「ガンマ関数の基礎」シリーズ第9回。前回はディガンマ関数の定義、いくつかの特殊値、代表的な級数表示、極について解説しました。
今回はディガンマ関数 $\psi(z)$ についてさらに深めていきます。$\psi(z)$ についての「相反公式」「倍数公式」にはじまり、ゼータ関数との関係について解説します。
もくじ
前回と内容は重複していますが、軽く予備知識を確認しておきます。
まずディガンマ関数はガンマ関数の対数微分で定義されます。
\begin{equation}\psi(z)\equiv\frac{d}{dz}\left(\log\G(z)\right)=\frac{\G'(z)}{\G(z)}\tag{1}\end{equation}
漸化式風の式および $\psi(1)$ の値は
\begin{equation}\begin{cases}\psi(1)&=&-\g\\\psi(z+1)&=&\psi(z)+\dfrac{1}{z}\end{cases}\tag{2}\end{equation}
ディガンマ関数は次の級数表示をもちます（重要）。
\begin{equation}\psi(z)=-\g-\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{z+n}-\frac{1}{n+1}\right)\tag{3}\end{equation}
本記事では、下記の本を参考にしています。2021年8月現在、第30刷。かなりの廉価ながら特殊関数に関する公式が網羅されています。参照用にするもよし、公式の証明にトライするもよし。
【Amazon】特殊函数 (岩波 数学公式 3)
【γ2】ガンマ関数の３つの乗積表示と相反公式（ガウス・オイラー・ワイエルシュトラス）
で導出した、ガンマ関数の相反公式
\begin{equation}\G(z)\G(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}\tag{4}\end{equation}
の対数をとって$$\log\G(z)+\log\G(1-z)=\log\pi-\log\sin\pi z$$微分するとディガンマが現れます。$$\psi(z)-\psi(1-z)=-\pi\frac{\cos\pi z}{\sin\pi z}$$したがって次の公式を得ます。
\begin{equation}\psi(1-z)-\psi(z)=\pi\cot\pi z\tag{5}\end{equation}
$z=1/3$ を代入すると $\psi(1/3)$ と $\psi(2/3)$ の関係式が現れます。どちらかが分かればもう片方も分かるのです。
ガンマ関数におけるルジャンドルの倍数公式は
\begin{equation}\G(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\G(z)\G\left(z+\frac{1}{2}\right)\tag{6}\end{equation}
と過去記事で導出しました。これの対数をとります。$$\log\G(2z)=(2z-1)\log2-\log\sqrt{\pi}+\log\G(z)+\log\G\left(z+\frac{1}{2}\right)$$微分すると$$2\psi(2z)=2\log2+\psi(z)+\psi\left(z+\frac{1}{2}\right)$$したがって次の公式が成立します。
\begin{equation}\psi(2z)=\frac{1}{2}\left[\psi(z)+\psi\left(z+\frac{1}{2}\right)\right]+\log2\tag{7}\end{equation}
2倍公式とでもよんでおきましょう。
ガンマ関数でもやったように、$n$ 倍でもやってみましょう（一般化）。過去記事で解説したガウスの乗法公式は次のように書かれます。
\begin{equation}\G(nz)=\frac{n^{nz}}{(2\pi)^\frac{n-1}{2}\sqrt{n}}\prod_{k=0}^{n-1}\G\left(z+\frac{k}{n}\right)\tag{8}\end{equation}
また同じパターンになりますが、まず対数をとって$$\log\G(nz)=nz\log n-\log((2\pi)^\frac{n-1}{2}\sqrt{n})+\sum_{k=0}^{n-1}\log\G\left(z+\frac{k}{n}\right)$$それから微分します。$$n\psi(nz)=n\log n+\sum_{k=0}^{n-1}\psi\left(z+\frac{k}{n}\right)$$したがって次の公式を得ます。2倍公式を一般化したものであることを確認してください。
\begin{equation}\psi(nz)=\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\psi\left(z+\frac{k}{n}\right)\tag{9}\end{equation}
ここまでの内容を応用して $\psi\left(\dfrac{1}{2}\right)$ を求めよ。
倍数公式(9)において $z=1/2$ , $n=2$ とすると$$\psi(1)=\log 2+\frac{1}{2}\left[\psi\left(\frac{1}{2}\right)+\psi(1)\right]$$$\psi(1)=-\g$ なので$$\psi\left(\frac{1}{2}\right)=-\g-2\log2$$
ここまでの内容を応用して $\psi\left(\dfrac{1}{3}\right)$ と $\psi\left(\dfrac{2}{3}\right)$ を求めよ。
倍数公式(9)において $z=1/3$ , $n=3$ とすると$$\psi(1)=\log3+\frac{1}{3}\left[\psi\left(\frac{1}{3}\right)+\psi\left(\frac{2}{3}\right)+\psi\left(1\right)\right]$$整理すると$$-2\g=3\log3+\psi\left(\frac{1}{3}\right)+\psi\left(\frac{2}{3}\right)$$これに加えて相反公式(5)より$$\psi\left(\frac{2}{3}\right)-\psi\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{\sqrt{3}}$$連立方程式ですね。これを解くと$$\begin{cases}\psi\left(\dfrac{1}{3}\right)&=&-\g-\dfrac{3}{2}\log3-\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\\\psi\left(\dfrac{2}{3}\right)&=&-\g-\dfrac{3}{2}\log3+\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\end{cases}$$
ここまでの内容を応用して $\psi\left(\dfrac{1}{4}\right)$ と $\psi\left(\dfrac{3}{4}\right)$ を求めよ。
倍数公式(9)において $z=1/4$ , $n=2$ とすると$$\psi\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left[\psi\left(\frac{1}{4}\right)+\psi\left(\frac{3}{4}\right)\right]+\log2$$また相反公式(5)より$$\psi\left(\frac{1}{4}\right)-\psi\left(\frac{3}{4}\right)=-\pi$$これを解くと$$\begin{cases}\psi\left(\dfrac{1}{4}\right)&=&-\g-3\log2-\dfrac{\pi}{2}\\\psi\left(\dfrac{3}{4}\right)&=&-\g-3\log2+\dfrac{\pi}{2}\end{cases}$$
ここまでの内容を応用して $\psi\left(\dfrac{1}{6}\right)$ を求めよ。
倍数公式(9)において $z=1/6$ , $n=2$ として以下を得ます。$$\psi\left(\frac{1}{6}\right)=-\g-\frac{3}{2}\ln3-2\ln2-\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$$
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(4n+1)!(n+1)}{(4n+6)!}=\dfrac{\pi}{96}-\dfrac{1}{32}$ を示せ(@infseriesbot)。
\begin{eqnarray*}LHS &=& \frac{1}{16}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+3)(4n+5)(4n+3)(2n+1)}\\&=&\frac{1}{16}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1/12}{n+\frac{1}{2}}-\frac{1/12}{n+\frac{3}{2}}+\frac{1/6}{n+\frac{5}{4}}-\frac{1/6}{n+\frac{3}{4}}\right) \\&=& \frac{1}{16}\left(-\frac{\psi(\frac{1}{2})}{12}+\frac{\psi(\frac{3}{2})}{12}-\frac{\psi(\frac{5}{4})}{6}+\frac{\psi(\frac{3}{4})}{6}\right)\quad(\because(3)) \\&=&\frac{\pi}{96}-\frac{1}{32}\end{eqnarray*}
$$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{(n+a)^2(n+b)^2} = \frac{\pi^2}{(b-a)^2}\left(\frac{1}{\sin^2\pi a}+\frac{1}{\sin^2\pi b}\right)+\frac{2\pi}{(b-a)^3}(\cot\pi b-\cot\pi a)$$を示せ(@infseriesbot)。
【証明】\begin{eqnarray*}LHS &=& \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+a)^2(n+b)^2}+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+1-a)^2(n+1-b)^2}\end{eqnarray*}Partial fraction decomposition gives\begin{eqnarray*}&&\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+a)^2(n+b)^2}\\&=&\sum_{n=0}^\infty\left[\frac{1}{(b-a)^2}\left(\frac{1}{(n+a)^2}+\frac{1}{(n+b)^2}\right)-\frac{2}{(b-a)^3}\left(\frac{1}{n+a}-\frac{1}{n+b}\right)\right] \\&=& \frac{1}{(b-a)^2}\left(\psi'(a)+\psi'(b)\right)-\frac{2}{(b-a)^3}\left(\psi(b)-\psi(a)\right)\end{eqnarray*}In the same manner, we find\begin{eqnarray*}&&\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+1-a)^2(n+1-b)^2}\\&&=\frac{1}{(b-a)^2}\left(\psi'(1-a)+\psi'(1-b)\right)+\frac{2}{(b-a)^3}\left(\psi(1-b)-\psi(1-a)\right)\end{eqnarray*}Therefore,\begin{eqnarray*}&&\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{(n+a)^2(n+b)^2}\\&&=\frac{1}{(b-a)^2}\left(\psi'(a)+\psi'(1-a)+\psi'(b)+\psi'(1-b)\right)\\&&\quad+\frac{2}{(b-a)^3}\left(\psi(1-b)-\psi(b)+\psi(a)-\psi(1-a)\right) \end{eqnarray*}Recall (5) $$\psi(1-z)-\psi(z)=\pi\cot\pi z$$and its derivative$$\psi'(1-z)+\psi'(z)=\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}$$It follows that $$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{(n+a)^2(n+b)^2} = \frac{\pi^2}{(b-a)^2}\left(\frac{1}{\sin^2\pi a}+\frac{1}{\sin^2\pi b}\right)+\frac{2\pi}{(b-a)^3}(\cot\pi b-\cot\pi a)$$【証明終】
過去記事
で得たログガンマの級数表示の一部を書くと
\begin{equation}\log\G(z)=-\g(z-1)+\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n}\zeta(n)(z-1)^n\tag{10}\end{equation}\begin{equation}\log\G(z)=\frac{1}{2}\log\frac{\pi}{z\sin\pi z}-\g z-\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n+1)}{2n+1}z^{2n+1}\tag{11}\end{equation}
(10)(11)を微分すれば左辺はディガンマ関数です。よって以下の表式を得ます。
\begin{equation}\psi(z)=-\g-\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\zeta(n+1)(z-1)^{n}\tag{12}\end{equation}\begin{equation}\psi(z)=-\g-\frac{1}{2z}-\frac{\pi}{2}\cot\pi z-\sum_{n=1}^\infty\zeta(2n+1)z^{2n}\tag{13}\end{equation}
となります。(12)からディガンマ関数はリーマンゼータ関数の母関数として書けるとわかります。(13)の式は奇数ゼータの母関数を示していますね。
次回はディガンマの微分であるポリガンマ関数の性質について見ていきましょう：
基本中の基本から学べる本シリーズ第1回はこちら：
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