ガンマ関数のクンマーによる積分表示

「ガンマ関数の基礎」シリーズ第17回です。前回はビネの第1公式を導出しました。

2022年3月1日【γ16】ビネの第1公式（導出が技巧的！）

今回は題名にある「クンマーの公式」その他２つの表示を導きます。

今日のテーマ

Malmsténの公式 $\log\G(z)=\int_0^\infty\left(\frac{e^{-zt}-e^{-t}}{1-e^{-t}}+(z-1)e^{-t}\right)\frac{dt}{t}\quad(\mathfrak{R}z>0)$

Féauxの公式 $\log\G(z)=\int_0^\infty\left[\frac{(1+t)^{-z}-(1+t)^{-1}}{\log(1+t)}+(z-1)e^{-t}\right]\frac{dt}{t}\quad(\mathfrak{R}z>0)$

Kummerの公式 $\begin{multline}2\log\G(x)=\log\pi-\log\sin\pi x\\+\int_0^\infty\left[\frac{\sinh(\frac{1}{2}-x)t}{\sinh \frac{t}{2}}+(2x-1)e^{-t}\right]\frac{dt}{t}\quad(0<x<1)\end{multline}$

導出順に並べていますので、飛ばさずに順に見ていただければと思います。使う手法は主に積分変数の置換とかなので、特殊関数に関わるごく一部の話以外では、 $z$ を実数に限定すれば高校数学レベルかと思います。

もくじ [hide]

Malmsténの公式
- ディガンマ関数の確認
- ディガンマ関数を積分する
Féauxの公式
Kummerの公式
- ガンマ関数の相反公式
- Malmsténの公式を用いる
おわりに

Malmsténの公式

ディガンマ関数の確認

$\mathfrak{R}z>0$ とします。ガンマ関数の対数をとって微分したものをディガンマ関数 $\psi(z)$ といいます。

$\begin{equation}\psi(z)=\frac{d}{dz}\log\G(z)\tag{1}\end{equation}$

ディガンマ関数は次の積分表示をもちます。

$\begin{equation}\psi(z)=\int_0^\infty\left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)dt\tag{2}\end{equation}$

この導出については：

【γ15】ディガンマ関数の積分表示３選

ディガンマ関数を積分する

(1)を $z=1$ から $z$ まで積分します。 $\begin{eqnarray*}\log\G(z)&=&\int_1^z\psi(z)dz\\&=&\int_1^z\left[\int_0^\infty\left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)dt\right]dz\\&=&\int_0^\infty\left[\int_1^z\left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)dz\right]dt\\&=&\int_0^\infty\left[z\frac{e^{-t}}{t}+\frac{e^{-zt}}{t(1-e^{-t})}\right]_{z=1}^zdt\\&=&\int_0^\infty\left[z\frac{e^{-t}}{t}+\frac{e^{-zt}}{t(1-e^{-t})}-\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-t}}{t(1-e^{-t})}\right]dt\end{eqnarray*}$ 積分の順番を入れ替えましたが、実際はちゃんと正当化する必要があります。これを整理して

$\begin{equation}\log\G(z)=\int_0^\infty\left(\frac{e^{-zt}-e^{-t}}{1-e^{-t}}+(z-1)e^{-t}\right)\frac{dt}{t}\quad(\mathfrak{R}z>0)\tag{3}\end{equation}$

よって公式の１つめが得られました！

Féauxの公式

(3)の被積分関数第1項で $e^t=1+s$ とすると $dt=\frac{ds}{1+s}$ なので $\begin{eqnarray*}\int_0^\infty\frac{e^{-zt}-e^{-t}}{1-e^{-t}}\frac{dt}{t}&=&\int_0^\infty\frac{(1+s)^{-z}-(1+s)^{-1}}{\frac{s}{1+s}}\frac{1}{\log(1+s)}\frac{ds}{1+s}\\&=&\int_0^\infty\frac{(1+s)^{-z}-(1+s)^{-1}}{\log(1+s)}\frac{ds}{s}\end{eqnarray*}$ $s$ を $t$ と書き直すと以下の公式を得ます。

$\log\G(z)=\int_0^\infty\left[\frac{(1+t)^{-z}-(1+t)^{-1}}{\log(1+t)}+(z-1)e^{-t}\right]\frac{dt}{t}\quad(\mathfrak{R}z>0)$

Kummerの公式

ガンマ関数の相反公式

$z$ を実数として $x$ と書きます。 $0<x<1$ とします。

ガンマ関数の相反公式 $\G(x)\G(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}$ において対数をとります。 $\log\G(x)+\log\G(1-x)=\log\pi-\log\sin\pi x$ Malmsténの表示(3)で $z=1-x>0$ を代入します。 $\log\G(1-x)=\int_0^\infty\left(\frac{e^{-(1-x)t}-e^{-t}}{1-e^{-t}}-xe^{-t}\right)\frac{dt}{t}$

Malmsténの公式を用いる

ゆえに $\log\G(x)=\log\pi-\log\sin\pi x-\int_0^\infty\left(\frac{e^{-(1-x)t}-e^{-t}}{1-e^{-t}}-xe^{-t}\right)\frac{dt}{t}$ これにMalmsténの表示(3)による $\log\G(x)=\int_0^\infty\left(\frac{e^{-xt}-e^{-t}}{1-e^{-t}}+(x-1)e^{-t}\right)\frac{dt}{t}$ を辺々加えます。 $\begin{eqnarray*}2\log\G(x)&=&\log\pi-\log\sin\pi x\\&&+\int_0^\infty\left[\frac{e^{-xt}-e^{-t}}{1-e^{-t}}+(x-1)e^{-t}-\frac{e^{-(1-x)t}-e^{-t}}{1-e^{-t}}+xe^{-t}\right]\frac{dt}{t}\\&=&\log\pi-\log\sin\pi x\\&&+\int_0^\infty\left[\frac{e^{-xt}-e^{-(1-x)t}}{1-e^{-t}}+(2x-1)e^{-t}\right]\frac{dt}{t}\\&=&\log\pi-\log\sin\pi x\\&&+\int_0^\infty\left[\frac{e^{(\frac{1}{2}-x)t}-e^{-(\frac{1}{2}-x)t}}{e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}}+(2x-1)e^{-t}\right]\frac{dt}{t}\\&=&\log\pi-\log\sin\pi x\\&&+\int_0^\infty\left[\frac{\sinh(\frac{1}{2}-x)t}{\sinh\frac{t}{2}}+(2x-1)e^{-t}\right]\frac{dt}{t}\end{eqnarray*}$

以上によりKummerの表示を得ます。

$\begin{multline}2\log\G(x)=\log\pi-\log\sin\pi x\\+\int_0^\infty\left[\frac{\sinh(\frac{1}{2}-x)t}{\sinh \frac{t}{2}}+(2x-1)e^{-t}\right]\frac{dt}{t}\quad(0<x<1)\end{multline}$

おわりに

最後の積分をフーリエ展開することで対数ガンマ関数のフーリエ級数表示を得ることができます。それはまた次回にやりましょう。

次回：

2022年3月3日【γ18】対数ガンマ関数のフーリエ級数表示（ガンマ関数の基礎18）

今日の記事はWhittaker-Watson(1927)の第12章12.31節Example1,2,3を参考にしました。

古いですが有名な書物で、どんどん改訂版が出ています。前半は解析学一般、後半は特殊関数という内容で、網羅的に勉強できます。演習問題に解答がないのが昔ながらのものって感じ。2022/11/6現在、最新版は5th Editionで私も所有していますが、廉価な3rdとかでも十分かと。

A Course of Modern Analysis: fifth Edition

A Course of Modern Analysis: Third Edition

ほかにも"Higher Transcendental Functions - Volume I"のp21とかにコンパクトにまとまっています（PDF見られますが、スマホの方はファイルが重いので注意！）。

参考Higher Transcendental Functions [Volumes I-III]CaltechAUTHORS

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