ガンマ関数の３つの乗積表示と相反公式（ガウス・オイラー・ワイエルシュトラス）

「ガンマ関数の基礎」シリーズ第2弾です．ガンマ関数の乗積タイプの公式３つと相反公式を導出します．

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前回のおさらい
ガウスの公式
オイラーの公式
ワイエルシュトラスの乗積表示
相反公式

前回のおさらい

前回記事：

【γ1】ガンマ関数の定義・特殊値・解析接続・留数（ガンマ関数の基礎1）

において，ガンマ関数の定義は

ガンマ関数

$\begin{equation}\G(z)=\int^\infty_0e^{-t}t^{z-1}dt\quad(\mathfrak{R}z>0)\tag{1}\end{equation}$

であり，さまざまな性質や特殊値を得ました．

$\begin{equation}\G(z+1)=z\G(z)\tag{2}\end{equation}$ $\G(n)=(n-1)!\quad (n\in\NN)$ $\G\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi}$ $\G\left(-n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(-4)^nn!}{(2n)!}\sqrt{\pi}$

$\G(z)$ は $z=-n$ $(n\in\ZZ^+)$ に $1$ 位の極をもち，留数は $\dfrac{(-1)^n}{n!}$ ．

今回はガンマ関数の乗積表示（掛け算しまくる形）を３つ紹介し，有名な相反公式を導出します．

ガウスの公式

次の関数列を定めます． $\begin{equation}G_n(z)\equiv \int^n_0 t^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^ndt\tag{3}\end{equation}$ (1)と見比べると $\begin{equation}\displaystyle\lim_{n\to\infty}G_n(z)=\G(z)\tag{4}\end{equation}$ (3)において $t=nx$ と置換すると $\begin{eqnarray*}G_n(z)&=&\int_0^1(nx)^{z-1}(1-x)^nndx\\&=&n^z\int_0^1x^{z-1}(1-x)^ndx\\&=&n^z\left[\left[\frac{x^z}{z}(1-x)^n\right]_0^1+\frac{n}{z}\int_0^1x^z(1-x)^{n-1}dx\right]\\&=&n^z\left[\frac{n}{z}\int_0^1x^z(1-x)^{n-1}dx\right]\\&=&n^z\left[\frac{n(n-1)}{z(z+1)}\int_0^1x^{z+1}(1-x)^{n-2}dx\right]\\&\vdots&\\&=&n^z\left[\frac{n!}{z(z+1)\cdots(z+n-1)}\int_0^1x^{z+n-1}dx\right]\\&=&\frac{n!n^z}{z(z+1)\cdots(z+n-1)(z+n)}\\&=&\frac{n!n^z}{\prod_{k=0}^n(z+k)}\end{eqnarray*}$ (4)により

ガウスの公式

$\begin{equation}\G(z)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^z}{\prod_{k=0}^n(z+k)}\tag{5}\end{equation}$

を得ます．

前回記事にもあったように，ガンマ関数は $z=0,-1,-2\cdots$ に1位の極をもつのでしたね．(5)の分母はまさにそれを示しています．

なお(5)をガンマ関数の定義として進める記事は：

【12】無限積とガンマ関数

オイラーの公式

(5)の右辺を変形します． $\begin{eqnarray*}\G(z)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^z}{\prod_{k=0}^n(z+k)}\\&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^z\frac{\prod_{k=1}^nk}{\prod_{k=0}^n(z+k)}\\&=&\frac{1}{z}\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^z\frac{\prod_{k=1}^nk}{\prod_{k=1}^n(z+k)}\\&=&\frac{1}{z}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^z}{\prod_{k=1}^n(1+\frac{z}{k})}\\&=&\frac{1}{z}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(\frac{2}{1})^z(\frac{3}{2})^z\cdots(\frac{n}{n-1})^z}{\prod_{k=1}^n(1+\frac{z}{k})}\\&=&\frac{1}{z}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{k=1}^{n-1}(\frac{k+1}{k})^z}{\prod_{k=1}^n(1+\frac{z}{k})}\\&=&\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+\frac{1}{n})^z}{(1+\frac{z}{n})}\end{eqnarray*}$ よって

オイラーの公式

$\begin{equation}\G(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+\frac{1}{n})^z}{(1+\frac{z}{n})}\tag{6}\end{equation}$

ワイエルシュトラスの乗積表示

話をガウスの公式に戻します．再掲すると

ガウスの公式

$\begin{equation}\G(z)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^z}{\prod_{k=0}^n(z+k)}\tag{7}\end{equation}$

これの逆数をとって計算していきます．オイラー・マスケローニ定数 $\gamma$ の定義

$\begin{equation}\gamma=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n\right)\tag{8}\end{equation}$

も途中で用います（後述）。 $\begin{eqnarray*}\frac{1}{\G(z)}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{k=0}^n(z+k)}{n!n^z}\\&=&z\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{k=1}^n(z+k)}{n!n^z}\\&=&z\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{-z}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{z}{k}\right)\\&=&z\displaystyle\lim_{n\to\infty}e^{-z\log n}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{z}{k}\right)\\&=&z\displaystyle\lim_{n\to\infty}e^{z(\gamma-\sum_{m=1}^n\frac{1}{m})}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{z}{k}\right)\quad(\because(8))\\&=&ze^{\gamma z}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{z}{k}\right)e^{-\frac{z}{k}}\\&=&ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}\end{eqnarray*}$ 以上から本記事３つめの乗積表示を得ます．

ワイエルシュトラスの乗積表示

$\begin{equation}\frac{1}{\G(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}\tag{9}\end{equation}$

「ガウスの公式」「オイラーの公式」「ワイエルシュトラスの乗積表示」という３つの公式を解説しました．ガンマ関数をこのように乗積型で書くと，そこからさまざまな公式を導けるので便利です．最後にその例として相反公式を解説します．

オイラー・マスケローニ定数については：

【γ5】ガンマの微分とディガンマ関数

【γ14】オイラー定数の積分表示２選・調和数・積分評価（ガンマ関数の基礎14）

相反公式

$\sin$ の無限乗積展開を利用します．無限乗積については以下の記事を参考にしてください：

ゼータ関数値の求め方３選（フーリエ級数・パーセヴァルの等式・sin無限乗積）

ガッツリやるなら：

【８】整関数とワイエルシュトラスの因数分解定理①（基本乗積・種数）

正弦関数の無限乗積

$\sin \pi z=\pi z\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$

(9)より $\begin{eqnarray*}\frac{1}{\G(z)\G(1-z)}&=&\frac{1}{-z\G(z)\G(-z)}\\&=&-\frac{1}{z}ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}\cdot (-z)e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z}{n}\right)e^{\frac{z}{n}}\\&=&z\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)\\&=&\frac{\sin\pi z}{\pi}\end{eqnarray*}$ 従って

相反公式

$\begin{equation}\G(z)\G(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}\tag{10}\end{equation}$

例えば $z=1/2$ とすることで $\G(1/2)=\sqrt{\pi}$ と簡単に求まりますね．左辺が下のように少し違っても対応できます． $\G(1+z)\G(1-z)=z\G(z)\G(1-z)=\frac{\pi z}{\sin\pi z}$

コサインバージョンもあります．(10)において $z$ を $z+1/2$ におきかえて $\G\left(\frac{1}{2}+z\right)\G\left(\frac{1}{2}-z\right)=\frac{\pi}{\cos\pi z}$

練習問題

$\left|\G(iy)\right|=\sqrt{\frac{\pi}{y\sinh\pi y}}$ を示せ．

相反公式より $\G(iy)\G(1-iy)=\frac{\pi}{\sin i\pi y}$ であり，この左辺は $-iy\G(iy)\G(-iy)$ に等しいから $-iy\G(iy)\G(-iy)=\frac{\pi}{\sin i\pi y}$ ここで $\sin i\pi y=\frac{e^{i(i\pi y)}-e^{-i(i\pi y)}}{2i}=i\sinh \pi y$ したがって $\G(iy)\G(-iy)=\frac{\pi}{y\sinh\pi y}$ $\G(-iy)=\G(iy)^*$ なので $\therefore\quad\left|\G(iy)\right|=\sqrt{\frac{\pi}{y\sinh\pi y}}$

次回：

2022年2月9日【γ3】ベータ関数の定義・ガンマ関数との関係・三角関数での積分表示

本記事では、下記の本を参考にしています。2021年8月現在、第30刷。かなりの廉価ながら特殊関数に関する公式が網羅されています。参照用にするもよし、公式の証明にトライするもよし。

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