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二重級数シリーズ第3回です。初回では、二重級数において、足し上げる順序がデリケートで扱いにくいという話をしました。ところが第2回では、正項 $a_{mn}\ge 0$ なら順序を入れ替えてもいいし、二重級数としての極限と逐次極限（１つずつ極限をとること）は一致することが分かりました。今回は絶対収束という概念を導入し、正項でなくとも絶対収束であれば二重級数の順序に融通が利くことを解説します。
なお、二重数列 $\{a_{mn}\}$ を\begin{equation}\begin{matrix}a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} &\cdots \\ a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} &\cdots\\ a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} &\cdots \\ \vdots &\vdots & \vdots& \end{matrix}\tag{1}\end{equation}のようにタテヨコで表記することがあります。
絶対収束は通常の数列と同様に定義されます。
$\sum_{m,n=0}^\infty |a_{mn}|$ が収束するとき、$\sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}$ は絶対収束するという。
絶対収束は単なる収束よりも厳しい条件です。すなわち
二重級数が絶対収束するならば、収束する。
【証明】$S_{mn}:=\displaystyle\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^n a_{ij}$ , $S'_{mn}:=\displaystyle\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^n |a_{ij}|$ とする。ここで$$b_{mn}:=\begin{cases}& a_{mn}&\quad(a_{mn}>0)\\ &0&\quad(a_{mn}\le 0)\end{cases}$$$$c_{mn}:=\begin{cases}& 0&\quad(a_{mn}>0)\\ & -a_{mn} &\quad(a_{mn}\le 0)\end{cases}$$と定義すると $\{b_{mn}\}$ , $\{c_{mn}\}$ はともに正項であり、$|a_{mn}|=b_{mn}+c_{mn}$ であると分かる。$b_{mn}\le |a_{mn}|$ , $c_{mn}\le |a_{mn}|$ であることから、$\sum |a_{mn}|$ が収束すれば $\sum b_{mn}$ , $\sum c_{mn}$ は上に有界かつ単調増加であるから収束する（定理7.4）。
よって $a_{mn}=b_{mn}-c_{mn}$ であることから定理3.1より $\sum a_{mn}$ も収束する。
【証明終】
一方、収束するからといって絶対収束するとは限りません。収束はするが絶対収束はしない場合、条件収束(conditionally convergent)するといいます。具体例はのちの例題をご覧ください。
正項級数は、順序を好きに並べ替えても和が変わらないことを前回示しました。絶対収束する数列についても同様です。
$\{a_{mn}\}$ を一列に並べてできる数列 $\{c_n\}$ について、$\sum a_{mn}$ が絶対収束することと $\sum c_{n}$ が絶対収束することは同値であり、このとき$$\sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}=\sum_{n=0}^\infty c_n$$
【証明】$S_{mn}:=\displaystyle\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^n |a_{ij}|$ , $T_{n}:=\displaystyle\sum_{i=0}^n |c_{i}|$ とする。
(A) $S_{mn}\xrightarrow[m,n\to\infty]{}S$ のとき、$S_{mn}\le S$ である。$\forall l\in\NN$ に対して $c_1$ , $c_2$ ,$\cdots$, $c_l$ を含むように $m,n$ を大きくとると$$T_l\le S_{mn}\le S$$単調増加かつ上に有界となるので $\{T_n\}$ は収束する。
(B) (A)と同様に逆も示される。
(C) 絶対収束する場合、定理8.2より$\sum a_{mn}$, $\sum |a_{mn}|$ , $\sum c_{n}$ , $\sum |c_{n}|$ が収束する。ここで4つの数列を以下で定める。$$x_{mn}:=\begin{cases}& a_{mn}&\quad(a_{mn}>0)\\ &0&\quad(a_{mn}\le 0)\end{cases}$$$$y_{mn}:=\begin{cases}& 0&\quad(a_{mn}>0)\\ & -a_{mn} &\quad(a_{mn}\le 0)\end{cases}$$$$p_{n}:=\begin{cases}& c_{n}&\quad(c_{n}>0)\\ &0&\quad(c_{n}\le 0)\end{cases}$$$$q_{n}:=\begin{cases}& 0&\quad(c_{n}>0)\\ & -c_{n} &\quad(c_{n}\le 0)\end{cases}$$これらは正項の数列であり、$$x_{mn}=\frac{a_{mn}+|a_{mn}|}{2}\;,\; y_{mn}=\frac{|a_{mn}|-a_{mn}}{2}$$$$p_{n}=\frac{|c_n|+c_n}{2}\;,\;q_{n}=\frac{|c_n|-c_n}{2}$$よって定理3.1よりこれらは収束する。$x_{mn}$ と $p_n$ を比べるとき、定理7.3から正項の数列は任意に並べても値が変わらないから $\sum |a_{mn}|=\sum |c_n|$ となることを用いると $\sum a_{mn}=\sum c_n $ である。【証明終】
例えば $p>0$ に対して\begin{equation}S:=\sum_{m,n=1}^\infty\frac{1}{(m+n)^p}\tag{2}\end{equation}なる二重級数を考えます。これを対角線並べで足し上げましょう。つまり$$S=\sum_{l=2}^\infty\frac{1}{l^p}\cdot(l-1)$$すなわち$$\sum_{m,n=1}^\infty\frac{1}{(m+n)^p}=\sum_{l=2}^\infty\frac{l-1}{l^p}$$正項なので定理8.3の「絶対収束」を「収束」と読み替えてOKです。左辺の二重数列の収束性および極限値を調べたければ、右辺を見ればいいよということです。Raabeの判定法によると\begin{eqnarray*}l\left(\frac{a_l}{a_{l+1}}-1\right) &=& \frac{(1+\frac{1}{l})^p-1}{1/l}-\left(1+\frac{1}{l}\right)^p \\&\rightarrow& (x^p)'|_{x=1}-1 =p-1\end{eqnarray*}より $p>2$ で収束、$p<2$ で発散します。$p=2$ では調和数が現れて明らかに発散します。これが(2)の収束性そのものとなります。収束するときの値は$$S=\zeta(p-1)-\zeta(p)$$となります。
正項級数は、二重級数としての極限と逐次極限とが一致することを前回示しました。絶対収束する数列についても同様です。
二重級数 $\sum a_{mn}$ が絶対収束するならば、$$\sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}\;,\;\sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{n=0}^\infty a_{mn}\right)\;,\;\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{m=0}^\infty a_{mn}\right)$$は３つとも収束して極限は一致する。
【証明】$S_{mn}:=\sum a_{ij}$ , $S'_{mn}:=\sum |a_{ij}|$ で部分和を定め、極限を $S_{mn}\to S$ , $S'_{mn}\to S'$ とおく。二重級数が絶対収束、すなわち正項級数 $\sum |a_{mn}| $ が収束するならば定理7.2より\begin{equation}\sum_{m,n=0}^\infty |a_{mn}|=\sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{n=0}^\infty |a_{mn}|\right)=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{m=0}^\infty |a_{mn}|\right)=S'\tag{3}\end{equation}
ここで $\sum a_{mn}$ の逐次極限を調べるため $A_m:=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_{mn}$ を定義する。仮定より二重級数は絶対収束するので任意の $\epsilon>0$ に対して自然数 $N$ が存在して $\forall m,n\ge N$ では $|S_{mn}-S|<\epsilon$ , $|S'_{mn}-S'|<\epsilon$ である。\begin{eqnarray*}\left|\sum_{k=0}^m A_k-S\right| &=& \left|\sum_{k=0}^m \sum_{l=0}^\infty a_{kl}-S\right| \\ &=& \left|S_{mn}+\sum_{k=0}^m \sum_{l=n+1}^\infty a_{kl}-S\right| \\&\le& |S_{mn}-S| + \sum_{k=0}^m \sum_{l=n+1}^\infty |a_{kl}|\end{eqnarray*}また(3)より $S'_{mn}$ の逐次極限が存在するから$$\sum_{k=0}^m \sum_{l=n+1}^\infty |a_{kl}|<S'-S'_{mn}<\epsilon$$$$\therefore\quad\left|\sum_{k=0}^m A_k-S\right|<2\epsilon\Rightarrow \sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{n=0}^\infty a_{mn}\right)=S$$順序逆の逐次極限も同様にできるので結局$$\sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}=\sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{n=0}^\infty a_{mn}\right)=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{m=0}^\infty a_{mn}\right)=S$$【証明終】
さらにいえば、逐次極限 $\sum_{m}(\sum_{n}a_{mn})$ が絶対収束するとき、定理7.2より二重級数 $\sum a_{mn}$ が絶対収束するので、結局、補題8.4が使えます。
以上を合わせると、パワーアップした次の定理が完成します。
$$\displaystyle\sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}\;,\;\sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{n=0}^\infty a_{mn}\right)\;,\;\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{m=0}^\infty a_{mn}\right)$$のいずれかが絶対収束するならば、３つとも収束して極限は一致する。
通常の級数 $\sum a_{m}$ と $\sum b_{n}$ が絶対収束するとします。このとき\begin{eqnarray*}+\infty > \sum_{m=0}^\infty|a_m|\sum_{n=0}^\infty |b_n| &=& \lim_{m\to\infty}\sum_{i=0}^m|a_i|\lim_{n\to\infty}\sum_{j=0}^n |b_j|\\&=&\lim_{m\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^m|a_i|\sum_{j=0}^n |b_j|\right)\\&=&\lim_{m\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty}\sum_{(i,j)=(0,0)}^{(m,n)}|a_ib_j|\right)\\&=&\sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{n=0}^\infty |a_{m}b_n|\right)\end{eqnarray*}よって二重級数 $\sum |a_mb_n| $ は絶対収束するので定理8.5より\begin{equation}\sum_{m,n=0}^\infty a_mb_n=\sum_{m=0}^\infty a_m\sum_{n=0}^\infty b_n\tag{4}\end{equation}となります。
さらに\begin{eqnarray*}\sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{n=0}^m a_n b_{m-n}\right) &=&\lim_{N\to\infty}\sum_{m=0}^N(a_0b_m+a_1b_{m-1}+\cdots+a_mb_0) \\&=& \lim_{N\to\infty}\{a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)+\\&&\quad (a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+\cdots+(a_0b_N+\cdots+a_Nb_0)\}\\&=&\sum_{m=0}^\infty a_m\sum_{n=0}^\infty b_n\end{eqnarray*}定理8.3より並び方を好きに変えてよいことを使いました。したがって
$\sum a_{m}$ と $\sum b_{n}$ が絶対収束するとき、$$\sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{n=0}^m a_n b_{m-n}\right)=\sum_{m=0}^\infty a_m\sum_{n=0}^\infty b_n$$
条件収束する二重数列の例を見てみましょう。
二重数列 $\{a_{mn}\}$ を(1)のように並べて\begin{equation}\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 &\cdots \\ 1 & -1 & -1 & -1 &\cdots\\ 1 & -1 & 0 & 0 &\cdots \\ 1 & -1 & 0 & 0 & \cdots\\ \vdots &\vdots & \vdots& \vdots &\end{matrix}\end{equation}であるとする。左2列と上2行以外はすべてゼロである。この数列に関する二重級数について以下の問いに答えよ。
(a) 二重級数の極限 $S:=\lim_{m,n\to\infty} S_{mn}$ を求めよ。
(b) 逐次極限を求めよ。
(c) 二重級数は絶対収束するか。
(a) $\forall m,n\ge 2$ について $S_{mn}=2$ となるから $S=2$ 。
(b) 逐次極限は $m$ から先でも $n$ から先でも発散する。
(c) $|a_{mn}|$ の和をとると明らかに発散。よって絶対収束ではない。すなわち条件収束である。
条件収束する数列は二重極限と逐次極限が一致しないことが分かりますね。
$m,n\in\ZZ_{\ge 1}$とする。\begin{equation}\begin{matrix}\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{8} &-\frac{1}{16} & \frac{1}{16}& \cdots \\ \frac{1}{2^2} & -\frac{3}{4^2} & \frac{3}{4^2} & -\frac{7}{8^2} & \frac{7}{8^2} &-\frac{15}{16^2} & \frac{15}{16^2}& \cdots\\ \frac{1}{2^3} & -\frac{3^2}{4^3} & \frac{3^2}{4^3} & -\frac{7^2}{8^3} & \frac{7^2}{8^3} &-\frac{15^2}{16^3} & \frac{15^2}{16^3}& \cdots\\\frac{1}{2^4} & -\frac{3^3}{4^4} & \frac{3^3}{4^4} & -\frac{7^3}{8^4} & \frac{7^3}{8^4} &-\frac{15^3}{16^4} & \frac{15^3}{16^4}& \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots& \vdots &\vdots & \vdots& \vdots& \end{matrix}\end{equation}なる二重数列 $\{a_{mn}\}$ および部分和 $\{S_{mn}\}$ ついて、
(a) $\{S_{mn}\}$ の逐次極限を求めよ。
(b) 各行、各列の和は絶対収束することを示せ。
(c) しかしながら二重級数は絶対収束しないことを示せ。
(d) 部分和の一般項 $\{S_{mn}\}$ を求め、二重級数の値を求めよ。
(a) $$\sum_{m=1}^\infty(\sum_{n=1}^\infty a_{mn})=\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{2^{m}}=1$$ へ収束、および $$\sum_{n=1}^\infty(\sum_{m=1}^\infty a_{mn})=-\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$$ で発散。
(b) 1行目の絶対値の和は$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\cdots =\frac{3}{2}$$で収束し、2行目以降はそれより小さいので収束する。よって各行の和は絶対収束する。また各列の絶対値の和は等比級数、例えば$$\frac{1}{8}+\frac{7}{8^2}+\frac{7^2}{8^3}+\cdots=1$$のようにすべて $1$ であるから、各列の和も絶対収束する。
(c) 定理7.2より正項二重級数の計算結果は逐次極限と一致するので$$\sum_{m,n=1}^\infty|a_{mn}|=\sum_{n=1}^\infty(\sum_{m=1}^\infty |a_{mn}|)=\sum_{n=1}^\infty 1=+\infty$$よって絶対収束しない。
(d) 一般項は$$S_{m,2n-1}=\sum_{k=1}^m \frac{1}{2^{k}}=1-\frac{1}{2^m}$$$$S_{m,2n}=S_{m,2n-1}-1+\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)^m=\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)^m-\frac{1}{2^m}$$と求まる。$m,n\to\infty$ の二重極限を考えると前者は明らかに $S_{m,2n-1}\to 1$ である。後者は $\forall\epsilon>0$ に対して $N\epsilon>1$ なる $N\in\NN$ をとると二項定理で展開して三角不等式を用いることで$$\left|\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)^m-1\right|\le \frac{1}{2^{n+1}}<\frac{1}{N}<\epsilon$$が $\forall m,n> N$ で成立する。よって $S_{m,2n}\to 1$ となり二重級数の値は$$\lim_{m,n\to\infty}S_{mn}=1$$ つまりこの数列は条件収束である。
$x,y\in\CC$ , $|x|<1$ , $|y|<1$ とする。このとき二重級数$$\sum_{m,n=0}^\infty x^my^n$$は絶対収束することを示せ。
逐次極限を考えると$$\sum_{m=0}^\infty |x^m|\sum_{n=0}^\infty |y^n|$$条件より幾何級数は収束するので$$=\frac{1}{(1-|x|)(1-|y|)}<+\infty$$よって逐次極限は絶対収束するので、定理8.5より問題の二重級数も絶対収束する。
二重級数$$\sum_{m,n=1}^\infty\frac{1}{m^2(1+n^\frac{3}{2})}$$は収束するか。
$\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m^2}<+\infty$ は絶対収束。また $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n^\frac{3}{2}}<\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\frac{3}{2}}<+\infty$$も絶対収束。よって問題の級数は収束する。
$a,b,c>0$ で $ac>b^2$ とする。二重級数$$\sum_{m,n=1}^\infty\frac{1}{(am^2-2bmn+cn^2)^s}$$が収束する $s\in\RR$ の範囲を求めよ。
$s>0$ は必要である。$A$ を $a,-b,c$ よりも大きな定数とすると$$A(m+n)^2>am^2-2bmn+cn^2$$また$$am^2-2bmn+cn^2=(\sqrt{a}m-\sqrt{c}n)^2+2(\sqrt{ac}-b)mn>2(\sqrt{ac}-b)mn$$$$\therefore\quad \frac{1}{A^s(m+n)^{2s}}<\frac{1}{(am^2-2bmn+cn^2)^s}<\frac{1}{2^s(\sqrt{ac}-b)^sm^sn^s}$$(2)で論じたところから、$\sum\frac{1}{(m+n)^{2s}}$は $s>1$ で収束。また $\sum\frac{1}{m^sn^s}$ は正項級数なので逐次極限を考えればよく、$(\sum\frac{1}{m^s})^2$ となって $s>1$ で収束する。したがって求める範囲は $s>1$ .
本シリーズはこれで終わりです。次は無限積の理論について書いていきます：
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