Whippleの7F6変換公式\begin{eqnarray}&&{}_7F_6\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&b,&c,&d,&e,&-m\\ &\frac{a}{2},&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&=&\frac{(1+a)_m(1+a-d-e)_m}{(1+a-d)_m(1+a-e)_m}{}_4F_3\left[\begin{matrix}1+a-b-c\:,\:d\:,\:e\:,\:-m\\ 1+a-b\:,\:1+a-c\:,\:d+e-a-m\end{matrix};1\right]\end{eqnarray}
Dougallの7F6-和公式
$1+2a=b+c+d+e-m$ のとき\begin{eqnarray*}&&{}_7F_6\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&b,&c,&d,&e,&-m\\&\frac{a}{2},&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&=&\frac{(1+a)_m(1+a-b-c)_m(1+a-b-d)_m(1+a-c-d)_m}{(1+a-b)_m(1+a-c)_m(1+a-d)_m(1+a-b-c-d)_m}\end{eqnarray*}
これらより得られる系は\begin{eqnarray}&&{}_5F_4\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&c,&d,&e\\ &\frac{a}{2},&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e\end{matrix};1\right]\\&=& \frac{\G(1+a-c)\G(1+a-d)\G(1+a-e)\G(1+a-c-d-e)}{\G(1+a)\G(1+a-d-e)\G(1+a-c-e)\G(1+a-c-d)}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}&&{}_6F_5\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&b,&c,&d,&e\\ &\frac{a}{2},&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e\end{matrix};-1\right]\\&=&\frac{\G(1+a-d)\G(1+a-e)}{\G(1+a)\G(1+a-d-e)}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1+a-b-c\:,\:d\:,\:e\\ 1+a-b\:,\:1+a-c\end{matrix};1\right]\end{eqnarray}$${}_4F_3\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&d,&e\\ &\frac{a}{2},&1+a-d,&1+a-e\end{matrix};-1\right]=\frac{\G(1+a-d)\G(1+a-e)}{\G(1+a)\G(1+a-d-e)}$$
2つ目の式はDougallが"On Vandermonde's Theorem, and some more general Expansions"(1907)にて示した等式です。分母パラメータ6つの和は分子パラメータ7つの和よりも $2$ だけ大きいです。このとき超幾何関数のparametric excessが2であるといい、この超幾何関数の属性を 2-balanced といいます。
前回記事：
Well-poisedな一般化超幾何関数の変換公式とDougallの5F4-和公式
を前提知識とします。
もくじ
前回記事で導出した次の公式がスタートとなります。
\begin{eqnarray*}&&{}_{s+4}F_{s+3}\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&a_1,&a_2,\cdots,&a_s,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&b_1,&b_2,\cdots,&b_s,&b_{s+1}\end{matrix};z\right]\\&=&\sum_{k=0}^m \frac{(\frac{a}{2})_k(\frac{a+1}{2})_k(a-b-c+1)_k }{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\frac{(a_1)_k\cdots(a_s)_k(-m)_k}{(b_1)_k\cdots(b_s)_k(b_{s+1})_k}(-4z)^k\\&&\times {}_{s+2}F_{s+1}\left[\begin{matrix}a+2k,&a_1+k,&a_2+k,\cdots,&a_s+k,&-m+k\\ &b_1+k,&b_2+k,\cdots,&b_s+k,&b_{s+1}+k\end{matrix};z\right]\end{eqnarray*}
さらに、この特殊な場合として次が得られました。
\begin{eqnarray}{}_5F_{4}&&\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&c,&d,&-m\\ &\frac{a}{2},&1+a-c,&1+a-d,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&&=\frac{(1+a)_m (1+a-c-d)_m}{(1+a-c)_m(1+a-d)_m}\end{eqnarray}
定理1において $z=1$ , $s=3$ とします。\begin{eqnarray}&&{}_7F_6\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&a_1,&a_2,&a_3,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&b_1,&b_2,&b_3,&b_4\end{matrix};1\right]\\&=&\sum_{k=0}^m \frac{(-4)^k(\frac{a}{2})_k(\frac{a+1}{2})_k(a-b-c+1)_k }{(1+a-b)_k(1+a-c)_k k!}\frac{(a_1)_k(a_2)_k(a_3)_k(-m)_k}{(b_1)_k(b_2)_k(b_3)_k(b_4)_k}\\&&\times {}_5F_4\left[\begin{matrix}a+2k,&a_1+k,&a_2+k,&a_3+k,&-m+k\\ &b_1+k,&b_2+k,&b_3+k,&b_4+k\end{matrix};1\right]\tag{1}\end{eqnarray}定理2を使って右辺を計算できるようにしましょう。すなわち $a_1=1+\frac{a}{2}$ であり、well-poisedとなるように他も定めると \begin{eqnarray}&&{}_7F_6\left[\begin{matrix}a,&b,&c,&1+\frac{a}{2},&d,&e,&-m\\ &1+a-b,&1+a-c,&\frac{a}{2},&1+a-d,&1+a-e,&1+a+m\end{matrix};1\right] \\&=& \sum_{k=0}^m \frac{(-4)^k(\frac{a}{2}+1)_k(\frac{a+1}{2})_k(1+a-b-c)_k(d)_k(e)_k(-m)_k }{(1+a-b)_k(1+a-c)_k(1+a-d)_k(1+a-e)_k(1+a+m)_k k!}\\&&\times {}_5F_4\left[\begin{matrix}a+2k,&1+\frac{a}{2}+k,&d+k,&e+k,&-m+k\\ &\frac{a}{2}+k,&1+a-d+k,&1+a-e+k,&1+a+m+k\end{matrix};1\right] \\&=& \sum_{k=0}^m \frac{(-1)^k(a+1)_{2k}(1+a-b-c)_k(d)_k(e)_k(-m)_k }{(1+a-b)_k(1+a-c)_k(1+a-d)_k(1+a-e)_k(1+a+m)_k k!}\\&&\times \frac{(1+a+2k)_{m-k}(1+a-d-e)_{m-k}}{(1+a-d+k)_{m-k}(1+a-e+k)_{m-k}}\tag{2}\end{eqnarray}\begin{eqnarray*}(x+2k)_{m-k}&=&\frac{(x)_{m+k}}{(x)_{2k}}=\frac{(x)_m(x+m)_k}{(x)_{2k}}\\(x+k)_{m-k} &=& \frac{(x)_m}{(x)_k}\\ (x)_{m-k} &=& \frac{(-1)^k (x)_m}{(1-x-m)_k}\end{eqnarray*} を使いましょう。すると\begin{eqnarray*}(2) &=& \sum_{k=0}^m \frac{(1+a-b-c)_k(d)_k(e)_k(-m)_k }{(1+a-b)_k(1+a-c)_k(d+e-a-m)_k k!}\\&&\times \frac{(1+a)_m(1+a-d-e)_m}{(1+a-d)_m(1+a-e)_m}\end{eqnarray*}よって次の定理が得られます。
\begin{eqnarray}&&{}_7F_6\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&b,&c,&d,&e,&-m\\ &\frac{a}{2},&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&=&\frac{(1+a)_m(1+a-d-e)_m}{(1+a-d)_m(1+a-e)_m}{}_4F_3\left[\begin{matrix}1+a-b-c\:,\:d\:,\:e\:,\:-m\\ 1+a-b\:,\:1+a-c\:,\:d+e-a-m\end{matrix};1\right]\end{eqnarray}
特に $e=a/2$ とすると前回記事の定理5に帰着します。
定理3の右辺にある4F3は分母パラメータが分子パラメータよりも1大きいのでSaalschützianです。Saalschützの公式を使えるように $1+2a=b+c+d+e-m$ を課します。すると定理3の4F3は分母パラメータと分子パラメータが１つずつ約されて$${}_3F_2\left[\begin{matrix}d\:,\:1+2a-b-c-d+m\:,\:-m\\ 1+a-b\:,\:1+a-c\end{matrix};1\right]$$過去記事で証明したSaalschützの公式\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,-n\\c,1+a+b-c-n\end{matrix};1\right]=\frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n(c-a-b)_n}\tag{3}\end{equation}で $a\to d$ , $b\to 1+2a-b-c-d+m$ , $n\to m$ , $c\to 1+a-b$ と代入すれば\begin{eqnarray*}&&{}_3F_2\left[\begin{matrix}d\:,\:1+2a-b-c-d+m\:,\:-m\\ 1+a-b\:,\:1+a-c\end{matrix};1\right] \\&=& \frac{(1+a-b-d)_m(-a+c+d-m)_m}{(1+a-b)_m(-a+c-m)_m} \\&=& \frac{(1+a-b-d)_m(-1)^m(1+a-c-d)_m}{(1+a-b)_m(-1)^m(1+a-c)_m} \\&=& \frac{(1+a-b-d)_m(1+a-c-d)_m}{(1+a-b)_m(1+a-c)_m}\end{eqnarray*}これによって定理3は\begin{eqnarray}&&{}_7F_6\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&b,&c,&d,&e,&-m\\ &\frac{a}{2},&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&=&\frac{(1+a)_m(1+a-d-e)_m}{(1+a-d)_m(1+a-e)_m} \frac{(1+a-b-d)_m(1+a-c-d)_m}{(1+a-b)_m(1+a-c)_m}\end{eqnarray}右辺の $e$ は条件 $1+2a=b+c+d+e-m$ を用いて消しましょう。すると次の定理が得られます。
$1+2a=b+c+d+e-m$ のとき\begin{eqnarray}&&{}_7F_6\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&b,&c,&d,&e,&-m\\ &\frac{a}{2},&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e,&1+a+m\end{matrix};1\right]\\&=&\frac{(1+a)_m(1+a-b-c)_m(1+a-b-d)_m(1+a-c-d)_m}{(1+a-b)_m(1+a-c)_m(1+a-d)_m(1+a-b-c-d)_m}\end{eqnarray}
ものすごくきれいな式ですね。ここまでの流れには、超幾何級数を扱うための技がたくさんありました。そして定理3や4はそれ自体のみでなく、さらに多くの系を生み出すという点でも重要です。
定理４の極限をとることで、単純化された公式を導きましょう。極限の取り方は過去で導出したように
$\sum_{i=0}^k a_i=\sum_{i=0}^k b_i$ とするとき$$\lim_{z\to\infty}\frac{\G(z+a_1)\G(z+a_2)\cdots\G(z+a_k)}{\G(z+b_1)\G(z+b_2)\cdots\G(z+b_k)}=1$$
が成り立っています。これを使っていきます。
3F2の公式
定理4で $d\to 1+a-d$ , $e\to 1+a-e$ とし、$a\to\infty$ の極限でSaalschützの公式(3)を得ます[Bailey(1935),Ch4.4]。詳細は省略。
5F4の公式
定理4で $b=1+2a-c-d-e+m$ を代入し、$m\to\infty$ をとります。左辺で $m$ が含まれる因子のみ考えると\begin{eqnarray}&&\lim_{m\to\infty}\frac{(1+2a-c-d-e+m)_n(-m)_n}{(-a+c+d+e-m)_n(1+a+m)_n} \\&=& \lim_{m\to\infty}\G\left[\begin{matrix}1+2a-c-d-e+m+n,m+1,m-n+1+a-c-d-e,1+a+m\\1+2a-c-d-e+m,m-n+1,m+1+a-c-d-e,1+a+m+n\end{matrix}\right]\\&=& 1\end{eqnarray}ただし $\G[\quad]$ で分母分子にあるガンマ関数をまとめて表しました。定理4右辺で同じ操作をすると\begin{eqnarray*}&&\lim_{m\to\infty}\frac{(1+a)_m(-a+d+e-m)_m(-a+c+e-m)_m(1+a-c-d)_m}{(-a+c+d+e-m)_m(1+a-c)_m(1+a-d)_m(-a+e-m)_m)} \\&=& \lim_{m\to\infty}\frac{(1+a)_m(1+a-d-e)_m(1+a-c-e)_m(1+a-c-d)_m}{(1+a-c-d-e)_m(1+a-c)_m(1+a-d)_m(1+a-e)_m} \\&=& \G\left[\begin{matrix}1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-c-d-e\\1+a,1+a-d-e,1+a-c-e,1+a-c-d\end{matrix}\right]\end{eqnarray*}したがって次の系を得ます。
\begin{eqnarray}&&{}_5F_4\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&c,&d,&e\\ &\frac{a}{2},&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e\end{matrix};1\right]\\&=& \frac{\G(1+a-c)\G(1+a-d)\G(1+a-e)\G(1+a-c-d-e)}{\G(1+a)\G(1+a-d-e)\G(1+a-c-e)\G(1+a-c-d)}\end{eqnarray}
定理2を一般化したものであることが分かります。ちなみに、ここからさらに $e=a/2$ とするとDixonの定理を得ます。
6F5の変換公式と4F3
定理3で $m\to\infty$ とすれば6F5の変換公式を得ます。これまでと同じ操作なので計算は省略。
\begin{eqnarray}&&{}_6F_5\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&b,&c,&d,&e\\ &\frac{a}{2},&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&1+a-e\end{matrix};-1\right]\\&=&\frac{\G(1+a-d)\G(1+a-e)}{\G(1+a)\G(1+a-d-e)}{}_3F_2\left[\begin{matrix}1+a-b-c\:,\:d\:,\:e\\ 1+a-b\:,\:1+a-c\end{matrix};1\right]\end{eqnarray}
特に $b=1+a-c$ ととれば
$${}_4F_3\left[\begin{matrix}a,&1+\frac{a}{2},&d,&e\\ &\frac{a}{2},&1+a-d,&1+a-e\end{matrix};-1\right]=\frac{\G(1+a-d)\G(1+a-e)}{\G(1+a)\G(1+a-d-e)}$$
Slater(1966)では定理4の導出を初等的な方法で紹介しています。$c,d,f$ の対称性を使って $f=-m$ の数学的帰納法によります。その際、多項式からなる恒等式を利用していますが少し納得できない部分があり（私の理解不足と思われる）、本記事では採用しませんでした。
同一グループのより簡素な定理として
などがあります。合わせてご覧ください！
超幾何関数の勉強には欠かせません! ：
Bailey, W.N. (1935). Generalized hypergeometric series.
分かりやすく、ネットで公開されている：
Hannah, J.P. Identities for the gamma and hypergeometric functions: an overview from Euler to the present
定理4の数学的帰納法による初等的導出がある：
L.Slater, (1966) "Generalized Hypergeometric Functions" Cambridge University Press（下記で絶賛発売中：2023/1/29現在）
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