z=1/9における超幾何関数2F1の特殊値６選（前編）

超幾何関数の基礎的な知識を前提としています。超幾何関数が満たす微分方程式については

【D14】超幾何微分方程式とフロベニウス法・超幾何関数

変換公式については例えば：

超幾何関数2F1の変換公式１（基本の10個）

超幾何関数を応用した初等関数の積分は例えば：

logを含む難しい積分３（超幾何級数）

ガンマ関数も駆使します：

ガンマ関数の基礎シリーズ全20回

今日のテーマ

Yury Brychkov, "Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas"の8.1節に掲載されていた式です。この証明に取り組みました。

参考文献はベルギーの数学誌「Simon Stevin」第60巻(4) (1986)に収録されているKarlsson.P.W, On two hypergeometric summation formulas conjectured by Gosper 等です。

また、隣接関係式を用いた手法を記していますが、これについては

z=1/4における超幾何関数2F1の特殊値（代数的手法）

のほうを先に見てもいいと思います。

第1の公式（Kummerの二次変換）

過去記事で証明したKummerの二次変換公式\begin{equation}F\left[\begin{matrix}a,b\\2b\end{matrix};2z\right]=(1-z)^{-a} F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{2}\\b+\frac{1}{2}\end{matrix};\left(\frac{z}{1-z}\right)^2\right]\tag{1.1}\end{equation}で $a\to2a$ , $b\to\frac{2a+1}{3}$ , $z=-\frac{1}{2}$ とおくと\begin{eqnarray*}F\left[\begin{matrix}a,a+\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}a+\frac{5}{6}\end{matrix};\frac{1}{9}\right] &=& \frac{3^{2a}}{2^{2a}}F\left[\begin{matrix}2a,\frac{2a+1}{3}\\\frac{2}{3}(2a+1)\end{matrix};-1\right] \\&=& \frac{3^{2a}}{2^{2a}}\frac{\G\left(\frac{2}{3}(2a+1)\right)}{\G(2a)\G(\frac{2-2a}{3})}\int_0^1t^{2a-1}(1-t^2)^{-\frac{2a+1}{3}}dt \\&=& \frac{1}{2} \frac{3^{2a}}{2^{2a}}\frac{\G\left(\frac{2}{3}(2a+1)\right)}{\G(2a)\G(\frac{2-2a}{3})}\int_0^1u^{a-1}(1-u)^{-\frac{2a+1}{3}}du\quad(u=t^2)\end{eqnarray*}ベータ関数が現れています。ガンマ関数に書き換えて整理すると\begin{equation}F\left[\begin{matrix}a,a+\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}a+\frac{5}{6}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\frac{3^{2a}}{2^{2a}}\frac{\G(a+1)\G\left(\frac{2}{3}(2a+1)\right)}{\G(2a+1)\G\left(\frac{2}{3}(a+1)\right)}\tag{1.2}\end{equation}これはこれでOKですが、もう少し変形して表す方法もあります。$a=3s$ とすると$$F\left[\begin{matrix}3s,3s+\frac{1}{2}\\2s+\frac{5}{6}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\frac{1}{2}\frac{3^{6s}}{2^{6s}}\frac{\G(3s)\G(4s+\frac{2}{3})}{\G(6s)\G(s+\frac{2}{3})}$$$\G(6s)$ , $\G(3s)$ に対してガウスの乗法公式をそれぞれ6倍、3倍として用います。$\G(4s+\frac{2}{3})$ にはルジャンドルの倍数公式で $\G(2s+\frac{1}{3})\G(2s+\frac{5}{6})$ の形にした後、 $\G(2s+\frac{1}{3})$ には再度、倍数公式を適用します。終わったらたくさん約分ができて、結局

第2の公式（Goursatの三次変換）

証明はいずれしたいのですが、ある公式を引っ張ってきましょう。数学誌「Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure」の10巻(2) (1881)に掲載されたGoursat.É, "Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique."にはグルサーが導いた大量の公式が載っています。p141の(129)式は以下の通りです。\begin{equation}F\left[\begin{matrix}4a,\frac{1}{2}-2a\\2a+\frac{5}{6}\end{matrix};z\right]=(1+18z-27z^2)^{-2a}F\left[\begin{matrix}a,a+\frac{1}{2}\\2a+\frac{5}{6}\end{matrix};\frac{64z}{(1+18z-27z^2)^2}\right]\tag{2.1}\end{equation}$z=\frac{1}{9}$ とすれば$$F\left[\begin{matrix}4a,\frac{1}{2}-2a\\2a+\frac{5}{6}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\left(\frac{3}{8}\right)^{2a}F\left[\begin{matrix}a,a+\frac{1}{2}\\2a+\frac{5}{6}\end{matrix};1\right]$$右辺にはガウスの超幾何定理が使えます。$$F\left[\begin{matrix}4a,\frac{1}{2}-2a\\2a+\frac{5}{6}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\left(\frac{3}{8}\right)^{2a}\frac{\G(2a+\frac{5}{6})\G(\frac{1}{3})}{\G(a+\frac{5}{6})\G(a+\frac{1}{3})}$$公式としてはこれでも十分ですが $a=s/2$ として$$F\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}-s,2s\\s+\frac{5}{6}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\left(\frac{3}{8}\right)^{s}\frac{\G(s+\frac{5}{6})\G(\frac{1}{3})}{\G(\frac{s}{2}+\frac{5}{6})\G(\frac{s}{2}+\frac{1}{3})}$$ルジャンドルの倍数公式によって$$=\left(\frac{3}{8}\right)^{s}\frac{2^{s-\frac{1}{3}}\G(s+\frac{5}{6})\G(\frac{1}{3})}{\sqrt{\pi}\G(s+\frac{2}{3})}$$$\G(2/3)$ にルジャンドルの倍数公式を用いて

(2.1)の証明は、やり残し。なお、この定理を応用した積分計算はこちらの2023/7/16。

第3の公式（隣接関係式）

Kummerの二次変換

過去記事で証明した二次変換公式２つ\begin{equation}F\left[\begin{matrix}a,b\\2b\end{matrix};z\right]=\left(1-\frac{z}{2}\right)^{-a} F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{2}\\b+\frac{1}{2}\end{matrix};\left(\frac{z}{2-z}\right)^2\right]\tag{3.1}\end{equation}\begin{equation}F\left[\begin{matrix}a,b\\1+a-b\end{matrix};z\right]= (1+z)^{-a} F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{2}\\1+a-b\end{matrix};\frac{4z}{(1+z)^2}\right]\tag{3.2}\end{equation}でそれぞれ $b=\frac{a+1}{3}$ を代入すると\begin{equation}\left(1-\frac{z}{2}\right)^{-a} F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{2}\\\frac{2a+5}{6}\end{matrix};\left(\frac{z}{2-z}\right)^2\right]=(1+z)^{-a} F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{2}\\\frac{2a+2}{3}\end{matrix};\frac{4z}{(1+z)^2}\right]\tag{3.3}\end{equation}$\left(\dfrac{z}{2-z}\right)^2 =x$ とすると $z=\dfrac{\pm 2\sqrt{x}}{1\pm\sqrt{x}}$ となるので\begin{equation}F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{2}\\\frac{2a+5}{6}\end{matrix};x\right]=(1\pm 3\sqrt{x})^{-a}F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{2}\\\frac{2a+2}{3}\end{matrix};\frac{\pm 8\sqrt{x}(1\pm\sqrt{x})}{(1\pm3\sqrt{x})^2}\right]\tag{3.4}\end{equation}Pfaffの変換公式を右辺に適用することで次を得ます。\begin{equation}F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{2}\\\frac{2a+5}{6}\end{matrix};x\right]=(1\pm \sqrt{x})^{-a}F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{6}\\\frac{2a+2}{3}\end{matrix};\frac{\pm 8\sqrt{x}(1\mp\sqrt{x})}{(1\pm\sqrt{x})^2}\right]\tag{3.5}\end{equation}なお符号の上下を入れ替えました。(3.5)の上側の符号を採用して $x=\frac{1}{9}$ を代入すると$$F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{2}\\\frac{2a+5}{6}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\left(\frac{3}{4}\right)^{a}F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{6}\\\frac{2a+2}{3}\end{matrix};1\right]$$ガウスの超幾何定理を右辺に適用することにより次の公式を得ます。\begin{equation}F\left[\begin{matrix}\frac{a}{2},\frac{a+1}{2}\\\frac{2a+5}{6}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\left(\frac{3}{4}\right)^{a}\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{2a+2}{3})}{\G(\frac{a}{6}+\frac{2}{3})\G(\frac{a+1}{2})}\tag{3.6}\end{equation}これも１つの公式といえます。

(3.6)においてEulerの変換公式を用いると\begin{equation}F\left[\begin{matrix}\frac{5-a}{6},\frac{2-a}{6}\\\frac{2a+5}{6}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{2a-1}{3}}\left(\frac{3}{4}\right)^{a}\frac{\sqrt{\pi}\G(\frac{2a+2}{3})}{\G(\frac{a}{6}+\frac{2}{3})\G(\frac{a+1}{2})}\tag{3.7}\end{equation}$a=3u+2$ とおきます。\begin{equation}F\left[\begin{matrix}-\frac{u}{2},\frac{1-u}{2}\\u+\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\frac{1}{2\cdot 3^u}\frac{\sqrt{\pi}\G(2u+2)}{\G(\frac{u}{2}+1)\G(\frac{3u+3}{2})}\tag{3.8}\end{equation}$u=2s$ とすれば(0.3)になります。

隣接関係式による方法

(3.8)と同等の公式を導出する別の方法を紹介します。ここからはJahresbericht der Technischen Staatslehranstalten zu Chemnitz 1897-1898に掲載されたHeymann.W, Ueber hypergeometrische Functionen, deren letztes Element speciell ist, nebst einer Anwendung auf Algebra.を参考にして計算します。ドイツ語は分かりませんが、何となく追いました。

さて、$$f:=F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]$$と定義しましょう。さらに\begin{eqnarray*}f_+&:=&F\left[\begin{matrix}a-1,b-1\\c+2\end{matrix};z\right] \\f_1&:=&F\left[\begin{matrix}a-1,b-1\\c+1\end{matrix};z\right] \\f_2&:=&F\left[\begin{matrix}a,b-1\\c+1\end{matrix};z\right] \\f_3&:=&F\left[\begin{matrix}a,b-1\\c\end{matrix};z\right]\end{eqnarray*}を定義します。過去に書いた隣接関係式は\begin{eqnarray}&&c[a-(c-b)z]F-ac(1-z)F(a+1)+(c-a)(c-b)zF(c+1)=0\tag{3.9} \\&& [a-1-(c-b-1)z]F+(c-a)F(a-1)-(c-1)(1-z)F(c-1)=0\tag{3.10}\\&&c[b-(c-a)z]F-bc(1-z)F(b+1)+(c-a)(c-b)zF(c+1)=0\tag{3.11}\end{eqnarray}ここで $F=F(a,b;c;z)$ , $F(a+1)=F(a+1,b;c;z)$ を表します。(3.9)の $F$ に $f_1$ を、(3.10)の $F$ に $f_2$ を、(3.11)の $F$ に $f_3$ をそれぞれ代入すると\begin{eqnarray*}a_{11}f_1+a_{12}f_2&=&Af_+ \\ a_{21}f_1+a_{22}f_2+a_{23}f_3&=&0\\ a_{32}f_2+a_{33}f_3&=&Bf\end{eqnarray*}ただし係数は次のようになっています。\begin{eqnarray*}a_{11} &=& (c+1)[a-1-(c-b+2)z] \\ a_{12}&=&-(a-1)(c+1)(1-z) \\ A&=&-(c-a+2)(c-b+2)z \\ a_{21} &=& c-a+1 \\ a_{22} &=& a-1-(c-b+1)z \\ a_{23} &=& -c(1-z) \\ a_{32} &=& (c-a)(c-b+1)z \\ a_{33} &=& c[b-1-(c-a)z] \\ B&=& c(b-1)(1-z)\end{eqnarray*}この連立方程式より $f_1$ , $f_3$ を消去します。\begin{equation}-a_{33}a_{21}Af_++Kf_2=a_{11}a_{23}Bf\tag{3.12}\end{equation}ここで $K:=a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{22}a_{33}$ です。

$a=-\frac{u}{2}$ , $b=-\frac{u}{2}+\frac{1}{2}$ , $c=u+\frac{3}{2}$ とおくと(3.8)も見て\begin{eqnarray}f&=&F\left[\begin{matrix}-\frac{u}{2},\frac{1-u}{2}\\u+\frac{3}{2}\end{matrix};z\right]:=f(u)\tag{3.13}\\f_2&=&F\left[\begin{matrix}-\frac{u}{2},-\frac{u}{2}-\frac{1}{2}\\u+\frac{5}{2}\end{matrix};z\right]=f(u+1)\tag{3.14}\\f_+&=&F\left[\begin{matrix}-\frac{u}{2}-\frac{1}{2},-\frac{u}{2}-1\\u+\frac{7}{2}\end{matrix};z\right]=f(u+2)\tag{3.15}\end{eqnarray}であり、\begin{eqnarray*}a_{11} &=& -\left(u+\frac{5}{2}\right)\left(\frac{u}{2}+1\right)(1+3z) \\ a_{12}&=&\left(\frac{u}{2}+1\right)\left(u+\frac{5}{2}\right)(1-z) \\ A&=&-\frac{3}{2}(3u+7)\left(\frac{u}{2}+1\right) \\ a_{21} &=& \frac{3}{2}u+\frac{5}{2} \\ a_{22} &=& -\frac{u}{2}-1-\left(\frac{3}{2}u+2\right)z \\ a_{23} &=& -\left(u+\frac{3}{2}\right)(1-z) \\ a_{32} &=& \frac{3}{2}(u+1)\left(\frac{3}{2}u+2\right)z \\ a_{33} &=& -\frac{1}{2}\left(u+\frac{3}{2}\right)(u+1)(1+3z) \\ B&=& -\frac{1}{2}\left(u+\frac{3}{2}\right)(u+1)(1-z)\end{eqnarray*}となります。ここで $K$ を $u$ についての多項式として整理すると\begin{eqnarray*}K=(3z+1)(9z-1)\left(\frac{u^5}{4}+\frac{17}{8}u^4+\frac{113}{16}u^3+\frac{367}{32}u^2+\frac{291}{32}u+\frac{45}{16}\right)\end{eqnarray*}従って $z=\frac{1}{9}$ ととると $K=0$ であり、(3.12)は\begin{equation}\frac{f(u+2)}{f(u)}=\frac{256(u+\frac{3}{2})(u+\frac{5}{2})}{243(u+\frac{5}{3})(u+\frac{7}{3})}\tag{3.16}\end{equation}と書き改められます。$u=2s$ とおくと$$\frac{f\left(2(s+1)\right)}{f(2s)}=\frac{2^8(s+\frac{3}{4})(s+\frac{5}{4})}{3^5(s+\frac{5}{6})(s+\frac{7}{6})}$$$f(0)=1$ ですので $s\in\NN$ であれば漸化式となって$$f(2s)=\frac{2^{8s}\G(s+\frac{3}{4})\G(s+\frac{5}{4})\G(\frac{5}{6})\G(\frac{7}{6})}{3^{5s}\G(s+\frac{5}{6})\G(s+\frac{7}{6})\G(\frac{3}{4})\G(\frac{5}{4})}$$$\G(3(s+\frac{1}{2}))$ でガウスの乗法公式を用いると

詳細は省きますが、$s$ が非整数でも成立します。$2s=u$ と戻して $\G(2\cdot\frac{u}{2})$ で倍数公式を、さらに $\G(2u)$ で倍数公式を用いることで、(3.17)は(3.8)と全く同じものです。

後編へ続きます。

2022年12月11日 z=1/9における超幾何関数2F1の特殊値６選（後編）

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