Kinkelin[1]の論文に沿って、K関数の特殊値や対数K関数の積分について、Glaisher-Kinkelin定数のさまざまな表示について説明します。ゼータ関数の微分とも関連があります。
前回の知識が前提になります。こちら：
ハイパー階乗・K関数とGlaisher-Kinkelin定数①
前回見たように $K(0)=K(1)=1$ です。定数 $\varpi$ はGlaisher-Kinkelin定数 $A$ と\begin{equation}\sqrt{\varpi}e^{1/12}=A\tag{22}\end{equation}なる関係があるのでした。前回の(21)式\begin{equation}c_n+\frac{\ln n}{12n}=\frac{n^2-1}{2n}\ln\varpi\;,\; c_n:=\sum_{k=0}^{n-1}\ln K\left(\frac{k}{n}\right)\tag{21a}\end{equation}で $n=2$ とすると\begin{eqnarray}\ln K\left(\frac{1}{2}\right)&=&\frac{3}{4}\ln\varpi-\frac{\ln2}{24}\\ &=&\frac{3}{2}\ln A-\frac{\ln 2}{24}-\frac{1}{8}\tag{23}\end{eqnarray}$n=4$ なら\begin{equation}\ln K\left(\frac{1}{4}\right)+\ln K\left(\frac{1}{2}\right)+\ln K\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{15}{8}\ln\varpi-\frac{\ln2}{24}\tag{24}\end{equation}(23)から(24)を引くと\begin{equation}\ln K\left(\frac{1}{4}\right)+\ln K\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{8}\ln\varpi\tag{25}\end{equation}となります。
(14)で $x=1/4$ とすれば、(25)と合わせて、定数の級数表示\begin{equation}\frac{9}{8}\ln\varpi=\frac{2-\g}{16}+\frac{9}{2}\ln2-\frac{3}{4}\ln3-\frac{5}{4}\ln5-\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n-1)-1}{(2n+1)(n+1)}\frac{1}{4^{2n+2}}\tag{26}\end{equation}を得ることもできます。
また、以上の流れを踏まえなくても、ログガンマのフーリエ展開（例あり）を用いて直接的に積分することでK関数の特殊値を求めることができます。\begin{eqnarray}F(x) &=&\int_0^x\ln\G(t)dt\\&=& \ln A+\frac{x}{2}\ln2\pi+\frac{1}{4\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin2n\pi x}{n^2}-\frac{1}{2\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\g+\ln2n\pi}{n^2}\cos2n\pi x\tag{26a}\end{eqnarray}この計算過程にはゼータ関数の微分が現れますので、$A$ に直す必要があります（後述の定理8）。具体的な値としては\begin{eqnarray}F(1/3)&=&\frac{4}{3}\ln A+\frac{\ln2\pi}{6}+\frac{\psi'(1/3)-\psi'(2/3)}{24\sqrt{3}\pi}-\frac{\ln3}{72}\tag{26b}\\\ln K(1/3)&=&\frac{4}{3}\ln A+\frac{\psi'(1/3)-\psi'(2/3)}{24\sqrt{3}\pi}-\frac{\ln3}{72}-\frac{1}{9}\tag{26c}\\F(1/4)&=&\frac{9}{8}\ln A+\frac{\ln2\pi}{8}+\frac{G}{4\pi}\tag{26d}\\\ln K(1/4)&=&\frac{9}{8}\ln A+\frac{G}{4\pi}-\frac{3}{32}\tag{26e}\end{eqnarray}
(21a)を $n$ で割って$$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\ln K\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{\ln n}{12n^2}=\frac{1}{2}\ln\varpi-\frac{1}{2n^2}\ln\varpi$$$n\to\infty$ とすると区分求積法により\begin{equation}\int_0^1\ln K(x)dx=\frac{1}{2}\ln\varpi\tag{27}\end{equation}(22)より\begin{equation}\ln A=\frac{1}{12}+\int_0^1\ln K(x)dx\tag{28}\end{equation}これはGlaisher-Kinkelin定数の１つの積分表示を与えますが、K関数を含んでいるので、シンプルに見えてそうでもない気がします。(2)より(27)は次のように書けます。$$\int_0^1\left(F(x)+\frac{x(x-1)}{2}-\frac{x}{2}\ln2\pi\right)dx=\frac{1}{2}\ln\varpi$$$F(x)$ の定義式(1)：$F(x)=\int_0^x\ln\G(t)dt$ から$$\int_0^1\left(\int_0^x\ln\G(t)dt\right)dx-\frac{1}{12}-\frac{\ln2\pi}{4}=\frac{1}{2}\ln\varpi$$(22)より$$\int_0^1\left(\int_0^x\ln\G(t)dt\right)dx-\frac{\ln2\pi}{4}=\ln A$$左辺を部分積分すると$$\int_0^1\left(\int_0^x\ln\G(t)dt\right)dx=F(1)-\int_0^1x\ln\G(x)dx$$となって、$F(1)=\frac{\ln2\pi}{2}$ から
$$\ln A=\frac{\ln2\pi}{4}-\int_0^1 x\ln\G(x)dx$$
を得ます。(28)と比べると、使いやすそうな感じがします。
Glaisher-Kinkelin定数は、ゼータ関数を扱うときにも現れます。ログガンマのフーリエ展開：\begin{eqnarray}\log\G(x)&=&\frac{1}{2}\log2\pi+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos2n\pi x}{n}\\&&+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}(\g+\log2n\pi)\sin2n\pi x\tag{29}\end{eqnarray}に $x$ をかけて $0$ から $1$ まで積分すると\begin{equation}\int_0^1 x\ln \G(x)dx=\frac{\ln2\pi}{6}-\frac{\g}{12}+\frac{1}{2\pi^2}\zeta'(2)\tag{30}\end{equation}なお $\zeta'(2)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln n}{n^2}$ です。(30)の導出が分からない場合は、リンク先の例題２等をご覧ください。定理7へ用いれば
$$\ln A=\frac{\g+\ln2\pi}{12}-\frac{\zeta'(2)}{2\pi^2}$$
となります。
またリーマンの関数等式$$\zeta(s)=\frac{2\G(1-s)}{(2\pi)^{1-s}}\sin\frac{\pi s}{2}\zeta(1-s)$$の対数微分をとると$$\frac{\zeta'(-1)}{\zeta(-1)}=-\psi(2)+\ln 2\pi-\frac{\zeta'(2)}{\zeta(2)}$$$$\therefore\quad \zeta'(-1)=\frac{1-\g-\ln2\pi}{12}+\frac{\zeta'(2)}{2\pi^2}$$定理8に代入して
$$\ln A=\frac{1}{12}-\zeta'(-1)$$
定理8で $\zeta'(2)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln n}{n^2}$ を代入すると
$$\prod_{n=1}^\infty n^{\frac{1}{n^2}} = \left(\frac{A^{12}}{2\pi e^\g}\right)^{\zeta(2)}$$
定理７に戻りましょう。右辺の積分を$$\int_0^1 x\ln\G(x)dx=\frac{1}{2}\int_0^1 x\ln\G(x)dx+\frac{1}{2}\int_0^1 x\ln\G(x)dx$$として、第2項で $x\to1-x$ なる変換をすると\begin{eqnarray*}\ln A &=&\frac{\ln2\pi}{4}-\frac{1}{2}\int_0^1 x\ln\G(x)dx-\frac{1}{2}\int_0^1 (1-x)\ln\G(1-x)dx\\&=&\frac{\ln2\pi}{4}-\frac{1}{2}\int_0^1 \ln\G(1-x)dx+\frac{1}{2}\int_0^1 x\{\ln\G(1-x)-\ln\G(x)\}dx\\&=&\frac{\ln2\pi}{4}-\frac{1}{2}\int_0^1 \ln\G(x)dx+\frac{1}{2}\int_0^1 x\{\ln\G(1-x)-\ln\G(x)\}dx\end{eqnarray*}第2項の積分は $F(1)=\frac{\ln2\pi}{2}$ でしたから
$$\ln A=\frac{1}{2}\int_0^1 x\{\ln\G(1-x)-\ln\G(x)\}dx$$
と書けます。(6a)で掲げた式より\begin{eqnarray}\log\G(x)&=&-\g x-\ln x+\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\zeta(n)x^n\tag{31}\\\log\G(1-x)&=&\g x+\sum_{n=2}^\infty\frac{\zeta(n)}{n}x^n\tag{31'}\end{eqnarray}となるので辺辺引いて\begin{equation}\ln\G(1-x)-\ln\G(x)=\ln x+2\g x+2\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n+1)}{2n+1}x^{2n+1}\tag{32}\end{equation}定理9に代入すると
$$\ln A=\frac{\g}{3}-\frac{1}{8}+\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}$$
また $\mathrm{artanh}$ の展開式\begin{equation}\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\tag{33}\end{equation}を2倍して(32)から引くと$$\ln\G(1-x)-\ln\G(x)=\ln x+\ln(1+x)-\ln(1-x)+2(\g-1) x+2\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n+1)-1}{2n+1}x^{2n+1}$$定理9に代入すると
$$\ln A=\frac{\g}{3}+\frac{1}{24}+\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n+1)-1}{(2n+1)(2n+3)}$$
です。定理10よりも収束が早そうです。Wolfram alphaで数値を見る場合、$A$ は"Glaisher"と書けばOKです。
最後に、Glaisher-Kinkelin定数を数列の極限として表します。定理7に戻ります：$$\ln A=\frac{\ln2\pi}{4}-\int_0^1 x\ln\G(x)dx$$(8)式を用いると\begin{eqnarray*}\ln A &=&\frac{\ln2\pi}{4}-\int_0^1 x\lim_{n\to\infty}\left[\ln n!+(x-1)\ln n-\sum_{k=0}^{n-1}\ln(x+k)\right]dx\\ &=& \frac{\ln2\pi}{4}-\lim_{n\to\infty}\int_0^1 x\left[\ln n!+(x-1)\ln n-\sum_{k=0}^{n-1}\ln(x+k)\right]dx \\&=& \lim_{n\to\infty}\left[-\frac{(3n+\frac{1}{2})\ln n-3n}{6}+\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^1x\ln(x+k)dx\right]\\&=& \lim_{n\to\infty}\left[-\frac{(3n+\frac{1}{2})\ln n-3n}{6}+\frac{1}{2}\left\{\ln n!+\frac{n(n-1)}{2}-\frac{n}{2}+\sum_{k=0}^{n-1}k^2(\ln k-\ln(k+1))\right\}\right]\end{eqnarray*}ここで最終項は\begin{eqnarray*}\sum_{k=0}^{n-1}k^2(\ln k-\ln(k+1))&=&=\sum_{k=2}^{n-1}k^2\ln k-\sum_{k=2}^{n}(k-1)^2\ln k\\&=&\sum_{k=2}^{n-1}(2k-1)\ln k-(n-1)^2\ln n\\&=&2\sum_{k=2}^{n-1}k\ln k -\ln(n-1)!-(n-1)^2\ln n\end{eqnarray*}だから$$\ln A =\lim_{n\to\infty}\left[-\frac{n\ln n}{2}+\frac{n^2}{4}-\frac{\ln n}{12}-\frac{n^2\ln n}{2}+\sum_{k=2}^{n}k\ln k\right]$$と計算されます。ハイパー階乗 $H(n):=\prod_{k=1}^n k^k$ を用いれば
$$A=\lim_{n\to\infty}\frac{H(n)\:e^{\frac{n^2}{4}}}{n^{\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}+\frac{1}{12}}}$$
なる表現が導出されます。
ガンマ関数でいうRaabeの公式のK関数バージョンをつくってみましょう。(16)より$$\sum_{k=0}^{n-1}\ln K\left(x+\frac{k}{n}\right)=\frac{1}{n}\ln K(nx)+c_n-\frac{nx^2-x}{2}\ln n$$$n$ で割って $n\to\infty$ とすると、左辺には区分求積法を使って$$\int_x^{x+1}\ln K(t)dt=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{\ln K(nx)}{n^2}+\frac{c_n}{n}-\frac{nx^2-x}{2n}\ln n\right]$$変形すると$$=\lim_{n\to\infty}\left[\left(\frac{\ln K(nx)}{n^2x^2}-\frac{\ln nx}{2}\right)x^2+\frac{x^2}{2}\ln x+\frac{c_n}{n}+\frac{\ln n}{2n}x\right]$$(21)より $c_n/n\to\ln\sqrt{\varpi}$ だから$$=\frac{x^2}{2}\ln x+\ln\sqrt{\varpi}+x^2\lim_{n\to\infty}\left[\frac{\ln K(nx)}{n^2x^2}-\frac{\ln nx}{2}\right]$$$nx=y$ とおくと$$\int_x^{x+1}\ln K(t)dt=\frac{x^2}{2}\ln x+\ln\sqrt{\varpi}+x^2\lim_{y\to\infty}\left[\frac{\ln K(y)}{y^2}-\frac{\ln y}{2}\right]$$左辺は有界な $x$ の関数なので、右辺もそうなっているはず。$\lim$ 内部には $x$ がないので定数 $\a$ と書けて$$\int_x^{x+1}\ln K(t)dt=\frac{x^2}{2}\ln x+\ln\sqrt{\varpi}+\a x^2$$両辺を $x$ で微分すると$$\ln K(x+1)-\ln K(x)=x\ln x+\frac{x}{2}+2\a x$$$K(x+1)=x^xK(x)$ であるから $\a=-1/4$ と求まります。したがって
$$\int_x^{x+1}\ln K(t)dt=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}-\frac{1}{12}+\ln A$$
副産物として\begin{equation}\lim_{x\to\infty}\left[\frac{\ln K(x)}{x^2}-\frac{\ln x}{2}\right]=-\frac{1}{4}\tag{34}\end{equation}
[1] Kinkelin, Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1860(57), 122–138
[2] Ismail, M., Masson, D. R., & Rahman, M. (1997). Special functions, q-series, and related topics. Providence, R.I: American Mathematical Society.
Please support me!
記事を気に入って下さった方、「応援してあげてもいいよ」という方がいらっしゃったら15円から可能なので支援していただければ幸いです。情報発信を継続していくため、サーバー維持費などに充てさせていただきます。
ご支援いただいた方は、こちらで確認できます。
◎ Amazonギフトの場合、
Amazonギフト券- Eメールタイプ – Amazonベーシック
より、金額は空白欄に適当に(15円から)書きこんで下さい。受取人は「mamekebiamazonあっとgmail.com」です（あっとは@に置き換えてください）。贈り主は「匿名」等でOKです。全額がクリエイターに届きます。
◎ OFUSEは登録不要で、100円から寄付できます。金額の90%がクリエイターに届きます。
OFUSEで応援を送る◎ codocは登録不要で、100円から寄付できます。金額の85%がクリエイターに届きます。
