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根号内が3次の楕円積分を考えます．\begin{equation}I=\int\frac{dx}{\sqrt{x^3+ax+b}}\tag{1}\end{equation}これに $x=z^5+a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0$ なる置換を施したいのですが，かなり煩雑になるため，$a_2=0$ としておきます．すなわち\begin{equation}x=z^5+a_3z^3+a_1z+a_0\tag{2}\end{equation}という変換を考えます．この記事はずっとこれでいきます．
(1)に(2)の置換をすると\begin{equation}I=\int\frac{dz}{\sqrt{Q(z)+\frac{R(z)}{(5z^4+3a_3z^2+a_1)^2}}}\tag{3}\end{equation}という形になります．ここで $Q(z)$ , $R(z)$ は7次式です．$R(z)$ が恒等的にゼロとなるのは，
( i ) $a_0,a_3$ は任意．$a_1=\dfrac{a_3^2}{5}$ のとき．このとき$$a=\frac{4a_3^5}{3125}-3a_0^2\;,\; b=\frac{8a_0a_3^5}{3125}+2a_0^3$$
( ii ) $a_3$ は任意，$a_0=0$ , $a_1=\frac{a_3^2}{4}$ のとき．このとき$$a=\frac{8a_3^5}{3125}-3a_0^2\;,\; b=0$$
の２ケースに整理されます．
なお簡単のため，以降 $a_3=5c$ とおいておきます．
( i )の状況をまとめると，
$x=z^5+5cz^3+5c^2z+a_0$ の置換により\begin{align}&\int\frac{dx}{\sqrt{x^3+(4c^5-3a_0^2)x+8a_0c^5+2a_0^3}}\\&\quad =5\int\frac{dz}{\sqrt{z^7+9cz^5+25c^2z^3+3a_0z^2+20c^3z+12a_0c}}\end{align}$j$-invariantは$$j=\frac{432(4c^5-3a_0^2)^3}{c^5(9a_0^2+4c^5)^2}$$
$j$-invariantは具体的に計算できる例を探すための参考です．「計算できる」というのはガンマ関数で書けるということで，そういう楕円積分はモジュラス $k$ がsigular valueであるものです．こういう話はこちらの記事をご参照ください．冒頭にある過去記事と同様の流れなので，ここではさらっと結果を載せます．
ケース( i )-(ア)
まず $k=k_1$ に帰着する場合をやりましょう．$j=1728$ です．
２つパターンがあります．
(甲) $a_0=0$ のとき．$c$ は任意でもいいが，ここでは $c=-1$ にしておきます．
(乙) $a_0=\pm 2c^2\sqrt{-c}$ で $c$ は任意．ここでは $c=-1$ , $a_0=2$ とします．
それぞれの結果は以下です．
\begin{equation}\int_2^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^7-9z^5+25z^3-20z}}=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{20\sqrt{\pi}}\tag{4}\end{equation}
\begin{equation}\int_2^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^7-9z^5+25z^3+6z^2-20z-24}}=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{20\sqrt{2\pi}}\tag{5}\end{equation}
ケース( i )-(イ)
$j=0$ の場合を考えます．
$a_0=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}c^2\sqrt{c}$ で $c$ は任意です．ここでは $c=3$ , $a=-18$ とすると
\begin{equation}\int_\a^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^7+27z^5+225z^3-54z^2+540z-648}}=\frac{\G^3(\frac{1}{3})}{2^{7/3}15\pi}\tag{6}\end{equation}ただし $\a\in\RR$ は$$t^5+15t^3+45t-54=0$$の解である．
$\a$ は5次方程式の解となっていますが，この方程式は代数的に解けます．実数解は１つです．
ケース( i )-(ウ)
$j=8000$ の場合を考えます．$k=k_2=\sqrt{2}-1$ が関係します．
ここではさらに複数のパターンに分けられますが，簡単なのは $a_0=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}c^2\sqrt{-c}$ です．ここでは $c=-2$ , $a_0=-\dfrac{16}{3}$ とすると
\begin{equation}\int_\b^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^7-18z^5+100z^3-16z^2-160z+128}}=\frac{\G(\frac{1}{8})\G(\frac{3}{8})}{2^{7/2}5\sqrt{\pi}}\tag{7}\end{equation}ただし$$\b=\sqrt{2}\left((\sqrt{2}-1)^{1/5}+(\sqrt{2}+1)^{1/5}\right)$$
ケース( i )-(エ)
$j=54000$ の場合を考えます．$k=k_3=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ が関係します．
簡単なのは $a_0=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}c^2\sqrt{-c}$ です．ここでは $c=-3$ , $a_0=\pm 9$ とすると
\begin{align}\int_{2\sqrt{3}}^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^7-27z^5+225z^3+27z^2-540z-324}}&=\frac{\G^3(\frac{1}{3})}{2^{7/3}\cdot 3\cdot 5\pi}\tag{8}\\\int_{2\sqrt{3}}^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^7-27z^5+225z^3-27z^2-540z+324}}&=\frac{\G^3(\frac{1}{3})}{2^{7/3}\cdot 3^{1/2}\cdot 5\pi}\tag{9}\end{align}
さて，戻って( ii )の状況をまとめると，
$x=z^5+5cz^3+\frac{25}{4}c^2z$ の置換により\begin{align}&\int\frac{dx}{\sqrt{x^3+8c^5x}}\\&\quad =5\int\frac{dz}{\sqrt{z^7+9cz^5+\frac{113}{4}c^2z^3+32c^3z}}\tag{10}\end{align}
左辺の根号内の3次式で，定数項がありませんので $j=1728$ のみです．$c=\pm2$ を考えましたが，$-2$ のほうは積分の始点がやや煩雑です．よって$c=2$ のみ記載しておきます．
\begin{equation}\int_0^\infty\frac{dz}{\sqrt{z^7+18z^5+113z^3+256z}}=\frac{\G^2(\frac{1}{4})}{40\sqrt{\pi}}\tag{11}\end{equation}
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