

返信する

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