流れは前回と同じです．
根号内が3次の楕円積分を考えます．\begin{equation}I=\int\frac{dx}{\sqrt{x^3+ax+b}}\tag{1}\end{equation}これに $x=z^4+a_2z^2+a_1z+a_0$ なる置換を施すと\begin{equation}I=\int\frac{dz}{\sqrt{Q(z)+\frac{R(z)}{(4z^3+2a_2z+a_1)^2}}}\tag{2}\end{equation}という形になります．ここで $R(z)$ は5次式です．
恒等的に $R(z)=0$ となるには２つのケースがあります．
◎ケース１：\begin{align}a_1&=0\\ a&=-\frac{a_2^4-12a_0a_2^2+48a_0^2}{16}\\ b&= \frac{a_0a_2^4-12a_0^2a_2^2+32a_0^3}{16} \end{align}
◎ケース２：\begin{align}a_0&=\frac{a_2^2}{6}\\a&=-\frac{a_2^4-27a_1^2a_2}{48}\\b &=-\frac{8a_2^6+540a_1^2a_2^3-729a_1^4}{6912}\end{align}
すると次のようになります．
$x=z^4+a_2z^2+a_0$ の置換により\begin{align}&\int\frac{dx}{\sqrt{x^3-\frac{a_2^4-12a_0a_2^2+48a_0^2}{16}x+\frac{a_0a_2^4-12a_0^2a_2^2+32a_0^3}{16}}}\\&\quad =4\int\frac{dz}{\sqrt{z^6+2a_2z^4+(3a_0+\frac{3}{4}a_2^2)z^2+3a_0a_2-\frac{1}{4}a_2^3}}\end{align}$$j=\frac{1728(a_2^4-12a_0a_2^2+48a_0^2)^3}{a_2^4(a_2^2-12a_0)^2(a_2^2-6a_0)^2}$$
$x=z^4+a_2z^2+a_1z+\frac{a_2^2}{6}$ の置換により\begin{align}&\int\frac{dx}{\sqrt{x^3-\frac{a_2^4-27a_1^2a_2}{48}x-\frac{8a_2^6+540a_1^2a_2^3-729a_1^4}{6912}}}\\&\quad =4\int\frac{dz}{\sqrt{z^6+2a_2z^4+\frac{5}{2}a_1z^3+\frac{5}{4}a_2^2z^2+\frac{9}{4}a_1a_2z+\frac{a_2^3}{4}+\frac{27}{16}a_1^2}}\end{align}$$j=\frac{4096a_2^3(27a_1^2-a_2^3)^3}{a_1^2(8a_2^3+27a_1^2)^3}$$
$j=1728$ でケース１，ケース２それぞれに適用しましょう．
ケース１ではさらに３パターンに分かれて，
(A) $a_0=0$ , $a_2:$ 任意. ここでは $a_2=2$ とする
(B) $a_0=\frac{a_2^2}{8}$ , $a_2:$ 任意. ここでは $a_2=2$ とする
(C) $a_0=\frac{a_2^2}{4}$ , $a_2:$ 任意. ここでは $a_2=2$ とする
ケース２では結構めんどうな式になるのでやめます．
得られる結果は
\begin{equation}\int_{\sqrt{\sqrt{2}-1}}^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^6+4z^4+3z^2-2}}=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{8\sqrt{2\pi}}\end{equation}
\begin{equation}\int_0^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^6+4z^4+\frac{9}{2}z^2+1}}=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{8\sqrt{\pi}}\end{equation}
\begin{equation}\int_0^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^6+4z^4+6z^2+4}}=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{8\sqrt{2\pi}}\end{equation}
$j=0$ とおくと，ケース１はややこしいのでやめにします．
ケース２ではいくつかパターンがありますが，
(A) $a_1=\pm\sqrt{\frac{a_2^3}{27}}$ , $a_2$ : 任意．ここでは $a_2=12$ とする
(B) $a_2=0$ , $a_1$：任意．ここでは $a_1=\pm 4$ とする
得られる結果は
\begin{equation}\int_{2^{1/3}-2^{2/3}}^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^6+24z^4+20z^3+180z^2+216z+540}}=\frac{\G^3(\frac{1}{3})}{48\pi}\end{equation}
\begin{equation}\int_{\mp 1}^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^6\pm10z^3+27}}=\frac{\G^3(\frac{1}{3})}{2^{10/3}\pi}\end{equation}
(B)のちょっとした応用で
\begin{equation}\int_{0}^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^6+10z^3+27}}=\frac{\G^3(\frac{1}{3})}{2^{1/3}\cdot 12\pi}\end{equation}
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