楕円曲線 $E$ を考えます．\begin{equation}E:\; y^2=x^3-35x-98\tag{1}\end{equation}この $j$-invariantは\begin{equation}j(E)=-3375\tag{2}\end{equation}この数は実は楕円関数論における7番目のsingular value $k_7$ に相当します．\begin{equation}k_7=\frac{3-\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}\tag{3}\end{equation}
さて $E$ には $\CC$ では（いまは余計ですが実は$\QQ(\sqrt{-7})$でも）同型な楕円曲線 $E_1$ をもちます．\begin{equation}E_1:\; v^2=u^3-1715u+33614 \tag{4}\end{equation}もちろん\begin{equation}j(E_1)=-3375\tag{5}\end{equation}です．ちなみに $\QQ$ 上であれば7-isogenyです．
(1)から(4)への写像 $\phi_1$ は\begin{equation}(u,v) = \left(\frac{Q(x)}{P(x)^2}\:,\: \frac{R(x)}{P(x)^3}y\right)\tag{6}\end{equation}ただし\begin{align}P(x) &=x^3+7x^2-21x-91\\Q(x) &=x^7+14x^6+343x^5-588x^4-24353x^3-120050x^2-285719x-422576\\R(x)&= (x^3+35x^2+147x+49)(x^6-14x^5+91x^4+588x^3+10535x^2+59682x+168413)\end{align}
積分の話につなげるために，(6)よりつぎのことを確認しておきます．\begin{equation}\frac{du}{v} = \frac{1}{v}\frac{du}{dx}dx =\frac{dx}{y}\tag{7}\end{equation}したがって\begin{equation}\int_{7}^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^3-35x-98}}=\int_{-49}^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^3-1715x+33614}}\tag{8}\end{equation}見た目をかっこよくするために両辺とも積分区間をスライドさせます．\begin{equation}\int_{0}^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^3+21x^2+112x}}=\int_{0}^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^3-147x^2+5488x}}\tag{9}\end{equation}右辺で $x$ を $7x$ とすると\begin{equation}\sqrt{7}\int_{0}^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^3+21x^2+112x}}=\int_{0}^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^3-21x^2+112x}}\tag{10}\end{equation}
(10)式の時点で割と満足なのですが，先ほど述べたようにこの積分は $k_7$ が関わってますので，ガンマ関数で書けるはず．
(10)の左辺を計算するには，Byrd et al.[1] の86ページからが参考になります．簡単に言うと，根号内を $x$ で括って，残りの因子を平方完成します．結果，\begin{equation}\int_{0}^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^3+21x^2+112x}}=7^{-1/4}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\t}{\sqrt{1-k_7^2\sin^2\t}}=7^{-1/4}K(k_7)\tag{11}\end{equation}完全楕円積分の値は調べると\begin{equation}K(k_7)=\frac{\G(\frac{1}{7})\G(\frac{2}{7})\G(\frac{4}{7})}{7^{1/4}4\pi}\tag{12}\end{equation}よって
\begin{align}\int_{0}^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^3+21x^2+112x}}=\frac{\G(\frac{1}{7})\G(\frac{2}{7})\G(\frac{4}{7})}{4\pi\sqrt{7}}\tag{13}\\\int_{0}^\infty\frac{dx}{\sqrt{x^3-21x^2+112x}}=\frac{\G(\frac{1}{7})\G(\frac{2}{7})\G(\frac{4}{7})}{4\pi}\tag{14}\end{align}
(13)(14)のほうがもちろん進歩した式だけれど，(10)がかっこいいと思う．
[1] Byrd, P.F. and Friedman, M.D. (1971) Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. 2nd Edition,Revised, Springer-Verlag.Please support me!
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