@penta_math さんの出題です。
$$\int_0^1 \sqrt{x^3-5x^2+4x}\:dx=\frac{4}{15}\left[26E\left(\frac{1}{2}\right)-21K\left(\frac{1}{2}\right)\right]$$
楕円積分をルジャンドルの標準形に直して完全楕円積分に帰着させます。その練習としてものすごく適した問題だと感じ、久々にTwitterの出題に取り組みました。
こちらで一般的な話を扱っています。これにそって愚直にやるのみ。
$$I:=\int_0^1 \sqrt{x^3-5x^2+4x}\:dx$$とおいておきます。この積分において$$x=T(z)=\frac{Az+B}{Cz+D}$$の変換を考えます。$$x^3-5x^2+4x=x(x-1)(x-4)$$と因数分解されることから、次のように狙いを定めます。\begin{align}T(1)&=\infty\\T(-1)&=0\\T(1/k)&=1\\T(-1/k)&=4\end{align}これらを満たす $A,B,C,D,k$ を探します。
その結果\begin{align}T(z)&=\frac{2z-2}{(2-\sqrt{3})z-(2+\sqrt{3})}\tag{1}\\ k&= (2-\sqrt{3})^2\tag{2}\end{align}と求まります。これによって $x=T(z)$ の置換をすると\begin{equation}I=24k^{3/2}\int_{-1}^1\frac{(1-z^2)(1+kz)}{(1-kz)^3}\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}\tag{3}\end{equation}これで根号内が扱いやすい4次式になりました。
(3)式の根号以外の部分を部分分数分解します。\begin{equation}I=24k^{3/2}\left[\frac{1}{k^2}I_0+\frac{4}{k^3}J_1+\frac{5-k^2}{k^4}J_2+\frac{2(1-k^2)}{k^5}J_3\right]\tag{4}\end{equation}ただし、ここで\begin{align}I_n &=\int_{-1}^1\frac{z^n}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}dz\tag{5}\\J_n &=\int_{-1}^1\frac{dz}{(z-\frac{1}{k})^n\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}\tag{6}\end{align}これらについては次の関係式が成り立ちます。\begin{align}J_3 &=\frac{k}{5(1-k^2)}\left[2(k^2-5)J_2-6kJ_1-k^2I_0\right]\tag{7}\\J_2 &=\frac{k}{3(1-k^2)}\left[(k^2-5)J_1-2kI_0\right]\tag{8}\\J_1 &=\frac{k}{1-k^2}(k^2I_2-I_0)\tag{9}\end{align}(7)(8)(9)を(4)に用いると\begin{equation}I=\frac{2-\sqrt{3}}{15}\left[14I_0-26(7-4\sqrt{3})I_2\right]\tag{10}\end{equation}これで標準形にできました。(10)へ至る計算はなかなか面倒です。
(10)式を完全楕円積分で表現する。偶関数であることも考慮して\begin{align}I_2&=\frac{2}{k^2}\left[K(k)-E(k)\right]\tag{11}\\I_0 &=2K(k)\tag{12}\end{align}これらを(10)に適用することにより\begin{equation}I=\frac{4}{15}\left[13(2+\sqrt{3})E(k)-(12+20\sqrt{3})K(k)\right]\tag{13}\end{equation}これで終わりでもいいのですが、ちょっとキタナイ。
そこで上昇変換を施すときれいになります。\begin{align}K(7-4\sqrt{3})&=\frac{2+\sqrt{3}}{4}K\left(\frac{1}{2}\right)\tag{14}\\E(7-4\sqrt{3})&=2(2-\sqrt{3})E\left(\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3}(2-\sqrt{3})K\left(\frac{1}{2}\right)\tag{15}\end{align}(14)(15)を(13)に用いて
$$\int_0^1 \sqrt{x^3-5x^2+4x}\:dx=\frac{4}{15}\left[26E\left(\frac{1}{2}\right)-21K\left(\frac{1}{2}\right)\right]$$
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