Whittakerの微分方程式の解を導出する．変数変換により前回紹介したクンマーの合流型超幾何微分方程式へ帰着させる．求まった特殊解はWhittaker関数とよばれる．
本記事は，前回の記事「合流型超幾何微分方程式」と深い関わりがあります．
\begin{equation}y^{\prime\prime}+\left(-\frac{1}{4}+\frac{\kappa}{x}-\frac{\mu^2-\frac{1}{4}}{x^2}\right)y=0\tag{1}\end{equation}
これはイギリスの数学者Edmund Taylor Whittakerに由来します．日本語のWikipediaには「ホイッテーカー」とカナ表記あります。この特殊解はホイッテーカー関数とよばれ，合流型超幾何関数（クンマーの合流型超幾何関数：前回記事）の修正バージョンにあたります．
天下り的で大変申し訳ないのですが\begin{equation}y=e^{-\frac{x}{2}}x^{\mu+\frac{1}{2}}u(x)\tag{2}\end{equation}とおくと$$y'=-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}x^{\mu+\frac{1}{2}}u+\left(\mu+\frac{1}{2}\right) e^{-\frac{x}{2}}x^{\mu-\frac{1}{2}}u+ e^{-\frac{x}{2}}x^{\mu+\frac{1}{2}}u'$$さらに微分してやや面倒な計算を経て $$y^{\prime\prime}=e^{-\frac{x}{2}}x^{\mu-\frac{1}{2}}\left[xu^{\prime\prime}+(2\mu+1-x)u'+\left(\frac{x}{4}-(\mu+\frac{1}{2})+\frac{\mu^2-\frac{1}{4}}{x}\right)u\right]$$これによって(1)を書き換えると$$xu^{\prime\prime}+(2\mu+1-x)u'+\left(\frac{x}{4}-(\mu+\frac{1}{2})+\frac{\mu^2-\frac{1}{4}}{x}\right)u+\left(-\frac{x}{4}+\kappa-\frac{\mu^2-\frac{1}{4}}{x}\right)u=0$$ $$\therefore\quad xu^{\prime\prime}+(2\mu+1-x)u'-\left(\mu+\frac{1}{2}-\kappa\right)u=0$$
よってホイッテーカーの微分方程式(1)はクンマーの合流型超幾何微分方程式へ変形されました！
\begin{equation}xu^{\prime\prime}+(2\mu+1-x)u'-\left(\mu+\frac{1}{2}-\kappa\right)u=0\tag{3}\end{equation}
詳細は過去記事
をご覧いただきたいのですが，この「（クンマーの）合流型超幾何微分方程式」とは\begin{equation}xy^{\prime\prime}+(c-x)y'-ay=0\tag{4}\end{equation}と表され，特殊解 $M_1$ , $M_2$ は$$\begin{cases}M_1&=&{}_1F_1\left[\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\;;x\right]\\ M_2&=&x^{1-c}\;{}_1F_1\left[\begin{matrix}a-c+1\\2-c\end{matrix}\;;x\right]\end{cases}$$
ここで$$ {}_1F_1\left[\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\;;x\right] \equiv\sum_{n=0}^\infty\frac{(a)_n}{(c)_n}\frac{x^n}{n!}$$なおポッホハマー記号は$$(x)_n\equiv x(x+1)\cdots(x+n-1)\;,\quad (x)_0=1$$
(3)と(4)を見比べると，(3)の特殊解は$$\begin{cases}u_1&=&{}_1F_1\left[\begin{matrix}\mu+\frac{1}{2}-\kappa\\2\mu+1\end{matrix}\;;x\right]\\ u_2&=&x^{-2\mu}\;{}_1F_1\left[\begin{matrix}-\mu+\frac{1}{2}-\kappa\\-2\mu+1\end{matrix}\;;x\right]\end{cases}$$
以上から求める特殊解は $y$ と $u$ の関係式(2)により $$\begin{cases}y_1&=&e^{-\frac{x}{2}}x^{\mu+\frac{1}{2}}\;{}_1F_1\left[\begin{matrix}\mu+\frac{1}{2}-\kappa\\2\mu+1\end{matrix}\;;x\right]\\ y_2&=&e^{-\frac{x}{2}}x^{-\mu+\frac{1}{2}}\;{}_1F_1\left[\begin{matrix}-\mu+\frac{1}{2}-\kappa\\-2\mu+1\end{matrix}\;;x\right]\end{cases}$$２つの特殊解を見比べると $\mu$ の正負が異なるだけです．よってこれらの解を $\mu$ の正負で対応させて $$M_{\kappa,\mu}\;,\; M_{\kappa,-\mu} $$と書き，ホイッテーカー関数とよびます．
実際には $M_{\kappa,\mu}\;,\; M_{\kappa,-\mu} $ が独立でないことがありますが，それの対処については省略します．
次の記事：
常微分方程式シリーズ
Please support me!
記事を気に入って下さった方、「応援してあげてもいいよ」という方がいらっしゃったら15円から可能なので支援していただければ幸いです。情報発信を継続していくため、サーバー維持費などに充てさせていただきます。
ご支援いただいた方は、こちらで確認できます。
◎ Amazonギフトの場合、
Amazonギフト券- Eメールタイプ – Amazonベーシック
より、金額は空白欄に適当に(15円から)書きこんで下さい。受取人は「mamekebiamazonあっとgmail.com」です（あっとは@に置き換えてください）。贈り主は「匿名」等でOKです。全額がクリエイターに届きます。
◎ OFUSEは登録不要で、100円から寄付できます。金額の90%がクリエイターに届きます。
OFUSEで応援を送る◎ codocは登録不要で、100円から寄付できます。金額の85%がクリエイターに届きます。
