A list of derivatives of the beta function
難易度の高い積分や級数を求めるのに便利なのでまとめておきます。$$B(x,y)=\frac{\G(x)\G(y)}{\G(x+y)}$$として,
\begin{equation}\frac{\partial B}{\partial x}=B\bigl[\psi(x)-\psi(x+y)\bigr]\tag{1}\end{equation}
\begin{eqnarray}\frac{\partial^2 B}{\partial x^2}&&=B\Bigl[\left(\psi(x)-\psi(x+y)\right)^2+\left(\psi'(x)-\psi'(x+y)\right)\Bigr]\tag{2}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\frac{\partial^2 B}{\partial x\partial y}&&=B\Bigl[\left(\psi(x)-\psi(x+y)\right)\left(\psi(y)-\psi(x+y)\right)-\psi'(x+y)\Bigr]\tag{3}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\frac{\partial^3 B}{\partial x^3}&&=B\Bigl[\{\psi(x)-\psi(x+y)\}^3+3\{\psi(x)-\psi(x+y)\}\{\psi'(x)-\psi'(x+y)\}\\&&\quad+\{\psi''(x)-\psi''(x+y)\}\Bigr]\tag{4}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\frac{\partial^3 B}{\partial x^2\partial y}&&=B\Bigl[\{\psi(x)-\psi(x+y)\}^2\{\psi(y)-\psi(x+y)\}+\{\psi(y)-\psi(x+y)\}\{\psi'(x)-\psi'(x+y)\}\\&&\quad-2\{\psi(x)-\psi(x+y)\}\psi'(x+y)-\psi''(x+y)\Bigr]\tag{5}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\frac{\partial^4 B}{\partial x^4}&&=B\Bigl[\{\psi(x)-\psi(x+y)\}^4+6\{\psi(x)-\psi(x+y)\}^2\{\psi'(x)-\psi'(x+y)\}\\&&\quad+4\{\psi(x)-\psi(x+y)\}\{\psi''(x)-\psi''(x+y)\}+3\{\psi'(x)-\psi'(x+y)\}^2\\&&\quad+\{\psi'''(x)-\psi'''(x+y)\}\Bigr]\tag{6}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\frac{\partial^4 B}{\partial x^3\partial y}&&=B\{\psi(y)-\psi(x+y)\}\Bigl[\{\psi(x)-\psi(x+y)\}^3+3\{\psi(x)-\psi(x+y)\}\{\psi'(x)-\psi'(x+y)\}\\&&\quad+\{\psi''(x)-\psi''(x+y)\}\Bigr]\\&&\quad-B\Bigl[3\{\psi(x)-\psi(x+y)\}^2\psi'(x+y)+3\{\psi'(x)-\psi'(x+y)\}\psi'(x+y)\\&&\quad+3\{\psi(x)-\psi(x+y)\}\psi''(x+y)+\psi'''(x+y)\Bigr]\tag{7}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\frac{\partial^4 B}{\partial x^2\partial y^2}&&=B\Bigl[\{\psi(x)-\psi(x+y)\}^2\{\psi(y)-\psi(x+y)\}^2+\{\psi'(x)-\psi'(x+y)\}\{\psi(y)-\psi(x+y)\}^2\\&&\quad+\{\psi(x)-\psi(x+y)\}^2\{\psi'(y)-\psi'(x+y)\}+\{\psi'(x)-\psi'(x+y)\}^2\{\psi'(y)-\psi'(x+y)\}\\&&\quad-2\psi''(x+y)\{\psi(x)+\psi(y)-2\psi(x+y)\}-4\psi'(x+y)\{\psi(x)-\psi(x+y)\}\{\psi(y)-\psi(x+y)\}\\&&\quad+2\psi'(x+y)^2-\psi'''(x+y)\Bigr]\tag{8}\end{eqnarray}
Please support me!
記事を気に入って下さった方、「応援してあげてもいいよ」という方がいらっしゃったら15円から可能なので支援していただければ幸いです。情報発信を継続していくため、サーバー維持費などに充てさせていただきます。
ご支援いただいた方は、こちらで確認できます。
◎ Amazonギフトの場合、
Amazonギフト券- Eメールタイプ – Amazonベーシック
より、金額は空白欄に適当に(15円から)書きこんで下さい。受取人は「mamekebiamazonあっとgmail.com」です（あっとは@に置き換えてください）。贈り主は「匿名」等でOKです。全額がクリエイターに届きます。
◎ OFUSEは登録不要で、100円から寄付できます。金額の90%がクリエイターに届きます。
OFUSEで応援を送る◎ codocは登録不要で、100円から寄付できます。金額の85%がクリエイターに届きます。
