【H5】等速・非等速円運動と微分方程式

等速円運動からはじめて，一般の円運動の方程式をマスターしよう．円運動する物体にはどのような力がはたらいているのだろうか？微分ができればこわくない！

上図のように座標を設定する．時刻$0$の物体の位置が $x$ 軸上になるようにしたとする．等速円運動であれば $\theta(t)=\omega t$ だから\begin{equation}\boldsymbol{r}(t)=\left(\begin{matrix}x(t)\\y(t)\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}R\cos\omega t\\R\sin\omega t\end{matrix}\right)\tag{1}\end{equation}微分すると\begin{equation}\boldsymbol{v}(t)= \left(\begin{matrix}v_x(t)\\v_y(t)\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}-R\omega\sin\omega t\\R\omega\cos\omega t\end{matrix}\right)\tag{2}\end{equation}再度微分すると\begin{equation} \boldsymbol{a}(t)= \left(\begin{matrix}a_x(t)\\a_y(t)\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}-R\omega^2\cos\omega t\\-R\omega^2\sin\omega t\end{matrix}\right)\tag{3}\end{equation}

これらからさまざまな等式を導出しよう．

まず速さ $v$ は $$v=|\boldsymbol{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=R\omega$$よって周期は$$T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi}{\omega}$$加速度の大きさは$$a= \sqrt{a_x^2+a_y^2}=R\omega^2$$また(1)と(3)より\begin{equation}\boldsymbol{a}(t)=-\omega^2\boldsymbol{r}\tag{4}\end{equation}であり，加速度ベクトルが中心方向を向いていることを示す．

さて運動方程式より$$\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}= -m\omega^2\boldsymbol{r}$$よって力は中心方向を向いており，その大きさは$$F=| -m\omega^2\boldsymbol{r} |= mR\omega^2$$この力を向心力とか中心力とよんでいる．

$$\boldsymbol{r}(t)=\left(\begin{matrix}2\cos3 t-5\\2\sin 3t\end{matrix}\right)$$と表される物体はどのような運動をしているか．また，加速度の大きさ $a$ を求めよ．

$$\boldsymbol{r}(t)=\left(\begin{matrix}2\cos3 t+t\\2\sin 3t\end{matrix}\right)$$と表される物体はどのような運動をしているか． また例題１とかかる力のベクトルは同じであることを簡単に説明せよ．

等速のときは定数 $\omega$ を使って $\theta=\omega t$ と書けたが，非等速の場合は $\theta$ がどのように時間変化するかはさまざまである．よって単に $\theta(t)$ と考えるほかない．

円運動であれば原点からの距離は $R$ で一定だから\begin{equation}\boldsymbol{r}(t)=R \left(\begin{matrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{matrix}\right)\tag{5}\end{equation}$t$ で微分すると\begin{equation}\boldsymbol{v}(t)=R\left(\begin{matrix}-\dot{\theta}\sin\theta\\\dot{\theta}\cos\theta\end{matrix}\right)\tag{6}\end{equation}合成関数の微分だから $\dot{\theta}$ がかけられていることに注意．再度微分すると\begin{equation} \boldsymbol{a}(t)= R{\dot{\theta}}^2\left(\begin{matrix}-\cos\theta\\-\sin\theta\end{matrix}\right)+R\ddot{\theta} \left(\begin{matrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{matrix}\right) \tag{7}\end{equation} よってかかる力は \begin{equation} \boldsymbol{F}(t)= -mR{\dot{\theta}}^2\left(\begin{matrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{matrix}\right)+mR\ddot{\theta} \left(\begin{matrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{matrix}\right) \tag{8}\end{equation}

式(8)は２つのベクトルの足し算となっている．第1項は，(5)を見比べることにより円の中心向きであると分かる（向心力）．第2項は，(6)と見比べることにより速度方向（進む方向）であると分かる．すなわちこの力を分解すると

円の中心方向に$$F_r=mR\omega^2$$角度が増える方向（反時計回り）に$$F_\theta =mR\dot{\omega}$$ただし $\omega =\dot{\theta}$ を用いた．

$F_r$ は向心力で，円運動を保つための力である（等速円運動の式と同じ）．

$F_\theta$ は何だろう？$F_\theta=0$ とすると $\dot{\omega}=0$ なので角速度は定数すなわち等速円運動である．もし $F_\theta>0$ なら $\dot{\omega}>0$ つまり角速度は増加すなわちスピードアップするわけだ．よって $F_\theta$ は円運動のスピード（正確には角速度）を変化させる力である．

$$\boldsymbol{r}(t)=\left(\begin{matrix}3\cos t^2\\3\sin t^2\end{matrix}\right)$$と表される物体はどのような運動をしているか．また，かかっている力を求め，向心力と速度方向に分解せよ． 物体の質量を $1$ とする．