超幾何関数・一般化された超幾何関数の、以下の特殊値を導出する。
Dixonの定理より\begin{eqnarray}&&{}_4F_3\left[\begin{matrix}1,1,1+a,1+b\\2,2+a-b,2+a\end{matrix};1\right] \\&=& \frac{(1+a)(1+a-b)}{ab}\sum_{n=1}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{n(1+a-b)_n(1+a)_n} \\ &=& \frac{(1+a)(1+a-b)}{ab}\left[\psi\left(1+\frac{a}{2}\right)+\psi(1+a-b)-\psi(1+a)-\psi\left(1+\frac{a}{2}-b\right)\right]\tag{E}\end{eqnarray}4F3公式より\begin{eqnarray}&&{}_5F_4\left[\begin{matrix}1,1,1+a,2+\frac{a}{2},1+b\\2+a,2,1+\frac{a}{2},2+a-b\end{matrix};-1\right] \\&=& -\frac{(1+a)(1+a-b)}{(2+a)b}\sum_{n=1}^\infty \frac{(a)_n(1+\frac{a}{2})_n(b)_n(-1)^n}{n(\frac{a}{2})_n(1+a-b)_n(1+a)_n} \\ &=& \frac{(1+a)(1+a-b)}{(2+a)b}\left[\psi(1+a)-\psi(1+a-b)\right]\tag{F}\end{eqnarray}Dougallの7F6-和公式より\begin{eqnarray}&&{}_8F_7\left[\begin{matrix}1,1,1+a,1+b,1+c,2+\frac{a}{2},2+2a-b-c+m,1-m\\2,1+\frac{a}{2},2+a-b,2+a-c,2+a,1+b+c-a-m,2+a+m\end{matrix};1\right] \\&=& -\frac{(1+a)(1+a-b)(1+a-c)(b+c-a-m)(1+a+m)}{bcm(2+a)(1+2a-b-c+m)}\\&&\times\Bigl[\psi(1+a-b)+\psi(1+a-c)+\psi(1+a+m)+\psi(1+a-b-c+m)\\&&\quad\quad-\psi(1+a)-\psi(1+a-b-c)-\psi(1+a-b+m)-\psi(1+a-c+m)\Bigr]\tag{G}\end{eqnarray}極限による簡約化で\begin{eqnarray}&&{}_6F_5\left[\begin{matrix}1,1,a,b,c,\frac{3+c}{2}\\2,\frac{1+c}{2},1+c,2-a+c,2-b+c\end{matrix};1\right] \\&=& \frac{c(1-a+c)(1-b+c)}{(a-1)(b-1)(c+1)}\\&&\times\Bigl[\psi(1-a+c)+\psi(1-b+c)-\psi(c)-\psi(2+c-a-b)\Bigr]\tag{H}\end{eqnarray}
6F5公式より\begin{eqnarray}&&{}_7F_6\left[\begin{matrix}1,1,a,1+b,1+c,1+d,\frac{3+a}{2}\\2,\frac{1+a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a\end{matrix};-1\right] \\&=& \frac{a(a-b)(a-c)(a-d)}{(1+a)bcd}\Bigl(\psi(a)-\psi(a-d)\Bigr)\\&&\quad- \frac{a(a-d)(a-b-c)}{bc(1+a)}{}_4F_3\left[\begin{matrix}1,1,1+d,1+a-b-c\\2,1+a-b,1+a-c\end{matrix};1\right]\tag{I}\end{eqnarray}
前回の記事で(A)～(D)を導出したときと同様の方法を使うので、読んでおくのがおすすめ。
超幾何関数のパラメータによる微分とディガンマ関数、一般化超幾何関数の特殊値１
計算の方法は、一般化超幾何関数をパラメータで微分し、ゼロへの極限をとるというものです。
参考文献は B.N.Al-Saqabi, S.L.Kalla, H.M.Srivastava(1991), "A Certain Family of Infinite Series Associated with Digamma Functions" です。
こちらで証明したDixonの定理\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\1+a-b,1+a-c\end{matrix};1\right]=\frac{\G(1+\frac{a}{2})\G(1+a-b)\G(1+a-c)\G(1+\frac{a}{2}-b-c)}{\G(1+a)\G(1+\frac{a}{2}-b)\G(1+\frac{a}{2}-c)\G(1+a-b-c)}\tag{1}\end{equation}の両辺を $c$ で微分すると\begin{eqnarray*}&&\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_n(b)_n(c)_n}{(1+a-b)_n(1+a-c)_nn!}\Bigl[\psi(c+n)-\psi(c)+\psi(1+a-c+n)-\psi(1+a-c)\Bigr]\\&=& \frac{\G(1+\frac{a}{2})\G(1+a-b)\G(1+a-c)\G(1+\frac{a}{2}-b-c)}{\G(1+a)\G(1+\frac{a}{2}-b)\G(1+\frac{a}{2}-c)\G(1+a-b-c)}\\&&\times\Bigl[-\psi(1+a-c)-\psi(1+\frac{a}{2}-b-c)+\psi(1+\frac{a}{2}-c)+\psi(1+a-b-c)\Bigr]\end{eqnarray*}$c=0$ とすると $c\psi(c)\to -1$ より\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{n(1+a-b)_n(1+a)_n} =\psi\left(1+\frac{a}{2}\right)+\psi(1+a-b)-\psi(1+a)-\psi\left(1+\frac{a}{2}-b\right)\tag{2}\end{equation}計算過程を端折っていますが、このあたりについては前回記事を参照。
(2)の左辺は一般化された超幾何関数で表すことができます。すなわち
\begin{eqnarray}&&{}_4F_3\left[\begin{matrix}1,1,1+a,1+b\\2,2+a-b,2+a\end{matrix};1\right] \\&=&\frac{(1+a)(1+a-b)}{ab}\left[\psi\left(1+\frac{a}{2}\right)+\psi(1+a-b)-\psi(1+a)-\psi\left(1+\frac{a}{2}-b\right)\right]\tag{3}\end{eqnarray}
この左辺はnearly-poisedな級数となっています。
$a$ を $a-1$ とおいてもいいでしょう。その場合は\begin{eqnarray}&&{}_4F_3\left[\begin{matrix}1,1,a,1+b\\2,1+a-b,1+a\end{matrix};1\right] \\&=&\frac{a(a-b)}{(a-1)b}\left[\psi\left(\frac{1+a}{2}\right)+\psi(a-b)-\psi(a)-\psi\left(\frac{1+a}{2}-b\right)\right]\tag{4}\end{eqnarray}
こちらで導出した公式\begin{eqnarray}{}_4F_{3}&&\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&b,&c\\ &\frac{a}{2},&1+a-b,&1+a-c\end{matrix};-1\right]\\&&=\frac{\G(1+a-b)\G(1+a-c)}{\G(1+a)\G(1+a-b-c)}\tag{5}\end{eqnarray}の両辺を $c$ で微分すると\begin{eqnarray}&&\sum_{n=1}^\infty \frac{(a)_n(1+\frac{a}{2})_n(b)_n(c)_n(-1)^n}{(\frac{a}{2})_n(1+a-b)_n(1+a-c)_nn!}\Bigl[\psi(c+n)-\psi(c)+\psi(1+a-c+n)-\psi(1+a-c)\Bigr] \\ &=& \frac{\G(1+a-b)\G(1+a-c)}{\G(1+a)\G(1+a-b-c)}\left[-\psi(1+a-c)+\psi(1+a-b-c)\right]\tag{6}\end{eqnarray}$c=0$ とすると\begin{eqnarray}\sum_{n=1}^\infty \frac{(a)_n(1+\frac{a}{2})_n(b)_n(-1)^n}{n(\frac{a}{2})_n(1+a-b)_n(1+a)_n} = \psi(1+a-b)-\psi(1+a)\tag{7}\end{eqnarray}(7)の左辺を一般化された超幾何関数で書き表すと
\begin{eqnarray}&&{}_5F_4\left[\begin{matrix}1,1,1+a,2+\frac{a}{2},1+b\\2+a,2,1+\frac{a}{2},2+a-b\end{matrix};-1\right] \\&=& \frac{(1+a)(1+a-b)}{(2+a)b}\left[\psi(1+a)-\psi(1+a-b)\right]\tag{8}\end{eqnarray}
この左辺はnearly-poisedな級数となっています。
$a$ を $a-1$ とおいた場合は\begin{equation}{}_5F_4\left[\begin{matrix}1,1,a,\frac{3+a}{2},1+b\\1+a,2,\frac{1+a}{2},1+a-b\end{matrix};-1\right] = \frac{a(a-b)}{(1+a)b}\left[\psi(a)-\psi(a-b)\right]\tag{9}\end{equation}
こちらで証明したDougallの7F6-和公式：
$1+2a=b+c+d+e-m$ のとき\begin{eqnarray}&&{}_7F_6\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&b,&c,&d,&e,&-m\\&\frac{a}{2},&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&=&\frac{(1+a)_m(1+a-b-c)_m(1+a-b-d)_m(1+a-c-d)_m}{(1+a-b)_m(1+a-c)_m(1+a-d)_m(1+a-b-c-d)_m}\tag{10}\end{eqnarray}
$e=1+2a-b-c-d+m$ を代入して $e$ を消去します。その後 $d$ で微分すると\begin{eqnarray}&&\sum_{n=1}^m\frac{(a)_n(1+\frac{a}{2})_n(b)_n(c)_n(d)_n(1+2a-b-c-d+m)_n(-m)_n}{(\frac{a}{2})_n(1+a-b)_n(1+a-c)_n(1+a-d)_n(b+c+d-a-m)_n(1+a+m)_nn!}\\&&\times\Bigl[\psi(d+n)-\psi(d)-\psi(1+2a-b-c-d+m+n)+\psi(1+2a-b-c-d+m)\\&&\quad\quad+\psi(1+a-d+n)-\psi(1+a-d)-\psi(b+c+d-a-m+n)+\psi(b+c+d-a-m)\Bigr] \\&=& \frac{(1+a)_m(1+a-b-c)_m(1+a-b-d)_m(1+a-c-d)_m}{(1+a-b)_m(1+a-c)_m(1+a-d)_m(1+a-b-c-d)_m}\\&&\times\Bigl[\psi(1+a-b-d)-\psi(1+a-b-d+m)+\psi(1+a-c-d)-\psi(1+a-c-d+m)\\&&\quad\quad +\psi(1+a-d+m)-\psi(1+a-d)+\psi(1+a-b-c-d+n)-\psi(1+a-b-c-d)\Bigr]\tag{11}\end{eqnarray}$d=0$ とすると\begin{eqnarray}&&\sum_{n=1}^m\frac{(a)_n(1+\frac{a}{2})_n(b)_n(c)_n(1+2a-b-c-m)_n(-m)_n}{n(\frac{a}{2})_n(1+a-b)_n(1+a-c)_n(1+a)_n(b+c-a-m)_n(1+a+m)_n}\\&=& \psi(1+a-b)+\psi(1+a-c)+\psi(1+a+m)+\psi(1+a-b-c+m)\\&&\quad -\psi(1+a)-\psi(1+a-b+m)-\psi(1+a-b-c)-\psi(1+a-c+m) \tag{12}\end{eqnarray}左辺を一般化された超幾何関数で表現すれば
\begin{eqnarray}&&{}_8F_7\left[\begin{matrix}1,1,1+a,1+b,1+c,2+\frac{a}{2},2+2a-b-c+m,1-m\\2,1+\frac{a}{2},2+a-b,2+a-c,2+a,1+b+c-a-m,2+a+m\end{matrix};1\right] \\&=& -\frac{(1+a)(1+a-b)(1+a-c)(b+c-a-m)(1+a+m)}{bcm(2+a)(1+2a-b-c+m)}\\&&\times\Bigl[\psi(1+a-b)+\psi(1+a-c)+\psi(1+a+m)+\psi(1+a-b-c+m)\\&&\quad\quad-\psi(1+a)-\psi(1+a-b-c)-\psi(1+a-b+m)-\psi(1+a-c+m)\Bigr]\tag{13}\end{eqnarray}
$a$ を $a-1$ とした場合は\begin{eqnarray}&&{}_8F_7\left[\begin{matrix}1,1,a,1+b,1+c,\frac{3+a}{2},2a-b-c+m,1-m\\2,\frac{1+a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a,2+b+c-a-m,1+a+m\end{matrix};1\right] \\&=& -\frac{a(a-b)(a-c)(1+b+c-a-m)(a+m)}{bcm(1+a)(2a-b-c+m-1)}\\&&\times\Bigl[\psi(a-b)+\psi(a-c)+\psi(a+m)+\psi(a-b-c+m)\\&&\quad\quad-\psi(a)-\psi(a-b-c)-\psi(a-b+m)-\psi(a-c+m)\Bigr]\tag{13'}\end{eqnarray}
定理３で $m\to\infty$ の極限をとると\begin{eqnarray*}\frac{(2+2a-b-c+m)_n(1-m)_n}{(1+b+c-a-m)_n(2+a+m)_n} &=&\frac{(2+2a-b-c+m)_n(m-n)_n}{(a-b-c+m-n)_n(2+a+m)_n}\\&&\xrightarrow[m\to\infty]{}1\end{eqnarray*}ですので\begin{eqnarray}&&{}_6F_5\left[\begin{matrix}1,1,1+a,1+b,1+c,2+\frac{a}{2}\\2,1+\frac{a}{2},2+a-b,2+a-c,2+a\end{matrix};1\right] \\&=& \frac{(1+a)(1+a-b)(1+a-c)}{bc(2+a)}\\&&\times\Bigl[\psi(1+a-b)+\psi(1+a-c)-\psi(1+a)-\psi(1+a-b-c)\Bigr]\tag{14}\end{eqnarray}$a\to c-1$ , $b\to b-1$ , $c\to a-1$ とおくと
\begin{eqnarray}&&{}_6F_5\left[\begin{matrix}1,1,a,b,c,\frac{3+c}{2}\\2,\frac{1+c}{2},1+c,2-a+c,2-b+c\end{matrix};1\right] \\&=& \frac{c(1-a+c)(1-b+c)}{(a-1)(b-1)(c+1)}\\&&\times\Bigl[\psi(1-a+c)+\psi(1-b+c)-\psi(c)-\psi(2+c-a-b)\Bigr]\tag{16}\end{eqnarray}
こちらで示した公式： \begin{eqnarray}&&{}_6F_5\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&b,&c,&d,&e\\ &\frac{a}{2},&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e\end{matrix};-1\right]\\&=&\frac{\G(1+a-d)\G(1+a-e)}{\G(1+a)\G(1+a-d-e)}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1+a-b-c\:,\:d\:,\:e\\ 1+a-b\:,\:1+a-c\end{matrix};1\right]\tag{17}\end{eqnarray}を $e$ で微分すると\begin{eqnarray}&&\sum_{n=1}^m\frac{(a)_n(1+\frac{a}{2})_n(b)_n(c)_n(d)_n(e)_n(-1)^n}{(\frac{a}{2})_n(1+a-b)_n(1+a-c)_n(1+a-d)_n(1+a-e)_n n!}\\&&\times\Bigl[\psi(e+n)-\psi(e)+\psi(1+a-e+n)-\psi(1+a-e)\Bigr] \\&=& \frac{\G(1+a-d)\G(1+a-e)}{\G(1+a)\G(1+a-d-e)}\Bigl(\psi(1+a-d-e)-\psi(1+a-e)\Bigr){}_3F_2\left[\begin{matrix}1+a-b-c\:,\:d\:,\:e\\ 1+a-b\:,\:1+a-c\end{matrix};1\right]\\&&+\frac{\G(1+a-d)\G(1+a-e)}{\G(1+a)\G(1+a-d-e)}\sum_{n=1}^\infty\frac{(1+a-b-c)_n(d)_n(e)_n}{(1+a-b)_n(1+a-c)_nn!}\Bigl(\psi(e+n)-\psi(e)\Bigr)\tag{18}\end{eqnarray}$e=0$ として、$a\to a-1$ と書き直すと
\begin{eqnarray}&&{}_7F_6\left[\begin{matrix}1,1,a,1+b,1+c,1+d,\frac{3+a}{2}\\2,\frac{1+a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a\end{matrix};-1\right] \\&=& \frac{a(a-b)(a-c)(a-d)}{(1+a)bcd}\Bigl(\psi(a)-\psi(a-d)\Bigr)\\&&\quad- \frac{a(a-d)(a-b-c)}{bc(1+a)}{}_4F_3\left[\begin{matrix}1,1,1+d,1+a-b-c\\2,1+a-b,1+a-c\end{matrix};1\right]\tag{19}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}{}_5F_4\left[\begin{matrix}1,1,\frac{3}{2},\frac{9}{4},\frac{4}{3}\\\frac{5}{2},2,\frac{5}{4},\frac{13}{6}\end{matrix};-1\right] \\&=& \frac{21}{20}\left(-8+\pi\sqrt{3}+3\ln3\right)\tag{20}\end{eqnarray}
前回および今回は、微分してゼロを代入しましたが、ゼロ以外の値を考えても面白そうです。次回は:
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