\begin{equation}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1}\tag{1}\end{equation}
これの値について考えます（第2弾）。
第1弾はこちら。フーリエ級数を用いたものです。
$\sin z$ は
\begin{equation}\sin z=z\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^2}{n^2\pi^2}\right)\tag{2}\end{equation}
と表せます（無限乗積表示）。$\sin z=0$ の解が $z=0,\pm\pi,\pm 2\pi,\cdots$ であることから形式的にはうなずけると思います。
これについては以下も参考にしてください：
(2)の両辺の対数をとれば$$\log\sin z=\log z+\sum_{n=1}^{\infty}\log\left(1-\frac{z^2}{n^2\pi^2}\right)$$両辺を微分します。$$\cot z=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-2\frac{z}{n^2\pi^2}}{1-\frac{z^2}{n^2\pi^2}}$$このように無限乗積は対数をとれば無限和になり、微分すると分数をベースとした式の無限和になります。
以上より
\begin{equation}\cot z=\frac{1}{z}+2z\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{z^2-n^2\pi^2}\tag{3}\end{equation}
(3)に $z=\pi i$ を代入しましょう。\begin{eqnarray*}\cot \pi i&=&\frac{1}{\pi i}+2\pi i\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{-\pi^2-n^2\pi^2}\\&=&-\frac{i}{\pi}-\frac{2}{\pi} i\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\end{eqnarray*}ここで\begin{eqnarray*}\cot \pi i&=&\frac{\cos\pi i}{\sin\pi i}\\&=&i\frac{e^{-\pi}+e^{\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}}\\&=&-i\frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{\pi}-e^{-\pi}}\\&=&-i\coth\pi\end{eqnarray*}よって$$-i\coth\pi=-\frac{i}{\pi}-\frac{2}{\pi} i\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}$$$$\coth\pi=\frac{1}{\pi}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}$$$$\pi\coth\pi=1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}$$と変形されて結局
\begin{equation}\therefore\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}=\frac{1}{2}(\pi\coth\pi -1)\tag{4}\end{equation}
関数（今回は $\cot z$)を部分分数展開したりフーリエ級数で表すなどして，特定の値を代入すると無限級数の値が得られる例です。
以下の記事も併せてご覧ください。
同じものを複素フーリエ級数で導出しました：
類似した級数を複素フーリエ級数で導出しました：
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