ガンマ関数とフルヴィッツゼータ関数の知識を必要とします。下の記事で総合的に学べます。
@integralsbotより$$I:=\int_0^1\ln\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)dx=-\g-2\ln\frac{2\G(\frac{3}{4})}{\G(\frac{1}{4})}$$
対数が二重にかかっています。ゼータ関数を利用します。
$\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}$ は何者でしょうか。いま、これを $y$ とおくと$$e^y=\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\Rightarrow xe^{2y}-2e^y+ x=0$$さらに変形すると$$x=\frac{2}{e^y+e^{-y}}=\frac{1}{\cosh y}=\mathrm{sech\:} y$$したがって$$\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}=\mathrm{arsech\:}x$$よって積分は\begin{equation}I =\int_0^1\ln\mathrm{arsech\:}x dx\tag{1}\end{equation}と、見た目はシンプルになりました。
$\mathrm{arsech\:}x:=y$ と置換すると $x=\frac{1}{\cosh y}$ ですから $dx=-\frac{\sinh y}{\cosh^2y}dy$ となります。置換した後、$y$ をあらためて $x$ と書き直すと\begin{eqnarray*} I &=& \int_0^\infty\frac{\sinh y}{\cosh^2y}\ln ydy \\&=& 2 \int_0^\infty\frac{e^{-x}-e^{-3x}}{(1+e^{-2x})^2}\ln xdx\end{eqnarray*}指数関数と対数関数が混ざっています。これはガンマ関数の微分を思い起こさせます。被積分関数の分母を展開して\begin{eqnarray*} I &=& 2\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)\int_0^\infty e^{-2nx}(e^{-x}-e^{-3x})\ln xdx \\&=& 2\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)\int_0^\infty \left(e^{-(2n+1)x}\ln x-e^{-(2n+3)x}\ln x\right)dx\end{eqnarray*}積分第1項は $y=(2n+1)x$ , 第2項は $y=(2n+3)x$ と置換します。\begin{eqnarray*} I &=&2\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)\left[\frac{1}{2n+1}\int_0^\infty e^{-y}\ln\frac{y}{2n+1}dy-\frac{1}{2n+3}\int_0^\infty e^{-y}\ln\frac{y}{2n+3}dy\right]\end{eqnarray*}ここでガンマ関数の1階微分\begin{equation}\G'(z)=\int_0^\infty e^{-x}x^{z-1}\ln x dx\tag{2}\end{equation}を用いると1つ目の積分は\begin{eqnarray*}\int_0^\infty e^{-y}\ln\frac{y}{2n+1}dy &=& \int_0^\infty e^{-y}\bigl[\ln y-\ln(2n+1)\bigr]dy \\ &=& \G'(1) -\ln(2n+1)\end{eqnarray*}もう１つの積分も同様に実行し、整理すると$$I=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left[\frac{2n+2}{2n+1}\left(\G'(1)-\ln(2n+1)\right)-\frac{2n+2}{2n+3}\left(\G'(1)-\ln(2n+3)\right)\right]$$分数を変形して $\G'(1)$ でまとめると\begin{equation}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left[\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}\right)\G'(1)+\ln(2n+3)-\ln(2n+1)-\frac{\ln(2n+1)}{2n+1}-\frac{\ln(2n+3)}{2n+3}\right]\tag{3}\end{equation}となります。
(3)は交代級数になっていますが、次のように大きく3つの部分に分けられます。\begin{eqnarray}\G'(1)\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}\right)\tag{4}\\ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\ln(2n+3)-\ln(2n+1)\right)\tag{5} \\-\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{\ln(2n+1)}{2n+1}+\frac{\ln(2n+3)}{2n+3}\right)\tag{6}\end{eqnarray}交代級数の収束性に関するライプニッツの定理から、これらはすべて収束します。よって分けて考えてOK。\begin{eqnarray} I &=& \G'(1)\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}\right)\\ &&+\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\ln(2n+3)-\ln(2n+1)\right) \\&&-\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{\ln(2n+1)}{2n+1}+\frac{\ln(2n+3)}{2n+3}\right)\tag{7}\end{eqnarray}
(4)は部分和が$$\sum_{k=0}^n (-1)^k\left(\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+3}\right)=1+\frac{(-1)^n}{2n+3}$$で極限 $1$ となるので$$\G'(1)\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\G'(1)=-\g$$
(6)も同様に考えて、部分和は$$\sum_{k=0}^n(-1)^k\left(\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}+\frac{\ln(2k+3)}{2k+3}\right)=(-1)^n\frac{\ln(2n+3)}{2n+3}$$であり、極限値は $0$ です。
結局、\begin{equation} I= -\g+\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\ln(2n+3)-\ln(2n+1)\right)\tag{8}\end{equation}
残った課題は$$K:=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\ln(2n+3)-\ln(2n+1)\right)$$の値を求めることです。偶奇で分けて和をとると\begin{equation}K=\sum_{n=0}^\infty\left(2\ln(4n+3)-\ln(4n+1)-\ln(4n+5)\right)\tag{9}\end{equation}ここで次の関数 $A(s)$ を定義します。\begin{equation}A(s):=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{(4n+3)^s}-\frac{1}{(4n+1)^s}-\frac{1}{(4n+5)^s}\right)\tag{10}\end{equation}この関数はフルヴィッツゼータ関数を用いて\begin{equation}A(s)=\frac{1}{4^s}\left[2\zeta\left(s,\frac{3}{4}\right)-\zeta\left(s,\frac{1}{4}\right)-\zeta\left(s,\frac{5}{4}\right)\right]\tag{11}\end{equation}(10)(11)をそれぞれ微分すると\begin{equation} A'(s)=-\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2\ln(4n+3)}{(4n+3)^s}-\frac{\ln(4n+1)}{(4n+1)^s}-\frac{\ln(4n+5)}{(4n+5)^s}\right)\tag{12}\end{equation}\begin{eqnarray}A'(s) &=& -\frac{2\ln2}{4^s}\left[2\zeta\left(s,\frac{3}{4}\right)-\zeta\left(s,\frac{1}{4}\right)-\zeta\left(s,\frac{5}{4}\right)\right]\\&&+\frac{1}{4^s}\left[2\zeta'\left(s,\frac{3}{4}\right)-\zeta'\left(s,\frac{1}{4}\right)-\zeta'\left(s,\frac{5}{4}\right)\right]\tag{13}\end{eqnarray}(9)と(12)を比較すると明らかに\begin{equation}K=-A'(0)\tag{14}\end{equation}です。ここで(13)から\begin{eqnarray}A'(0) &=& -2\ln2\left[2\zeta\left(0,\frac{3}{4}\right)-\zeta\left(0,\frac{1}{4}\right)-\zeta\left(0,\frac{5}{4}\right)\right]\\&&+2\zeta'\left(0,\frac{3}{4}\right)-\zeta'\left(0,\frac{1}{4}\right)-\zeta'\left(0,\frac{5}{4}\right)\tag{15}\end{eqnarray}ここでゼータ関数の値と微分係数の値を思い起こしましょう。\begin{equation}\zeta(0,a)=\frac{1}{2}-a\tag{16}\end{equation}\begin{equation}\left.\frac{d\zeta(s,a)}{ds}\right|_{s=0}=\ln\G(a)-\frac{\ln2\pi}{2}\tag{17}\end{equation}これにより$$A'(0)=2\ln\frac{2\G(\frac{3}{4})}{\G(\frac{1}{4})}$$(14)(9)(8)より
$$I:=\int_0^1\ln\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)dx=-\g-2\ln\frac{2\G(\frac{3}{4})}{\G(\frac{1}{4})}$$
フルヴィッツゼータ関数の基礎としては、下記テキストが参考になります。
古いですが有名な書物で、どんどん改訂版が出ています。前半は解析学一般、後半は特殊関数という内容で、網羅的に勉強できます。演習問題に解答がないのが昔ながらのものって感じ。2022/11/6現在、最新版は5th Editionで私も所有していますが、廉価な3rdとかでも十分かと。
A Course of Modern Analysis: fifth Edition
A Course of Modern Analysis: Third Edition
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