楕円関数シリーズの第25回です。シリーズ一覧は：
前回はこちら：
もくじ
テータ関数のランデン変換の式（周期 $\tau$ を2倍にした場合の関係式）を使って、ヤコビの楕円関数バージョンを導出します。$\tau$ を2倍するということは $q=e^{\pi i\tau}$ を $q^2$ にすることを意味します。そのような場合にヤコビの楕円関数に関する各量はどのように変化するのでしょうか。
テータ関数からヤコビの楕円関数へ
$$\frac{\vartheta_3(z,\tau)\vartheta_4(z,\tau)}{\vartheta_4(2z,2\tau)}=\frac{\vartheta_3(\tau)\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_4(2\tau)}$$$$\frac{\vartheta_1(z,\tau)\vartheta_2(z,\tau)}{\vartheta_1(2z,2\tau)}=\frac{\vartheta_3(\tau)\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_4(2\tau)}$$
定理０からただちに\begin{equation}\frac{\vartheta_1(z,\tau)\vartheta_2(z,\tau)}{\vartheta_3(z,\tau)\vartheta_4(z,\tau)}=\frac{\vartheta_1(2z,2\tau)}{\vartheta_4(2z,2\tau)}\tag{1}\end{equation}少し変形して\begin{equation}\frac{\vartheta_1(z,\tau)}{\vartheta_4(z,\tau)}\frac{\vartheta_4(z,\tau)}{\vartheta_3(z,\tau)}\frac{\vartheta_2(z,\tau)}{\vartheta_4(z,\tau)}=\frac{\vartheta_1(2z,2\tau)}{\vartheta_4(2z,2\tau)}\tag{2}\end{equation}簡単のために $\tau_1:=2\tau$ とします。$\tau$ に対応する母数を $k$ , $\tau_1$ に対応する母数を $k_1$ とします（この辺の話については前回から）。つまり\begin{equation}k^{1/2}=\frac{\vartheta_2(\tau)}{\vartheta_3(\tau)}\;,\quad k_1^{1/2}=\frac{\vartheta_2(\tau_1)}{\vartheta_3(\tau_1)}\tag{3}\end{equation}$K$ , $K_1$ も同様に次のようにとります。\begin{equation}K=\frac{\pi}{2}\vartheta_3^{~2}(\tau)\;,\quad K_1=\frac{\pi}{2}\vartheta_3^{~2}(\tau_1)\tag{4}\end{equation}$K'$ と $K_1'$ は次で定まります。\begin{equation}\tau= i\frac{K'}{K}\;,\quad \tau_1 =i\frac{K'_1}{K_1}\tag{5}\end{equation}
ここまでの話をヤコビの楕円関数に置き換えていきます。ヤコビの楕円関数の定義は
\begin{align}\sn (u,k) &=\frac{\vartheta_3(\tau)}{\vartheta_2(\tau)}\frac{\vartheta_1\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}{\vartheta_4\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}\\\cn (u,k) &=\frac{\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_2(\tau)}\frac{\vartheta_2\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}{\vartheta_4\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}\\\dn (u,k) &=\frac{\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_3(\tau)}\frac{\vartheta_3\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}{\vartheta_4\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}\end{align}
定義１を(2)に用いると
\begin{equation}k\frac{\mathrm{sn}(2Kz,k)\: \mathrm{cn}(2Kz,k)}{\mathrm{dn}(2Kz,k)}=k_1^{1/2}\mathrm{sn}(4K_1z,k_1)\tag{6}\end{equation}
k1をkであらわす
(6)で $z=1/4$ とします。このときのヤコビの楕円関数の値はこちらに載っています。それに従うと\begin{equation}\frac{k}{1+k'}=k_1^{1/2}\tag{7}\end{equation}2乗すると $k^2+k'^2=1$ に留意して
\begin{equation}k_1=\frac{1-k'}{1+k'}\tag{8}\end{equation}
を得ます。これで周期 $\tau$ を $2\tau$ にしたときの母数 $k$ の変換則が分かりました。ついでに
\begin{equation}k'_1=\frac{2\sqrt{k'}}{1+k'}\tag{8'}\end{equation}
【補足】母数 $k$ は $\tau$ によって変わるので $k(\tau)$ のようにも書けます。つまり今の場合 $k_1=k(2\tau)$ です。すると(8)は$$k(2\tau)=\frac{1-\sqrt{1-k^2(\tau)}}{1+\sqrt{1-k^2(\tau)}}$$簡単のため $k(2\tau)=a$ , $k(\tau)=b$ とすれば、分母の有理化等の初等的計算によって$$(1+a)^2b^2-4a=0$$なる関係が分かります。
難しくはなりますが、$k(3\tau)$ , $k(5\tau)$ などを考えることもできます。
K1とKの関係
(6)より$$2kK\frac{\mathrm{sn}(2Kz,k)}{2Kz}\frac{\mathrm{cn}(2Kz,k)}{\mathrm{dn}(2Kz,k)}=4k_1^{1/2}K_1\frac{\mathrm{sn}(4K_1z,k_1)}{4K_1z}$$この式で $z\to 0$ としましょう。$\mathrm{sn}z=z+O(z^3)$ , $\mathrm{cn}0=1$ , $\mathrm{dn}0=1$ なので$$2kK=4k_1^{1/2}K_1$$(7)を使えば
\begin{equation}K_1=\frac{1+k'}{2}K\tag{9}\end{equation}
(5)より$$\frac{K_1'}{K_1}=2\frac{K'}{K}$$なので(9)を用いて
\begin{equation}K'_1=(1+k')K'\tag{10}\end{equation}
これで周期 $\tau$ を $2\tau$ にしたときの $K,K'$ の変換則が分かりました。
ランデン変換
(7)(9)を(6)に用いて、$u:=2Kz$ とおくと
\begin{equation}(1+k')\frac{\mathrm{sn}(u,k)\: \mathrm{cn}(u,k)}{\mathrm{dn}(u,k)}=\mathrm{sn}\left((1+k')u,\frac{1-k'}{1+k'}\right)\end{equation}
ランデン変換にはほかの同様な式がいくつかありますので調べてみてください。
先ほどは周期 $\tau$ を2倍にしたときのヤコビの楕円関数について見ました。
ほかにも $\tau$ を $\tau+1$ にしたときなどを考えることができます。これは $q=e^{\pi i\tau}$ を $-q$ に変換するともいえます。テータ関数の無限積表示等から容易に
\begin{align}\vartheta_1(z,\tau+1) &= e^{\pi i/4}\vartheta_1(z,\tau)\\\vartheta_2(z,\tau+1) &= e^{\pi i/4}\vartheta_2(z,\tau)\\\vartheta_3(z,\tau+1) &= \vartheta_4(z,\tau)\\\vartheta_4(z,\tau+1) &= \vartheta_3(z,\tau)\end{align}
が分かります。これを使ってヤコビの楕円関数に関する新たな公式を得ることができます。本記事の最後に例題をつけていますのでやってみてください。
$\tau$ を $-1/\tau$ に変えたどきはどうなるでしょうか？
テータ関数におけるヤコビの虚数変換：
\begin{align}\vartheta_3\left(\frac{z}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)&=e^{-\frac{\pi i}{4}}\tau^{1/2}\exp\left(\frac{\pi i}{\tau}z^2\right)\vartheta_3(z,\tau)\\\vartheta_2\left(\frac{z}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)&=e^{-\frac{\pi i}{4}}\tau^{1/2}\exp\left(\frac{\pi i}{\tau}z^2\right)\vartheta_4(z,\tau)\\\vartheta_4\left(\frac{z}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)&=e^{-\frac{\pi i}{4}}\tau^{1/2}\exp\left(\frac{\pi i}{\tau}z^2\right)\vartheta_2(z,\tau)\\\vartheta_1\left(\frac{z}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)&=-ie^{-\frac{\pi i}{4}}\tau^{1/2}\exp\left(\frac{\pi i}{\tau}z^2\right)\vartheta_1(z,\tau)\end{align}
を使って考えてみましょう。$k=k(\tau)$ としてその補母数を $k'$ とすると\begin{equation}k^{1/2}\left(-\frac{1}{\tau}\right)=\frac{\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_3(\tau)}=(k')^{1/2}\tag{11}\end{equation}よって $\tau\to -1/\tau$ によって $k\to k'$ と変化します。$K=K(k)$ ,$K'=K(k')$とすればヤコビの楕円関数は\begin{align}\mathrm{sn}\left(u,k(-1/\tau)\right) &=\mathrm{sn}\left(u,k'\right)\\&=(k')^{-1/2}\frac{\vartheta_1\left(\frac{u}{2K'},-1/\tau\right)}{\vartheta_4\left(\frac{u}{2K'},-1/\tau\right)}\quad(\because\mathrm{定義1})\\&=-i (k')^{-1/2}\frac{\vartheta_1\left(\frac{u\tau}{2K'},\tau\right)}{\vartheta_2\left(\frac{u\tau}{2K'},\tau\right)}\\&=-i (k')^{-1/2}\frac{\vartheta_1\left(\frac{iu}{2K},\tau\right)}{\vartheta_2\left(\frac{iu}{2K},\tau\right)}\\&=-i\:\mathrm{sc}(iu,k)\end{align}
\begin{equation}\mathrm{sn}\left(u,k'\right)=-i\:\mathrm{sc}(iu,k)\tag{12}\end{equation}
この公式はこちらでも導出済みです。
本記事の後半は先ほどまでの話とは無関係です。前半の話だけでは字数が少ないので2本立てなのです。
$e_1,e_2,e_3$ はすべて異なり、$e_1+e_2+e_3=0$ を満たすとします。\begin{equation}y=e_3+\frac{e_1-e_3}{\mathrm{sn}^2(\lambda u,k)}\tag{13}\end{equation}と定めると$$\frac{dy}{du}=-2\lambda(e_1-e_3)\frac{\mathrm{cn}(\lambda u,k)\:\mathrm{dn}(\lambda u,k)}{\mathrm{sn}^3(\lambda u,k)}$$両辺を2乗します。$\mathrm{sn}^2+\mathrm{cn}^2=1$ , $k^2\mathrm{sn}^2+\mathrm{dn}^2=1$ を使って $\mathrm{sn}$ だけの式にし、(13)を使って $y$ に置き換えればよいです。$$\left(\frac{dy}{du}\right)^2=\frac{4\lambda^2}{e_1-e_3}(y-e_1)(y-e_3)\bigl(y-e_3-k^2(e_1-e_3)\bigr)$$ここで\begin{equation}k^2=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}\;,\quad\lambda^2=e_1-e_3\tag{14}\end{equation}とすれば\begin{equation}\left(\frac{dy}{du}\right)^2=4(y-e_1)(y-e_2)(y-e_3)\tag{15}\end{equation}となります。この式はワイエルシュトラスのペー関数が満たす微分方程式となっています。\begin{align}e_1e_2+e_2e_3+e_3e_1&=-\frac{g_2}{4}\\e_1e_2e_3&=\frac{g_3}{4}\end{align}とおくと\begin{equation}\left(\frac{dy}{du}\right)^2=4y^3-g_2y-g_3\tag{16}\end{equation}とも書けます。(16)の一般解は $y=\wp(u+\a)$ なので$$\wp(u+\a;\:g_2,g_3)=e_3+\frac{e_1-e_3}{\mathrm{sn}^2(u\sqrt{e_1-e_3},\sqrt{\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}})}$$となりますが、$u\to 0$ で $\wp(\a)=\infty$ であるため $\a=0$ です。したがって
\begin{equation}\wp(u;\:g_2,g_3)=e_3+\frac{e_1-e_3}{\mathrm{sn}^2\left(u\sqrt{e_1-e_3},\sqrt{\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}}\right)}\end{equation}
ランデン変換
$k_1=k'$ となるとき $k,k',k_1,k'_1$ を求めよ。またこのとき $K'_1=\sqrt{2}K_1$ を示せ。
(8)より$$k_1=k'=\sqrt{2}-1$$補母数は$$k'_1=k=\sqrt{2\sqrt{2}-2}$$である。
次に $k_1=k'$ より $K_1=K'$ である。また $k'_1=k$ も成り立っているので $K'_1=K$ である。(9)(10)も併せると$$\left(K'_1\right)^2=2K_1^2$$
※なおここであらわれた母数 $\sqrt{2}-1$ はsingular modulus $k_2$ であり$$\frac{K'(\sqrt{2}-1)}{K(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}$$となっています。
前回論じたように $\tau=i$ のとき $k=k'$ , $K=K'$ であり$$K=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{4\sqrt{\pi}}$$である。$\tau=2i$ のときの $k,k'$ （4番目のsingular valueである）および $\vartheta_3(0,2i)$ を求めよ。
ランデン変換を使いましょう
τを１ずらす変換
定義１の第1式で $\tau$ を $\tau+1$ として、補題３を使いながら計算し次式を得よ：$$\mathrm{sn}\left(k'u,i\frac{k}{k'}\right)=k'\frac{\mathrm{sn}(u,k)}{\mathrm{dn}(u,k)}$$ただし $k=k(\tau)$ である（周期 $\tau$ のときの母数を $k$ と書いた）。
周期 $\tau+1$ のときの母数を $k(\tau+1)$ と書くことにする。定義１と補題３により$$\sn \bigl(u,k(\tau+1)\bigr) =\frac{\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_2(\tau)}\frac{\vartheta_1\left(\frac{u}{\pi\vartheta_4^{~2}},\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{u}{\pi\vartheta_4^{~2}},\tau\right)}$$ここで(3)と補題３および $k'=\vartheta_4^2/\vartheta_3^2$ から$$k(\tau+1)=i\frac{\vartheta_2^{~2}(\tau)}{\vartheta_4^{~2}(\tau)}=i\frac{k}{k'}$$となるので$$\mathrm{sn}\left(u,i\frac{k}{k'}\right)=\frac{\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_2(\tau)}\frac{\vartheta_1\left(\frac{u}{\pi\vartheta_4^{~2}},\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{u}{\pi\vartheta_4^{~2}},\tau\right)}$$$u$ を $k'u$ とすると$$\mathrm{sn}\left(k'u,i\frac{k}{k'}\right)=\frac{\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_2(\tau)}\frac{\vartheta_1\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{u}{\pi\vartheta_3^{~2}},\tau\right)}$$あとは定義１を見て計算するとよい。
第５版です。いわずと知れた名著。楕円関数にかなりのページを割いています。
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