前回はこちら：
Watson's Theorem:
Provided $\mathfrak{R}(\frac{1-a-b}{2}+c)>0$,\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\\frac{a+b+1}{2},2c\end{matrix};1\right]=\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})\G(c+\frac{1}{2})\G(\frac{1-a-b}{2}+c)}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})\G(\frac{1-a}{2}+c)\G(\frac{1-b}{2}+c)}\tag{1}\end{equation}
Dixonの定理に続いて、3F2の計算ができる重要な公式です。今日はこの定理を導出しましょう。
ガンマ関数がたくさん登場します。ここでは次のようにまとめて表記する場合があります。\begin{equation}\G\left[\begin{matrix}a,b,c\\d,e,f\end{matrix}\right]:=\frac{\G(a)\G(b)\G(c)}{\G(d)\G(e)\G(f)}\tag{2}\end{equation}
ここで、定理の証明に必要な次の補題を用意します。なお、次の $s$ を parametric excess といいます（分母パラメータの和から分子パラメータの和を引いたもの）。
$s=e+f-a-b-c$ とおくと\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix};1\right]=\frac{\G(e)\G(f)\G(s)}{\G(a)\G(b+s)\G(c+s)}{}_3F_2\left[\begin{matrix}e-a,f-a,s\\b+s,c+s\end{matrix};1\right]\tag{3}\end{equation}
【証明】パラメータ $a,b,c,d,e$ は、(3)が収束する範囲でとれているものとします。\begin{eqnarray*}&&\G\left[\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix}\right]{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix};1\right] \\&=& \sum_{n=0}^\infty\G\left[\begin{matrix}a+n,b+n,c+n\\e+n,f+n\end{matrix}\right]\frac{1}{n!} \\&=& \sum_{n=0}^\infty\frac{\G(b+n)\G(c+n)}{\G(e+f-a+n)n!}\G\left[\begin{matrix}a+n,e+f-a+n\\e+n,f+n\end{matrix}\right]\end{eqnarray*}右辺の右の部分はガウスの超幾何定理が使えます。$$\G\left[\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix}\right]{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix};1\right]=\sum_{n=0}^\infty\frac{\G(b+n)\G(c+n)}{\G(e+f-a+n)n!}{}_2F_1\left[\begin{matrix}e-a,f-a\\e+f-a+n\end{matrix};1\right]$$2F1を級数表示して$$\G\left[\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix}\right]{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix};1\right]=\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty\frac{\G(b+n)\G(c+n)}{\G(e+f-a+n)n!}\frac{(e-a)_m(f-a)_m}{(e+f-a+n)_mm!}$$ポッホハマー記号を全てガンマ関数に書き直します。$$=\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty\G\left[\begin{matrix}b+n,c+n,e-a+m,f-a+m\\e-a,f-a,e+f-a+m+n\end{matrix}\right]\frac{1}{m!n!}$$総和の各項の $m,n$ がある因子については、$m,n$ が大きくなると正になりますので、二重級数は絶対収束します。よって和をとる順番を交換して\begin{eqnarray*}&=&\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty\G\left[\begin{matrix}b+n,c+n,e-a+m,f-a+m\\e-a,f-a,e+f-a+m+n\end{matrix}\right]\frac{1}{m!n!} \\&=& \sum_{m=0}^\infty\left(\G\left[\begin{matrix}e-a+m,f-a+m\\e-a,f-a\end{matrix}\right]\frac{1}{m!}\sum_{n=0}^\infty\G\left[\begin{matrix}b+n,c+n\\e+f-a+m+n\end{matrix}\right]\frac{1}{n!}\right) \\&=& \sum_{m=0}^\infty\left(\G\left[\begin{matrix}b,c,e-a+m,f-a+m\\e-a,f-a,e+f-a+m\end{matrix}\right]\frac{1}{m!}\sum_{n=0}^\infty\frac{(b)_n(c)_n}{(e+f-a+m)_n n!}\right) \\&=& \sum_{m=0}^\infty\G\left[\begin{matrix}b,c,e-a+m,f-a+m\\e-a,f-a,e+f-a+m\end{matrix}\right]\frac{1}{m!}{}_2F_1\left[\begin{matrix}b,c\\e+f-a+m\end{matrix};1\right]\end{eqnarray*}2F1にガウスの超幾何定理を用います。$$=\G\left[\begin{matrix}b,c\\e-a,f-a\end{matrix}\right]\sum_{m=0}^\infty\G\left[\begin{matrix}e-a+m,f-a+m,e+f-a-b-c+m\\e+f-a-b+m,e+f-a-c+m\end{matrix}\right]\frac{1}{m!}$$級数内のガンマ関数をすべてポッホハマー記号に書き直します。\begin{eqnarray*}&=&\G\left[\begin{matrix}e+f-a-b-c,b,c\\e+f-a-b,e+f-a-c\end{matrix}\right]\sum_{m=0}^\infty\frac{(e-a)_m(f-a)_m(e+f-a-b-c)_m}{(e+f-a-b)_m(e+f-a-c)_mm!} \\&=& \G\left[\begin{matrix}e+f-a-b-c,b,c\\e+f-a-b,e+f-a-c\end{matrix}\right]{}_3F_2\left[\begin{matrix}e-a,f-a,e+f-a-b-c\\e+f-a-b,e+f-a-c\end{matrix};1\right]\end{eqnarray*}$$\therefore\quad\G\left[\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix}\right]{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix};1\right] = \G\left[\begin{matrix}e+f-a-b-c,b,c\\e+f-a-b,e+f-a-c\end{matrix}\right]{}_3F_2\left[\begin{matrix}e-a,f-a,e+f-a-b-c\\e+f-a-b,e+f-a-c\end{matrix};1\right]$$両辺のガンマ関数を約して $s=e+f-a-b-c$ とすれば\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\e,f\end{matrix};1\right]=\frac{\G(e)\G(f)\G(s)}{\G(a)\G(b+s)\G(c+s)}{}_3F_2\left[\begin{matrix}e-a,f-a,s\\b+s,c+s\end{matrix};1\right]\tag{4}\end{equation}【証明終】
Lemma1で $e=\frac{a+b+1}{2}$ , $f=2c$ とします。$s=\frac{1-a-b}{2}+c$ となりますので\begin{eqnarray*}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\\frac{a+b+1}{2},2c\end{matrix};1\right]&=&\G\left[\begin{matrix}\frac{a+b+1}{2},&2c,&\frac{1-a-b}{2}+c\\a,&\frac{1-a+b}{2}+c,&\frac{1-a-b}{2}+2c\end{matrix}\right]\\&&\times{}_3F_2\left[\begin{matrix}2c-a,\frac{1-a-b}{2}+c,\frac{1-a+b}{2}\\\frac{1-a+b}{2}+c,\frac{1-a-b}{2}+2c\end{matrix};1\right]\end{eqnarray*}こちらで証明したDixonの定理\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\1+a-b,1+a-c\end{matrix};1\right]=\frac{\G(1+\frac{a}{2})\G(1+a-b)\G(1+a-c)\G(1+\frac{a}{2}-b-c)}{\G(1+a)\G(1+\frac{a}{2}-b)\G(1+\frac{a}{2}-c)\G(1+a-b-c)}\tag{5}\end{equation}を使うと$${}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\\frac{a+b+1}{2},2c\end{matrix};1\right] = \G\left[\begin{matrix}\frac{a+b+1}{2},&2c,&\frac{1-a-b}{2}+c,&1-\frac{a}{2}+c,&\frac{a}{2}\\a,&1+2c-a,&\frac{b+1}{2},&\frac{1-b}{2}+c,&c\end{matrix}\right]$$こちらで示したルジャンドルの倍数公式\begin{equation}\G(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\G(z)\G\left(z+\frac{1}{2}\right)\tag{6}\end{equation}を $2z=2c,a,1+2c-a$ の３回適用して定理が完成します。
\begin{equation}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\\frac{a+b+1}{2},2c\end{matrix};1\right]=\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})\G(c+\frac{1}{2})\G(\frac{1-a-b}{2}+c)}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})\G(\frac{1-a}{2}+c)\G(\frac{1-b}{2}+c)}\tag{7}\end{equation}
二重級数を使うというのがポイントでした。似た方法でDixonの定理も証明できます(例えばBailey(1935))。
このようなpFq型の定理は、極限をとることによって、低い数の超幾何関数に落とす(reduction)ことができます。今の場合は3F2の定理から2F1の定理に「格下げ」する感じです。ガンマ関数やポッホハマー記号が絡む極限計算の方法はこちらが参考になります。必要な補題を以下のようにLemma2として挙げておきます。証明は同記事からどうぞ。
$\sum_{i=0}^k a_i=\sum_{i=0}^k b_i$ とするとき$$\lim_{z\to\infty}\frac{\G(z+a_1)\G(z+a_2)\cdots\G(z+a_k)}{\G(z+b_1)\G(z+b_2)\cdots\G(z+b_k)}=1$$
(7)左辺で $c\to\infty$ をとることを考えます。必要な部分だけ抜き出すと\begin{eqnarray*}\lim_{c\to\infty}\frac{(c)_n}{(2c)_n} &=& \lim_{c\to\infty}\frac{\G(c+n)\G(2c)}{\G(c)\G(2c+n)} \\&=& \lim_{c\to\infty}\frac{\G(c+n)\G(c+\frac{1}{2})}{2^n\G(c+\frac{n}{2})\G(c+\frac{n+1}{2})}\end{eqnarray*}Lemma2から$$\lim_{c\to\infty}\frac{(c)_n}{(2c)_n}=\frac{1}{2^n}$$したがって(7)左辺は\begin{equation}\lim_{c\to\infty}{}_3F_2\left[\begin{matrix}a,b,c\\\frac{a+b+1}{2},2c\end{matrix};1\right]={}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1}{2}\right]\tag{8}\end{equation}(7)右辺もLemma2によって\begin{equation}\lim_{c\to\infty}\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})\G(c+\frac{1}{2})\G(\frac{1-a-b}{2}+c)}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})\G(\frac{1-a}{2}+c)\G(\frac{1-b}{2}+c)}=\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})}\tag{9}\end{equation}(8)(9)からGaussの公式を得ます。
\begin{equation}{}_2F_1\left[\begin{matrix}a,b\\\frac{a+b+1}{2}\end{matrix};\frac{1}{2}\right]=\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{a+b+1}{2})}{\G(\frac{a+1}{2})\G(\frac{b+1}{2})}\tag{10}\end{equation}
もちろん2F1の理論からも導出できます。
L.Slater, (1966) "Generalized Hypergeometric Functions" Cambridge University Press
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