前回の記事はこちら：
超幾何関数の基礎的な知識を前提としています。超幾何関数が満たす微分方程式については
変換公式については例えば：
超幾何関数を応用した初等関数の積分は例えば：
ガンマ関数も駆使します：
次の特殊値の公式を証明する。\begin{eqnarray}F\left[\begin{matrix}3s,3s+\frac{1}{2}\\2s+\frac{5}{6}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]&=&\frac{3^{3s}\sqrt{\pi}\G(2s+\frac{5}{6})}{2^{6s}\G(s+\frac{1}{2})\G(s+\frac{5}{6})}\tag{0.1} \\ F\left[\begin{matrix}2s,\frac{1}{2}-s\\s+\frac{5}{6}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]&=&\frac{3^{s}\G(s+\frac{5}{6})\G(\frac{2}{3})}{4^{s}\G(s+\frac{2}{3})\G(\frac{5}{6})}\tag{0.2} \\F\left[\begin{matrix}-s,\frac{1}{2}-s\\2s+\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]&=&\frac{2^{6s}\G(2s+\frac{3}{2})\G(s+\frac{1}{2})}{3^{2s}\sqrt{\pi}\G(3s+\frac{3}{2})}\tag{0.3}\\ F\left[\begin{matrix}2s,1-s\\s+\frac{2}{3}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]&=&\frac{3^{s}\sqrt{\pi}\G(s+\frac{2}{3})}{4^{s}\G(s+\frac{1}{2})\G(\frac{2}{3})}\tag{0.4} \\ F\left[\begin{matrix}-s,\frac{1}{4}-s\\2s+\frac{5}{4}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]&=&\frac{2^{6s}\G(2s+\frac{5}{4})\G(\frac{2}{3})\G(\frac{13}{12})}{3^{5s}\G(s+\frac{2}{3})\G(s+\frac{13}{12})\G(\frac{5}{4})}\tag{0.5} \\ F\left[\begin{matrix}-s,\frac{1}{4}-s\\2s+\frac{9}{4}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]&=&\frac{2^{6s}\G(2s+\frac{9}{4})\G(\frac{4}{3})\G(\frac{17}{12})}{3^{5s}\G(s+\frac{4}{3})\G(s+\frac{17}{12})\G(\frac{9}{4})}\tag{0.6}\end{eqnarray}
(0.1)～(0.3)は前回で示しました。残りを本記事で導出します。参考文献はJahresbericht der Technischen Staatslehranstalten zu Chemnitz 1897-1898に掲載されたHeymann.W, Ueber hypergeometrische Functionen, deren letztes Element speciell ist, nebst einer Anwendung auf Algebra.です。もう１つはベルギーの数学誌「Simon Stevin」第60巻(4) (1986)に収録されているKarlsson.P.W, On two hypergeometric summation formulas conjectured by Gosper です。
(0.4)～(0.6)を示すためには、ガウスの隣接関係式を用います。代数的な手法です。これについては
のほうを先に見てもいいと思います。計算が簡単なので。
簡単のために$$f:=F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]$$と定義します。さらに\begin{eqnarray*}f_+&:=&F\left[\begin{matrix}a-1,b+2\\c+1\end{matrix};z\right] \\f_1&:=&F\left[\begin{matrix}a-1,b+1\\c+1\end{matrix};z\right] \\f_2&:=&F\left[\begin{matrix}a,b+1\\c+1\end{matrix};z\right] \\f_3&:=&F\left[\begin{matrix}a,b+1\\c\end{matrix};z\right]\end{eqnarray*}を定義します。ここで用いる３つの隣接関係式は\begin{eqnarray}&&(b-a)F+aF(a+1)-bF(b+1)=0\tag{1.1} \\&& [a-1-(c-b-1)z]F+(c-a)F(a-1)-(c-1)(1-z)F(c-1)=0\tag{1.2} \\&&c(1-z)F-cF(b-1)+(c-a)zF(c+1)=0\tag{1.3}\end{eqnarray}ここで $F=F(a,b;c;z)$ , $F(a+1)=F(a+1,b;c;z)$ のように表しています。(1.1)の $F$ に $f_1$ を、(1.2)の $F$ に $f_2$ を、(1.3)の $F$ に $f_3$ をそれぞれ代入すると\begin{eqnarray*}a_{11}f_1+a_{12}f_2&=&Af_+ \\ a_{21}f_1+a_{22}f_2+a_{23}f_3&=&0\\ a_{32}f_2+a_{33}f_3&=&Bf\end{eqnarray*}ただし係数は次のようになっています。\begin{eqnarray*}a_{11} &=& b-a+2 \\ a_{12}&=& a-1 \\ A&=& b+1 \\ a_{21} &=& c-a+1 \\ a_{22} &=& a-1-(c-b-1)z \\ a_{23} &=& -c(1-z) \\ a_{32} &=& (c-a)z \\ a_{33} &=& c(1-z) \\ B&=& c\end{eqnarray*}この連立方程式より $f_1$ , $f_3$ を消去します。\begin{equation}-a_{33}a_{21}Af_++Kf_2=a_{11}a_{23}Bf\tag{1.4}\end{equation}ここで $K:=a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{22}a_{33}$ です。
$a=1-\frac{u}{2}$ , $b=u$ , $c=\frac{u}{2}+\frac{2}{3}$ とおくと\begin{eqnarray}f&=&F\left[\begin{matrix}1-\frac{u}{2},u\\\frac{u}{2}+\frac{2}{3}\end{matrix};z\right]:=f(u)\tag{1.5}\\f_+&=&F\left[\begin{matrix}-\frac{u}{2},u+2\\\frac{u+2}{2}+\frac{2}{3}\end{matrix};z\right]=f(u+2)\tag{1.6}\end{eqnarray}であり、\begin{eqnarray*}a_{11} &=& \frac{3}{2}u+1 \\ a_{12}&=&-\frac{u}{2} \\ A&=& u+1 \\ a_{21} &=& u+\frac{2}{3} \\ a_{22} &=& -\frac{u}{2}+\left(\frac{u}{2}+\frac{1}{3}\right)z \\ a_{23} &=& -\left(\frac{u}{2}+\frac{2}{3}\right)(1-z) \\ a_{32} &=& \left(u-\frac{1}{3}\right)z \\ a_{33} &=& \left(\frac{u}{2}+\frac{2}{3}\right)(1-z) \\ B&=& \frac{u}{2}+\frac{2}{3}\end{eqnarray*}となります。ここで $K$ を $u$ についての多項式として整理すると\begin{eqnarray*}K=(z-1)(9z-1)\left(\frac{1}{8}u^3+\frac{1}{4}u^2+\frac{1}{9}u\right)\end{eqnarray*}
従って $z=\frac{1}{9}$ ととると恒等的に $K=0$ であり、(1.4)は\begin{equation}\frac{f_+}{f}=\frac{f(u+2)}{f(u)}=\frac{3(u+\frac{4}{3})}{4(u+1)}\tag{1.7}\end{equation}と書き改められます。$u=2s$ とすれば$$\frac{f\left(2(s+1)\right)}{f(2s)}=\frac{3(s+\frac{2}{3})}{4(s+\frac{1}{2})}$$$f(0)=1$ ですので $s\in\NN$ であれば漸化式となって$$f(2s)=\frac{3^{s}\G(s+\frac{2}{3})\G(\frac{1}{2})}{4^{s}\G(s+\frac{1}{2})\G(\frac{2}{3})}$$詳細は省きますが、$s$ が非整数でもこの式は成立します。以上から次の結論を得ます。
\begin{equation}F\left[\begin{matrix}2s,1-s\\s+\frac{2}{3}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\frac{3^{s}\sqrt{\pi}\G(s+\frac{2}{3})}{4^{s}\G(s+\frac{1}{2})\G(\frac{2}{3})}\tag{1.8}\end{equation}
流れはほとんど同じです。\begin{eqnarray*}f&:=&F\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]\\f_1&:=&F\left[\begin{matrix}a-1,b-1\\c+1\end{matrix};z\right] \\f_2&:=&F\left[\begin{matrix}a-1,b-1\\c\end{matrix};z\right] \\f_3&:=&F\left[\begin{matrix}a-1,b\\c\end{matrix};z\right]\\f_+&:=&F\left[\begin{matrix}a-1,b-1\\c+2\end{matrix};z\right] \\\end{eqnarray*}を定義します。パラメータを１つずつ変えているのがポイントです。ここで用いる３つの隣接関係式は\begin{eqnarray}&&c[c-1-(2c-a-b-1)z]F+(c-a)(c-b)zF(c+1)-c(c-1)(1-z)F(c-1)=0\tag{2.1} \\&& c[b-(c-a)z]F-bc(1-z)F(b+1)+(c-a)(c-b)zF(c+1)=0\tag{2.2}\\&&(c-a-b)F+a(1-z)F(a+1)-(c-b)F(b-1)=0\tag{2.3}\end{eqnarray}(2.1)の $F$ に $f_1$ を、(2.2)の $F$ に $f_2$ を、(2.3)の $F$ に $f_3$ をそれぞれ代入して、かつ\begin{equation}a=-u+\a\:,\:b=-u-\a\:,\:c=2u+\g\tag{2.4}\end{equation} とします。\begin{eqnarray*}a_{11}f_1+a_{12}f_2&=&Af_+ \\ a_{21}f_1+a_{22}f_2+a_{23}f_3&=&0\\ a_{32}f_2+a_{33}f_3&=&Bf\end{eqnarray*}係数は次のようになっています。\begin{eqnarray*}a_{11} &=& (2u+\g+1)[2u+\g-(6u+2\g+3)z] \\ a_{12}&=& -(2u+\g)(2u+\g+1)(1-z) \\ A&=& -(3u-\a+\g+2)(3u+\a+\g+2)z \\ a_{21} &=& (3u-\a+\g+1)(3u+\a+\g+1)z \\ a_{22} &=& -(2u+\g)[u+\a+1+(3u-\a+\g+1)z] \\ a_{23} &=& (2u+\g)(u+\a+1)(1-z) \\ a_{32} &=& -(3u+\a+\g) \\ a_{33} &=& 4u+\g+1 \\ B&=& (u-\a+1)(1-z)\end{eqnarray*}この連立方程式より $f_1$ , $f_3$ を消去します。\begin{equation}-a_{33}a_{21}Af_++Kf_2=a_{11}a_{23}Bf\tag{2.5}\end{equation}ここで $K:=a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{22}a_{33}$ です。なお、\begin{eqnarray*}f&=&F\left[\begin{matrix}-u+\a,-u-\a\\2u+\g\end{matrix};z\right]:=f(u)\\f_+&=&F\left[\begin{matrix}-u+\a-1,-u-\a-1\\2u+\g+2\end{matrix};z\right]=f(u+1)\end{eqnarray*}となっています。
$K$ は非常に複雑な式となっていますが、これを $u$ によらず恒等的にゼロとしたい。$K$ を $u$ の多項式に展開しましょう。$u^5$ の係数は $-8(9z-1)(3z+1)$ となります。これを $0$ とするために今回は $z=1/9$ とします。$z=-1/3$ については先ほど紹介した原論文(Karlsson)を参照ください。$z=1/9$ のもとでは、$u^4$ の係数$$-4\g(9z-1)(11z+3)-4(9z-1)(11z+5)$$もやはり $0$ となります。$u^3$ の係数は$$-\frac{48\g^2-192\g+256\a^2+176}{81}$$これを $0$ とするためには\begin{equation}3\g^2-12\g+16\a^2+11=0\tag{2.6}\end{equation}でなくてはなりません。同様に $u^2$ の係数$$-\frac{52\g^3-144\g^2+(448\a^2-68)\g+240}{81}$$を $0$ とするには\begin{equation}13\g^3-36\g^2+(112\a^2-17)\g+60=0\tag{2.7}\end{equation}(2.6)(2.7)を同時に満たすパラメータは\begin{equation}(\g,\a)=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{8}\right)\:,\:\left(\frac{5}{2},\frac{1}{8}\right)\:,\:\left(2,\frac{1}{4}\right)\tag{2.8}\end{equation}ただし(2.4)から分かるように、 $\a>0$ として一般性を失いません。
よって $z=1/9$ , $\g,\a$ を(2.8)で定めると $u$ の5次式 $K$ の、5次・4次・3次・2次の項を $0$ にできました。しかもこのとき、1次の係数$$-\frac{16\g^4-10\g^3+(256\a^2-140)\g^2+(32\a^2+122)\g-64\a^2+76}{81}$$および定数項$$-\frac{\g^5+7\g^4+(48\a^2-31)\g^3+(16\a^2+1)\g^2+(-32\a^2+38)\g}{81}$$も $0$ であることが分かります。したがって恒等的に $K=0$ であるので(2.5)から\begin{equation}\frac{f(u+1)}{f(u)}=-\frac{a_{11}a_{23}B}{a_{21}a_{33}A}\tag{2.9}\end{equation}さらに $u=s-\a$ と置きなおしておきます。\begin{eqnarray*}F\left[\begin{matrix}-s+2\a,-s\\2s+\g-2\a\end{matrix};\frac{1}{9}\right]&=&f(s-\a)\end{eqnarray*}
ケース１
$(\g,\a)=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{8}\right)$ のとき、\begin{eqnarray*}\frac{f(s-\a+1)}{f(s-\a)}&=& \frac{1024s^2+1792s+720}{972s^2+1701s+702}\\&=&\frac{16(8s+9)(8s+5)}{27(3s+2)(12s+13)}\\&=&\frac{2^8(s+\frac{5}{8})(s+\frac{9}{8})}{3^5(s+\frac{2}{3})(s+\frac{13}{12})}\end{eqnarray*}$f(-\a)=1$ なので $s\in\NN$ なら\begin{eqnarray*}f(s-\a)&=&\frac{f(-\a+1)}{f(-\a)}\frac{f(-\a+2)}{f(-\a+1)}\cdots\frac{f(-\a+s)}{f(-\a+s-1)}\\&=&\frac{2^{8s}}{3^{5s}}\frac{\G(s+\frac{5}{8})\G(s+\frac{9}{8})\G(\frac{2}{3})\G(\frac{13}{12})}{\G(s+\frac{2}{3})\G(s+\frac{13}{12})\G(\frac{5}{8})\G(\frac{9}{8})}\end{eqnarray*}ルジャンドルの倍数公式を用いて
\begin{equation}F\left[\begin{matrix}-s,\frac{1}{4}-s\\2s+\frac{5}{4}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\frac{2^{6s}\G(2s+\frac{5}{4})\G(\frac{2}{3})\G(\frac{13}{12})}{3^{5s}\G(s+\frac{2}{3})\G(s+\frac{13}{12})\G(\frac{5}{4})}\tag{2.10}\end{equation}
これは $s$ が非整数でも成立します。
ケース２
$(\g,\a)=\left(\frac{5}{2},\frac{1}{8}\right)$ のときも同様に計算して
\begin{equation}F\left[\begin{matrix}-s,\frac{1}{4}-s\\2s+\frac{9}{4}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\frac{2^{6s}\G(2s+\frac{9}{4})\G(\frac{4}{3})\G(\frac{17}{12})}{3^{5s}\G(s+\frac{4}{3})\G(s+\frac{17}{12})\G(\frac{9}{4})}\tag{2.11}\end{equation}
ケース３
$(\g,\a)=\left(2,\frac{1}{4}\right)$ のときは、同様に計算すると$$F\left[\begin{matrix}-s,\frac{1}{2}-s\\2s+\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{1}{9}\right]=\frac{2^{6s}\G(2s+\frac{3}{2})\G(\frac{5}{6})\G(\frac{7}{6})}{3^{5s}\G(s+\frac{5}{6})\G(s+\frac{7}{6})\G(\frac{3}{2})}$$を得ます。原論文(Karlsson)いわく、これは(0.1)と等価のようです。どうしてそういえるのかは追究しないことにします。
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