$x>0$ における微分方程式\begin{equation}x^4 y''-x^3y'=x^2y'^2-4y^2\tag{1}\end{equation}を考えます．初期条件は\begin{equation}y(1)=1\;,\quad y'(1)=-4\tag{2}\end{equation}であるとします．
(1)において $x$ を「1次」とみなしたとき，$y$ が「2次」であれば，すべての項が「4次」となります．
そういった場合に有効な置換は\begin{equation}x=e^\t\;,\quad y=x^2z=e^{2\t}z\tag{3}\end{equation}が挙げられます．これによって\begin{align}\frac{dy}{dx} &= e^\t\left(2z+\frac{dz}{d\t}\right)\tag{4a}\\\frac{d^2y}{dx^2} &= 2z+3\frac{dz}{d\t}+\frac{d^2z}{d\t^2}\tag{4b}\end{align}これを(1)に放り込むと $e^\t$ が見事に消えて\begin{equation}\frac{d^2z}{d\t^2}-\left(\frac{dz}{d\t}\right)^2+2\frac{dz}{d\t}-4z\frac{dz}{d\t}=0\tag{5}\end{equation}ここで初期条件(2)は\begin{equation}z(0)=1\;,\quad z'(0)=-6\tag{6}\end{equation}と書き直せます．
(5)は $\t$ を方程式に含んでいません．つまり $F(y,y',y'')=0$ 型であり，階数低減法が使えます．
具体的には $w=z'$ とおいて $z$ を独立変数とみなすことにより\begin{equation}\frac{dw}{dz}-w=4z-2\tag{7}\end{equation}(7)は１階微分方程式の基本です．(7)の両辺に $e^{-z}$ をかけると\begin{equation}\frac{d}{dz}(we^{-z})=(4z-2)e^{-z}\tag{8}\end{equation}積分を実行して条件(6)を適用すると$$w=-2(2z+1)$$したがって$$\frac{dz}{d\t}=-2(2z+1)$$これは，変数分離法によって簡単に解けます．
以上から\begin{equation}y=-\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2x^2}\tag{9}\end{equation}と求まります．
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