前回の記事はこちら：
超幾何関数の基礎的な知識を前提としています。超幾何関数が満たす微分方程式については
変換公式については例えば：
ガンマ関数も駆使します：
$$F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix};z\right)$$の値について考察する。
参考文献は、数学誌『Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society』の131巻（2001年）に掲載されたG.S.Joyce and I.J.Zucker, Special values of the hypergeometric series II. です（以下、"Joyce-Zucker(2001)"）。
前回とほとんど同じ方法で導出します。
Higher Transcendental Functions vol.1 の2.11節(31)式\begin{equation}F\left(\begin{matrix}a,b\\2b\end{matrix};z\right) = \left(\frac{1+\sqrt{1-z}}{2}\right)^{-2a}F\left(\begin{matrix}a,a-b+\frac{1}{2}\\b+\frac{1}{2}\end{matrix};\left(\frac{1-\sqrt{1-z}}{1+\sqrt{1-z}}\right)^2\right)\tag{1.1}\end{equation}で $a=b=\frac{1}{4}$ とおくと\begin{equation}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}\end{matrix};z\right) = \left(\frac{1+\sqrt{1-z}}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix};\left(\frac{1-\sqrt{1-z}}{1+\sqrt{1-z}}\right)^2\right)\tag{1.2}\end{equation}
過去記事で証明したKummerの公式\begin{eqnarray}\frac{2\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})}F\left(\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{b}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix};z\right)&=&F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1+\sqrt{z}}{2}\right)+F\left(\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1-\sqrt{z}}{2}\right)\tag{2.1}\end{eqnarray}で $a=b=\frac{1}{2}$ とします。左辺にはガンマ関数の相反公式を使うと\begin{eqnarray}\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{\pi^\frac{3}{2}}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}\end{matrix};z\right)&=&F\left(\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\1\end{matrix};\frac{1+\sqrt{z}}{2}\right)+F\left(\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\1\end{matrix};\frac{1-\sqrt{z}}{2}\right)\tag{2.2}\end{eqnarray}
第1種完全楕円積分 $K(k)$ は超幾何関数で次のように表されます。\begin{equation}K(k)=\frac{\pi}{2}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\1\end{matrix};k^2\right)\tag{3.1}\end{equation}この $k$ を母数(modulus)と呼びます。これに対し $k':=\sqrt{1-k^2}$ を補母数といいます。
いま、$k=\sqrt{\frac{1+\sqrt{z}}{2}}$ とすると $k'=\sqrt{\frac{1-\sqrt{z}}{2}}$ となりますので(2.2)に用いると\begin{eqnarray}\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{\pi^\frac{3}{2}}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}\end{matrix};z\right)&=&\frac{2}{\pi}K(k)+\frac{2}{\pi}K(k')\tag{3.2}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\therefore\quad\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{2\sqrt{\pi}}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}\end{matrix};z\right)&=&K(k)+K(k')\tag{3.3}\end{eqnarray}この $K(k')$ は $k$ の関数として $K'(k)$ と書くこともあります、これを「補完全楕円積分」といいます。
(1.2)と合わせましょう。$z=1-4(kk')^2$ であることに注意します。\begin{equation}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix};\left(\frac{1-2kk'}{1+2kk'}\right)^2\right)=\frac{\sqrt{2\pi}}{\G^2(\frac{1}{4})}\sqrt{1+2kk'}\left(K(k)+K'(k)\right)\tag{3.4}\end{equation}左辺の一部を\begin{equation}\xi(k):=\left(\frac{1-2kk'}{1+2kk'}\right)^2\tag{3.5}\end{equation}とおいておきます。したがって以下のように書けます。
\begin{equation}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix};\xi(k)\right)=\frac{\sqrt{2\pi}}{\G^2(\frac{1}{4})}\sqrt{1+2kk'}\left(K(k)+K'(k)\right)\tag{3.6}\end{equation}ただし$$\xi(k)=\left(\frac{1-2kk'}{1+2kk'}\right)^2$$
(3.6)の $k$ に適当に数値を代入すれば、あらゆる $F(1/4,1/2,3/4;z)$ の値を得られます。しかしたいていは楕円積分 $K$ を計算できず、ここで終わってしまいます。
前回も述べたように、楕円積分の理論によれば、singular valuesとよばれる値 $k=k_N$ をとると、楕円積分 $K(k)$ はガンマ関数や代数的な数で表され、なんと $\frac{K'}{K}(k_N)=\sqrt{N}$ となります。例えば\begin{eqnarray*}k_1 &=&\frac{1}{\sqrt{2}}\\ k_2 &=& \sqrt{2}-1 \\ k_3&=& \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\\ k_4 &=& 3-2\sqrt{2}\\&&\quad\vdots\\ k_9 &=& \frac{\sqrt{3}-1}{2}\left(\sqrt{2}-\sqrt[4]{3}\right)\\&&\quad\vdots\\ k_{25} &=& \sqrt{\frac{1}{2}-6\sqrt{161\sqrt{5}-360}}\end{eqnarray*}これらの場合(3.6)は\begin{equation}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix};\xi(k_N)\right)=\frac{\sqrt{2\pi}}{\G^2(\frac{1}{4})}\sqrt{1+2k_Nk_N'}\left(1+\sqrt{N}\right)K(k_N)\tag{4.1}\end{equation}と書き換えられます。
$N=1$ すなわち $k_1=\frac{1}{\sqrt{2}}$ では $\xi(k_1)=0$ となってしまうので面白くありません。
$N=2$ では $k_2=\sqrt{2}-1$ なので $k'_2=\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2}-1}$ です。楕円積分の値としては\begin{equation}K(k_2)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\G(\frac{1}{8})\G(\frac{3}{8})}{2^\frac{13}{4}\sqrt{\pi}}\tag{4.2}\end{equation}また$$\xi(k_2)=\frac{1-\left[2(\sqrt{2}-1)\right]^\frac{3}{2}}{1+\left[2(\sqrt{2}-1)\right]^\frac{3}{2}}$$ですので(4.1)へ代入して超幾何関数の値が求まります。あまりきれいな式でもないので、書かないでおきましょう。
$N=3$ ではこちらで導出したように $k_3=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ ,\begin{equation}K(k_3)=\frac{3^\frac{1}{4}\G^3(\frac{1}{3})}{2^\frac{7}{3}\pi}\tag{4.3}\end{equation}が知られています。$2k_3k'_3=\frac{1}{2}$ となりますので $\xi(k_3)=\frac{1}{9}$ です。これらにより、次のようなきれいな式ができあがります。
\begin{equation}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix};\frac{1}{9}\right)=\frac{3^\frac{3}{4}(\sqrt{3}+1)}{2^\frac{7}{3}\sqrt{\pi}}\frac{\G^3(\frac{1}{3})}{\G^2(\frac{1}{4})}\tag{4.4}\end{equation}
$N=9$ では $k_9 = \frac{\sqrt{3}-1}{2}\left(\sqrt{2}-\sqrt[4]{3}\right)$ ,\begin{equation}K(k_9)=\frac{3^\frac{1}{4}(\sqrt{3}+1)\G^2(\frac{1}{4})}{12\sqrt{2\pi}}\tag{4.5}\end{equation}が知られています。$$(2k_9k'_9)^2=97-56\sqrt{3}$$となるので $2k_9k'_9=7-4\sqrt{3}$ です。よって $\xi(k_9)=\frac{3}{4}$ です。したがって、(4.4)よりもさらにきれいな式
\begin{equation}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix};\frac{3}{4}\right)=\left(\frac{4}{3}\right)^\frac{3}{4}\tag{4.6}\end{equation}
ができました。
$N=25$ では $k_{25} = \sqrt{\frac{1}{2}-6\sqrt{161\sqrt{5}-360}}$ ,\begin{equation}K(k_{25})=\frac{3^\frac{1}{4}(\sqrt{3}+1)\G^2(\frac{1}{4})}{12\sqrt{2\pi}}\tag{4.7}\end{equation}が知られています。$$(2k_{25}k'_{25})^2=51841-23184\sqrt{5}$$となるので $2k_{25}k'_{25}=161-72\sqrt{5}$ です。よって $\xi(k_{25})=\frac{80}{81}$ です。したがって、(4.6)よりもまたまたさらにきれいな式
\begin{equation}F\left(\begin{matrix}\frac{1}{4},\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix};\frac{80}{81}\right)=\frac{9}{5}\tag{4.8}\end{equation}
ができました。
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